Enunciado

Uma viga de madeira de 150 × 300   m m foi reforçada, parafuçando-se reforçadores de aço como mostrado. Os módulos de elasticidade para a madeira é de 12   G P a e para o aço 200   G P a . Sabendo-se que a viga é encurvada em torno do eixo horizontal, por um momento M = 50   k N ⋅ m , determinar a máxima tensão na: (a) madeira.

Passo 1

O problema pede a máxima tensão, que é dada pela equação:

σ = M ⋅ c I

Onde:

  • σ é a tensão normal admissível.
  • M é o momento fletor.
  • I o momento de inércia.
  • c a maior distância entre a linha neutra e um ponto da peça.

Porém, além de ter que utilizar essa equação temos uma peça formada por dois materiais diferentes e para isso vamos ter que achar a seção transformada. Posteriormente, vamos poder utilizar a nossa equação do momento fletor tranquilamente.

Então vamos lá!

Passo 2

O cálculo da seção transformada é feito da seguinte maneira, sabendo que a viga é encurvada no eixo horizontal. Originalmente temos:

OBS: Aqui é importante ressaltar que devido a um erro na tradução do texto a espessura do reforço de aço foi omitido e então utilizaresmo o valor de 12   m m .

Observe que a linha central (com traços e pontos) está representando o eixo por onde a a viga é encurvada.

Agora vamos transformar essa peça em uma outra equivalente e toda feita de madeira. Fazemos isso por meio de uma relação da forma:

n = E a ç o E m a d e i r a

n = 200 12

n = 16,67

Presta atenção agora! Vamos pegar as dimensões da peça de aço que são paralelas ao eixo e multiplicar pelo fator n = 16,67 . Obtendo a seção transformada:

Pronto! Temos a seção transformada (toda em madeira no caso). Agora vamos calcular o momento de inércia desta seção no passo 3.

Passo 3

O momento de inércia é calculado normalmente, para seções retangulares, da forma:

I = b ⋅ h 3 12

Mas como essa peça não é simétrica, nós temos de achar a linha neutra através de contas. Vamos fazer isso da seguinte forma:

Y - = ∑ y - ⋅ A ∑ A

Onde:

  • Y - é a posição da linha neutra em relação ao centro da peça.
  • y - é a posição do centroide de cada parte da peça.
  • A é a área de cada parte da peça.

Assim vamos ter:

Antes de aplicarmos a equação para achar o centroide da peça como um todo vamos achar os valores y - 1 e y - 2 , que são, respectivamente, a posição do centroide da peça 1 (superior) e a posição do centroide da peça 2 (inferior).

y - 1 = 12 + 300 2

y - 1 = 12 + 150

y - 1 = 162   m m

Já para y - 2

y - 2 = 12 2

y - 2 = 6   m m

Percebe que 6   m m é muito pequeno e por isso não foi colocado no desenho (iria ficar difícil de enxergar). Agora vamos calcular

Y - = ∑ y - ⋅ A ∑ A

Y - = 162 ⋅ 150 ⋅ 300 + 6 ⋅ ( 2330 ⋅ 12 ) 150 ⋅ 300 + ( 2330 ⋅ 12 )

Y - = 7920000 + 167760 45000 + 27960

Y - = 110,85   m m

Aqui colocamos todas as dimenstões em milímetros e vale lembrar que a distância do centroide da parte inferior ao eixo é igual a zero.

Logo a posição da linha neutra, representada pela linha amarela, será:

Passo 4

Voltando ao cálculo do momento de inércia:

I = b ⋅ h 3 12

Para a parte inferior vamos ter de aplicar o teorema dos eixos paralelos, onde d = Y - - 6 :

I i n f = b ⋅ h 3 12 + A ⋅ d ²

I i n f = ( 2,33 ) ⋅ ( 12 × 10 - 3 ) 3 12 + ( 2,33 ) ⋅ ( 12 × 10 - 3 ) ⋅ ( ( 110,85 - 6 ) × 10 - 3 ) ²

I i n f = 3,36 × 10 - 7 + 3,07 × 10 - 4

I i n f = 3,07 × 10 - 4   m 4

Agora para a parte superior também teremos de aplicar o teorema dos eixos paralaleos, mas agora com d = 12 + 300 2 - Y - .

I s u p = b ⋅ h 3 12 + A ⋅ d ²

I s u p = ( 150 × 10 - 3 ) ⋅ ( 300 × 10 - 3 ) 3 12 + ( 150 × 10 - 3 ) ⋅ ( 300 × 10 - 3 ) ⋅ ( 12 + 150 - 110,85 × 10 - 3 ) ²

I s u p = 3,375 × 10 - 4 + 1,177 × 10 - 4

I s u p = 4,55 × 10 - 4   m 4

I = I i n f + I s u p

I = 3,07 × 10 - 4 + 4 , 5 5 × 10 - 4

I = 7,622 × 10 - 4   m 4

Passo 5

Agora é só jogar na equação da tensão!

σ = M ⋅ c I

Observe que a distância c é a maior distância entre o eixo e a peça!

σ m a d e i r a = M ⋅ c 1 I

c 1 = - 300 - 12 + 110,85 = - 201,15   m m

obs: O sinal negativo aparece porque estamos analisando de cima para baixo, ao invés de baixo para cima.

σ m a d e i r a = 500 00 ⋅ - 0 , 20115 7,622 × 10 - 4  

σ m a d e i r a = 13,2   M P a

Resposta

a)

σ m a d e i r a = 13,2   M P a

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