Enunciado

Uma viga de madeira de 150   m m × 250   m m foi reforçada por duas chapas de aço parafusadas para formar a seção composta mostrada. Usando os dados abaixo, determinar o maior aumento fletor permissível, quando a viga é encurvada em torno de um eixo horizontal.

Passo 1

O problema pede o maior momento fletor permissível, que é dado pela equação:

σ = M ⋅ c I

Ou

M = σ ⋅ I c

Onde:

  • σ é a tensão normal admissível.
  • M é o momento fletor.
  • I o momento de inércia.
  • c a maior distância entre a linha neutra e um ponto da peça.

Porém, além de ter que utilizar essa equação temos uma peça formada por dois materiais diferentes e para isso vamos ter que achar a seção transformada. Posteriormente, vamos poder utilizar a nossa equação do momento fletor tranquilamente.

Então vamos lá!

Passo 2

O cálculo da seção transformada é feito da seguinte maneira, sabendo que a viga é encurvada no eixo horizontal. Originalmente temos:

ATENÇÃO! Provavelmente houve um erro na tradução dos dados. Ficou faltando a altura no reforço de aço, que estamos considerando igual a 12   m m ok!?

Observe que a linha central (com traços e pontos) está representando o eixo por onde a a viga é encurvada.

Agora vamos transformar essa peça em uma outra equivalente e toda feita de madeira. Fazemos isso por meio de uma relação da forma:

n = E a ç o E m a d e i r a

n = 200 1,3

n = 153,85

Presta atenção agora! Vamos pegar as dimensões da peça de aço que são paralelas ao eixo e multiplicar pelo fator n = 1 5 3,85 . Obtendo a seção transformada:

Pronto! Temos a seção transformada (toda em madeira no caso). Agora vamos calcular o momento de inércia desta seção no passo 3.

Passo 3

O momento de inércia é calculado normalmente, para seções retangulares, da forma:

I = b ⋅ h 3 12

I 1 = 0,15 ⋅ ( 0,25 ) ³ 12

I 1 = 1,953 × 10 - 4   m 4

Agora para as partes 2 e 3, utilizando o teorema dos eixos paralelos:

I = b ⋅ h 3 12 + A ⋅ d ²

Onde d é a distância do eixo até o centroide da figura:

d = 250 2 - 12 2 = 131   m m

I 2 = I 3 = 20,77 ⋅ ( 12 × 10 - 3 ) 3 12 + 20,77 ⋅ ( 12 × 10 - 3 ) ⋅ ( 0,131 ) ²

I 2 = I 3 = 2,99 × 10 - 6 + 4,277 × 10 - 3

I 2 = I 3 = 4,278 × 10 - 3

Logo o momento de inércia total é igual a

I = I 1 + I 2 + I 3

I = 1,953 × 10 - 4 + 4,278 × 10 - 3 + 4,278 × 10 - 3

I = 8,7513 × 10 - 3   m 4

Passo 4

Agora é só jogar na equação do momento fletor e pronto!

M = σ m a d e i r a ⋅ I c

Observe que a distância c é a maior distância entre o eixo e a peça!

M = 12,4 × 10 6 ⋅ 8,7513 × 10 - 3   0,137

M = 792   k N ⋅ m

Resposta

M = 792   k N ⋅ m

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