Enunciado

Para a viga de madeira e o carregamento mostrados na figura, determine ( a ) a inclinação na extremidade A e ( b ) a a deflexão no ponto médio. Use E = 200   G P a .

Passo 1

Fala aí, galera. Beleza? Vamos praticar mais mecânica pra tirar aquele 10 na prova.

Primeiro, vamos determinar a reação em A :

∑ M D = 0 - 1,6 F A + 9,6 0,8 + 20 0,4 = 0 F A = 9,8   k N

Para determinarmos o que é pedido, vamos utilizar a seguinte relação:

d V d x = - w

Ela nos diz que a derivada da função de força cortante é a função simétrica da função do carregamento distribuída. Dado que o carregamento é dado por:

w x = 12 < x - 0,4 > 0 - 12 < x - 1,2 > 0

A equação da força cortante vai ser:

d V d x = - 12 < x - 0,4 > 0 - 12 < x - 1,2 > 0 V = 9,8 - 12 < x - 0,4 > 1 + 12 < x - 1,2 > 1 - 20 < x - 1,2 > 0

Ao integrarmos esta equação, vamos obter a equação de momento fletor. Portanto:

d M d x = V = 9,8 - 12 < x - 0,4 > 1 + 12 < x - 1,2 > 1 - 20 < x - 1,2 > 0 M = 9,8 x - 6 < x - 0,4 > 2 + 6 < x - 1,2 > 2 - 20 < x - 1,2 > 1

Essa a equação de momento.

Passo 2

Com isso, podemos substituir a equação de momento que encontramos na equação diferencial da linha elástica. Ela é dada por:

E I d 2 y d x = M

Substituindo:

E I d 2 y d x 2 = 9,8 x - 6 < x - 0,4 > 2 + 6 < x - 1,2 > 2 - 20 < x - 1,2 > 1

Agora, considerando a rigidez à flexão constante, vamos integrar esta equação duas vezes, para obtermos, respectivamente, a equação para a força cortante e a equação da linha elástica. Integrando, temos:

E I d y d x = 4,9 x 2 - 2 < x - 0,4 > 3 + 2 < x - 1,2 > 3 - 10 < x - 1,2 > 2 + C 1

Integrando mais uma vez:

E I y = 1,6333 x 3 - 1 2 < x - 0,4 > 4 + 1 2 < x - 1,2 > 4 - 10 3 < x - 1,2 > 3 + C 1 x + C 2

Passo 3

Em seguida, para encontrarmos a deflexão e a inclinação, precisamos primeiro encontrar a equação da linha elástica. Para isso, vamos encontrar as condições de contorno para as equações do ultimo passo. Fica assim:

x = 0 → y = 0 x = 1,6 → y = 0

Portanto, quando x está em A e no ponto médio, a deflexão é nula. Portanto, substituindo essas condições de contorno, temos que:

C 1 = - 3,4080 C 2 = 0

Com as constantes definidas, basta as substituirmos nas equações que encontramos anteriormente. A equação da linha elástica vai ser:

y = 1,6333 x 3 - 1 2 < x - 0,4 > 4 + 1 2 < x - 1,2 > 4 - 10 3 < x - 1,2 > 3 + 3,4080 x

E a equação para a inclinação vamos encontrar substituindo a constante C 1 em d y / d x . Logo:

d y d x = 4,9 x 2 - 2 < x - 0,4 > 3 + 2 < x - 1,2 > 3 - 10 < x - 1,2 > 2 + 3,4080

Passo 4

Para encontrarmos a inclinação no ponto A basta substituirmos x = 0 em d y / d x . Logo:

d y d x = 4,9 x 2 - 2 < x - 0,4 > 3 + 2 < x - 1,2 > 3 - 10 < x - 1,2 > 2 + 3,4080 θ A = 2,49 × 10 - 3

Opa, encontramos a inclinação em A .

Passo 5

Por fim, para encontrarmos a deflexão no ponto médio, vamos resolver a equação da linha elástica neste ponto. Temos:

y = 1,6333 x 3 - 1 2 < x - 0,4 > 4 + 1 2 < x - 1,2 > 4 - 10 3 < x - 1,2 > 3 + 3,4080 x y C = - 1,078   m m

Resposta

θ A = 2,49 × 10 - 3

y C = - 1,078   m m

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Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine as deflexões no (a) ponto B, (b) ponto C e no (c) ponto D.
Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a equação da linha elástica, (b) a inclinação no ponto B e (c) a deflexão no ponto C.
Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a equação da linha elástica e (b) a deflexão no ponto médio C.
Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação na extremidade A, (b) a deflexão no ponto B e (c) a deflexão na extremidade D.
Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a equação da linha elástica e (b) a deflexão no ponto médio C.