Enunciado

A viga mostrada na figura é feita de náilon para o qual a tensão admissível é de 24   M p a em tração e de 30   M p a em compressão. Determine o maior momento fletor M que pode ser aplicado à viga.

Passo 1

Nosso objetivo é determinar os máximos momentos fletores, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ a d m = - M y I

Como não temos a LN da nossa barra, precisamos determinar ela. Isso é de suma importância para podermos fazer toda a conta, por isso precisamos seguir um passo a passo para determinar a LN.

Para isso precisamos dividir a nossa seção em seções mais simples (sempre que for possível precisamos fazer seções retangulares) e determinar a distância do centroide de cada seção até a base da peça total, assim, temos que:

Agora para termos a linha neutra basta fazermos o seguinte:

y - = A 1 y 1 + A 2 y 2 A 1 + A 2

Assim temos que:

A 1 = 15 × 40 = 600   m m 2

A 2 = 15 × 20 = 300   m m 2

y 1 = 22,5   m m

y 2 = 7,5   m m

y - = 600 × 22,5 + 300 × 7,5 600 + 300 = 17,5   m m

Assim a nossa LN é:

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = I 1 + I 2 + ( A 1 d 1 2 + A 2 d 2 2 )

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I 1   e   I 2 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples. E d 1   e   d 2 são as distâncias do centroide de cada uma das peças mais simples até a LN, assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

I 1 = b h 3 12 = 40 × 15 3 12 = 11250   m m 4

I 2 = b h 3 12 = 20 × 15 3 12 = 5625   m m 4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = 11250 + 5625 + ( 600 × 5 2 + 300 × 10 2 )

I = 61875   m m 4

Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

Passo 3

O valor de y é a distância da LN para as extremidades, assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

Como nosso objetivo é determinar o momento fletor, vamos precisar analisar cada situação, assim começando pela tração, vamos ter que:

y + = 12,5   m m

I = 61875   m m 4

σ t r a ç ã o = 24   M P a = 24 N m m 2

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

24   N m m 2 = - M × 12,5 [ m m ] 61875   [ m m 4 ]

M = - 118800   N m m = - 118,8   N m

E analisando agora a compressão teremos que:

y - = - 17,5   m m

I = 61875   m m 4

σ c o m p r e s s ã o = - 30   M P a = - 30 N m m 2

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

- 30 N m m 2 = - M × - 17,5 [ m m ] 61875     [ m m 4 ]

M = - 106071   N m m = - 106,1   N m

Como queremos que a estrutura sustente a ação que age nele, devemos escolher o menor momento, que garante a segurança no ponto que ele age, assim como o do que suporta mais momento. Assim teremos que:

M = - 106,1   N m

Resposta

M = - 106,1   N m

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