Enunciado

A viga está sujeita ao carregamento mostrado na figura. Determine a dimensão a exigida para sua seção transversal se a tensão admissível para o material for σmáx = 150 MPa.

Passo 1

Falaa galerinha bonita, tudo belezinha com vocês?!

Saca só, nesse exercício aqui o enunciado nos diz que a viga está sujeita ao carregamento mostrado na figura. Sabendo que a tensão admissível para o material é:

σ m á x = 150   M pa

O enunciado pede pra gente determinar a dimensão exigida para a seção transversal da viga!!

Belezoca, pra gente achar esse valor, precisamos achar a expressão para a tensão máxima do momento em função de a e comparar com essa tensão dada.

Vamos usar essa fórmulinha:

σ m á x = M m á x c I

Bora lá!

Passo 2

Nessa fórmula, I é o momento de inércia da nossa seção em relação ao eixo x . Para achar ele, precisamos primeiro achar o centroide da seção. Vamos dividir ela assim:

O centroide fica:

y C G = ∑ A y C G ∑ A = A 1 y 1 C G + A 2 y 2 C G ∑ A

y C G = a 3 × a a 6 + 2 a 3 × a 2 2 a 3 a 3 × a + 2 a 3 × a 2

y C G = 5 a 12

Aí para achar o momento de inércia vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I = ∑ b h 3 2 + A d 2

I = a 12 a 3 3 + a × a 3 5 a 12 - a 6 2 + a 24 2 a 3 3 + a 2 × 2 a 3 2 a 3 - 5 a 12 2 = 37 a 4 648

Então como c é a maior distância entre x - x e a borda da seção, obtemos que:

c = a - 5 a 12

c = 7 a 12

Passo 3

Falta M m á x , que é o momento máximo na viga.

Precisamos então ver onde o momento nessa viga é máximo. Podemos ver isso pelo diagrama de momento fletor.

Primeiro a gente acha as reações de apoio pelas equações de equilíbrio. Considerando que elas estão para cima.

↺ M A = 0

- 40 2 1 + F B 2 - 60 3 = 0

Logo:

F B = 130   kN

Do mesmo modo, vamos ter que:

∑ F y = 0

Sendo assim:

F b + F A - 60 - 40 2 = 0

F A = 10   kN

Com isso, achamos as equações de momento para as seções 0 ≤ x ≤ 2 e 2 ≤ x ≤ 3 :

Seção 1, 0 ≤ x < 2 :

  ∑ M = 0

M - 10 x + 40 x 2 2 = 0

M x = 10 x - 20 x 2

Seção 2, 2 ≤ x < 3

  ∑ M = 0

M - 10 x + 40 2 2 2 - 130 x = 0

M x = 140 x - 80

Aí a gente faz o diagrama:

Como podemos ver, o momento máximo vale 60kNm.

(usamos a conveção do diagrama de que para cima temos o momento negativo)

Passo 4

Agora vamos montar nossa tensão máxima e comparar com a tensão dada

σ m á x = M c I → 150 10 6 = 60 10 3 × 7 a 12 37 a 4 648

Isolando a

a = ( 60 × 10 3 × 7 × 648 3 ) 150 × 10 6 × 12 × 37 3 = 0,15988   m

a = 159,88   mm

Resposta

a = 159,88   mm

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