Enunciado

Uma viga de madeira está sendo projetada para ser vinculada e carregada conforme mostra a figura. (a) Usando funções de singularidade, encontre a intensidade e a localização do momento fletor máximo na viga. (b) Sabendo que o estoque disponível consiste em vigas com uma tensão admissível de 12 MPa e seção transversal retangular de 30 mm de largura e altura h variando de 80 mm até 160 mm com incrementos de 10 mm, determine a seção transversal mais econômica que pode ser utilizada.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto C e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:

+ ↺ ∑ M C = 0

- R A 4 + 1 2 480 1,5 2,5 + 1 3 1,5 + 480 2,5 ( 1,25 ) = 0

4 R A = 2580 → R A = 645   N

Opa! Agora, como temos um carregamento distribuído, devemos lembrar que nesse caso, prolongamos o carregamento dado até o final da viga e colocamos um carregamento de mesma intensidade, mas sentido oposto, na porção onde não tínhamos carregamento no sistema original, e até o final da viga também. Ou seja, o carregamento equivalente ficará assim:

Lembrando que, como temos carregamento distribuído, podemos escrever ele primeiro, considerando o ponto A como origem do nosso sistema, teremos:

w = 480 1,5 x - 480 1,5 < x - 1,5 > 1 → w = 320 x - 320 < x - 1,5 > 1

Passo 2

Agora podemos encontrar a força cortante sabendo que ela será o oposto da integral da equação do carregamento, ou seja:

V = - ∫ w d x

Substituindo a expressão para w e resolvendo a integral, chegamos em:

V = - ∫ 320 x - 320 < x - 1,5 > 1 d x

V = 320 2 x 2 - 320 2 < x - 1,5 > 2 + C

A constante de integração nesse caso corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, no nosso caso, temos somente R A , então nossa constante será:

C = R A → C = 645   N

Então, nossa equação para a força cortante será:

V = - 160 x 2 + 160 < x - 1,5 > 2 + 645

Passo 3

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ - 160 x 2 + 160 < x - 1,5 > 2 + 645 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = - 160 3 x 3 + 160 3 < x - 1,5 > 3 + 645 x + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso caso não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = - 53,33 x 3 + 53,33 < x - 1,5 > 3 + 645 x

Passo 4

Agora para encontrar a tensão normal máxima, precisamos primeiro do momento máximo. Para isso, vamos igualar a derivada da função momento (que é a própria equação da força cortante) a zero, e encontrar a localização do momento máximo. Fazendo isso, teremos:

V = - 160 x 2 + 160 < x - 1,5 > 2 + 645 = 0

Nesse caso, como estamos trabalhando com a função de singularidade, precisamos dividir a função nos intervalos para calcular separadamente o valor de máximo para cada intervalo. Então, começando pelo primeiro intervalo, em 0 < x < 1,5 teremos:

- 160 x 2 + 160 x - 1,5 2 + 645 = 0

- 160 x 2 + 160 0 + 645 = 0 → x = 2   m

O valor de x encontrado está fora do intervalo de análise, dessa forma não temos um ponto de máximo nesse intervalo. Vamos agora considerar o intervalo 1,5 < x < 4 , onde teremos:

- 160 x 2 + 160 x - 1,5 2 + 645 = 0

- 160 x 2 + 160 x 2 - 3 x + 2,25 + 645 = 0

- 160 x 2 + 160 x 2 - 480 x + 360 + 645 = 0 → x = 2,09375   m

Opa! Achamos um valor dentro do intervalo de análise. Então essa será a localização do momento máximo. Agora para encontrar seu valor, basta substituir essa posição de x na equação que encontramos para o momento lá no passo 3. Então, fazendo isso, teremos:

M m a x = - 53,33 2,09375 3 + 53,33 < 2,09375 - 1,5 > 3 + 645 ( 2,09375 )

M m a x = - 489,49 + 11,163 + 1350,47 → M m a x = 872,14   N . m

Passo 5

Beleza! Agora para a letra (b), nós sabemos que a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor é dada por:

σ = M c I

O enunciado nos fornece uma viga de perfil quadrado. Para esse perfil, sabemos que o momento de inércia é dado por:

I = b h 3 12

Sabemos também que a distância c será metade da altura da viga, já que a tensão máxima irá ocorrer na extremidade da viga. Dessa forma, substituindo essas informações na equação da tensão, ela se torna:

σ = M h 2 b h 3 12 = M h 2 12 b h 3 → σ = 6 M b h 2

Agora, vamos substituir os valores conhecidos nessa equação e encontrar o valor mínimo de h para a viga:

12.10 6 = 6 872,14 0,03 h 2 → h = 0,120156   m = 120,156   m m

Opa! Ainda não acabamos, o enunciado nos disse que a altura da viga pode variar de 80 até 160 mm, com incrementos de 10 mm. Nesse caso, como precisamos de no mínimo 120,156 mm, devemos escolher uma viga com:

h = 130   m m

Esse valor de h garante a tensão admissível dada no enunciado e também atende ao incremento de 10 mm na altura dado no enunciado.

Resposta

a :   x = 2,09375   m

a : M m a x = 872,14   N . m

b : h = 130   m m

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