Enunciado

Uma viga de seção transversal mostrada é feita de um aço que é considerado ser elastoplásticos, com E=200GPa e σ e = 300   M P a . Por flexão em torno do eixo z , determinar o momento fletor e o raio de curvatura, para que: (a) ocorra o início do escoamento; (b) as zonas plásticas, superior e inferior, da viga tenham 20 mm de espessura.

Passo 1

Vamos seguir o conselho de Einstein. Vamos fazer um desenho e destacar em vermelho a região plástica.

Assim fica fácil de ver que a espessura da zona elástica é:

E s p e s s u r a = 48   m m

Então metade da espessura é:

y e = 24   m m

Passo 2

Como agora estamos trabalhando em regime elastoplásticos, a gente pode calcular o raio de curvatura utilizando a equação:

ρ = y e E σ e

ρ = 24   m m ⋅ 200   G P a 300   M P a

ρ = 24   m m ⋅ 200000   M P a 300   M P a

ρ = 16000   m m

ρ = 16   m

Passo 3

Para calcular o momento aplicado vamos voltar pra teoria das tensões. Observe a figura abaixo, na região plástica a tensão é constante, já na região elástica a tensão é linear.

Vamos lembrar que a tensão é dada por σ = F A . Com isso em mente, podemos calcular duas forças equivalentes às tensões.

A primeira parte da tensão tem formato retangular, então:

F 1 = σ e A v e r m e l h a = 300   M P a ⋅ 58   m m ⋅ 20   m m = 348   k N

A segunda parte da distribuição de tensão tem formato triangular, logo:

F 2 = 1 2 σ e A v e r d e = 1 2 300   M P a ⋅ 2 ⋅ 14   m m ⋅ 24   m m =   100,8   k N

Como a viga é simétrica, as regiões superior e inferior sofrem os mesmos esforços, porém, em compressão! Essas forças formam binários, e a resultante destes binários é o momento sobre a viga.

M = 2 ⋅ F 1 ⋅ 34   m m + 2 ⋅ F 2 ⋅ 16   m m

M = 2 ⋅ 348   k N ⋅ 34   m m + 2 ⋅ 100,8   k N ⋅ 16   m m

M = 26,89   k N m

Resposta

M = 26,89   k N m

ρ = 16   m

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