Enunciado

A viga é feita de um material cerâmico cuja tensão de flexão admissível é σ a d m = 5 MPa e tensão de cisalhamento τ a d m = 2,8 MPa. Determine a largura b da viga, se a altura for h=2b.

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer o Diagrama de Corpo Livre da nossa viga:

Pelo equilíbrio estático, temos que o somatório de forças e o somatório dos momentos são iguais a zero:

∑ F = 0             e       ∑ M 1 = 0

∑ M 1 = 75 × 0,05 - 0,18 × 0,075 + R 2 × 0,15 - 50 × 0,2 = 0

3,75 - 0,0135 + R 2 × 0,15 - 10 = 0

R 2 = 41,76   k N

∑ F = 75 - R 1 + 1,2 × 150 × 10 - 3 - R 2 + 50 = 0

R 1 + R 2 = 125,18

R 1 = 83,42   k N  

Agora, com os valores de todas as forças em mãos, podemos visualizar os esforços na viga.

Assim, podemos ver que | F m á x | = 75 k N e | M m á x | = 3 , 7 5   k N . m .

Passo 2

Então, precisamos dar uma olhada na seção transversal:

O Momento de Inércia I é de um retângulo é dado por:

I = b h 3 12 = b 2 b 3 12 = 2 b 4 3

A maior distância c até a linha neutra é igual a c = b , assim, podemos calcular:

S r e q = M m á x σ a d m = I c

O enunciado nos diz que, σ a d m = 5 M P a , então:

3,7 5 * 10 3 5 * 10 6 = 2 b 4 3 b   →   b = 0,104   m

Portanto, o tamanho máximo da nossa espessura b para que não ultrapassar a tensão de flexão admissível é de 104mm. Entretanto, é preciso conferir se a viga não irá cisalhar.

τ m á x = V Q I t

A força cortante máxima continua a mesma, assim como o momento de inércia; t é a largura da seção transversal, portanto t=b. Dessa forma, precisamos calcular apenas o Q.

Q é calculado como a multiplicação da área em azul (maior área até a linha neutra) pela distância do centroide dessa área até a linha neutra. Ou seja:

Q = A × y _ = b 2 × b 2 = b 3 2

Voltando para o cálculo da tensão de cisalhamento:

τ = 75 k N × b 3 2 2 × b 4 3 × b = 75 × 10 3 × 3 4 b 2 = 56,25 × 10 3 0,104 2 = 5,2 × 10 6 P a

τ = 5,2 M P a > 2,8 M P a

Ou seja, a tensão gerada irá cisalhar a viga antes que ela atinja sua tensão de flexão máxima admissível. Resultado: essa condição é FALSA.

Passo 3

Para garantir que a viga não cisalhe, devemos calcular a partir a espessura b a partir da sua tensão máxima de cisalhamento. Voltando para a fórmula anterior:

τ m á x = V Q I t = 75 × 10 3 × b 3 2 2 b 4 3 × b = 2,8 M

56,25 × 10 3 b 2 = 2,8 × 10 6   → b = 0,141 m = 141   m m

Resposta

b = 141   m m

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