Enunciado

Para a viga prismática mostrada, determinar a deflexão no ponto D .

Passo 1

Oi, gente! Tudo bem com vocês? Prontos para essa questão de cálculo de deflexão pelo Teorema de Castigliano?

O enunciado pede para a gente calcular a deflexão y D no ponto D da viga.

Para conseguir fazer esse cálculo, vamos renomear a força P que está aplicada no ponto D e chama-la de Q . Dessa forma, não confundimos essa força com a força P que está aplicada no ponto B ! A imagem abaixo mostra como fica o problema depois de fazer isso.

Repare que essa força Q NÃO é fictícia! Ela NÃO vale zero! Ela é igual a P . Essa medida é aplicada apenas para a gente não se confundir, quando a gente precisar calcular a derivada o momento fletor da viga M mais pra frente! Podemos calcular y D através da equação 10.77 do livro que calcula deflexões de vigas sobre deflexão.

y D = ∫ 0 L M E I ∂ M ∂ Q   d x

onde ∂ M ∂ Q é a derivada parcial do momento fletor M em relação à força renomeada Q !

R E é a força de reação causada pela restrição no ponto A e R E é a força de reação causada pela restrição no ponto E . Precisamos de apenas uma dessas forças para encontrar o momento M . No próximo passo, calcularemos R E .

Passo 2

A primeira etapa para fazer achar M é encontrar a reação R E , fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A .

Como a força P e Q fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente dos momentos das forças P e Q .

M R E - M P - M Q = 0

R E L - P a + L - Q L 2 = 0

R E = P a L + P + Q 2

Agora estamos aptos a achar M ! Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte direita da barra A B . Calcularemos o equilíbrio no ponto x . O momento M tem três valores: um quando a parte direita da barra ainda não inclui a força R E , o segundo quando a parte direita inclui a força R E e o terceiro quando a parte direita passa a incluir a força Q . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de M .

Colocamos um sinal de menos na frente dos momentos M e M P , porque os dois fazem a viga girar no sentido horário.

- M P - M = 0

- P x - M = 0

M = - P x

Agora vamos calcular o segundo valor de M .

- M P + M R E - M = 0

- P x + R E x - a - M = 0

- P x + P a L + P + Q 2 x - a - M = 0

M = P a L x - a - P a L L + Q 2 x - a

Por fim, vamos calcular o terceiro valor de M !

Colocamos um sinal de menos na frente dos momentos M , M Q e M P , porque os três fazem a viga girar no sentido horário.

- M Q - M P + M R E - M = 0

- Q x - a - L 2 - P x + R E x - a - M = 0

- Q x - a - L 2 - P x + P a L + P + Q 2 x - a - M = 0

M = P a L x - a - L - Q 2 x - a - L

Com esses três valores de M , podemos começar a calcular y D , determinando os valores de ∂ M ∂ Q .

Passo 3

Como existem três valores de M , existem três valores de ∂ M ∂ Q . Um para x entre 0 e a e outro para x entre a e a + L 2 e um último para x de a + L 2 a a + L . Vamos derivar primeiro o primeiro valor de M .

∂ M ∂ Q = ∂ - P x ∂ Q

Como o termo – P x não possui a variável Q , essa derivada vale zero.

∂ M ∂ Q = 0

Agora, vamos encontrar o valor de ∂ M ∂ Q para o segundo valor de M .

∂ M ∂ Q = ∂ P a L x - a - P a L L + Q 2 x - a ∂ Q

∂ M ∂ Q = x - a 2

Por fim, vamos encontrar o valor de ∂ M ∂ Q para o terceiro valor de M .

∂ M ∂ Q = ∂ P a L x - a - L - Q 2 x - a - L ∂ Q

∂ M ∂ Q = - x - a - L 2

Agora podemos achar y D .

Passo 4

Como ∂ M ∂ Q e M possuem três valores, precisamos dividir a integral que calcula y D em três. Uma que vai de 0 a a com os primeiros valores de ∂ M ∂ Q e M , outra que vai de a a a + L 2 com os segundos valores de ∂ M ∂ Q e M e a última que vai de a + L 2 a a + L com os terceiros valores de ∂ M ∂ Q e M .

y D = ∫ 0 L M E I ∂ M ∂ Q   d x

y D = ∫ 0 a M E I ∂ M ∂ Q   d x + ∫ a a + L 2 M E I ∂ M ∂ Q   d x + ∫ a + L 2 a + L M E I ∂ M ∂ Q   d x

Antes de substituir os valores de ∂ M ∂ Q e M nas integrais, podemos definir Q = P logo para facilitar a integração. Por conta disso, o segundo valor de M vale:

M = P a L x - a - P a L L + Q 2 x - a

M = P a L x - a - P a L L + P 2 x - a

O terceiro valor de M também é modificado.

M = P a L x - a - L - Q 2 x - a - L

M = P a L x - a - L - P 2 x - a - L

Agora sim fica melhor de substituir ∂ M ∂ Q e M nas integrais.

y D = ∫ 0 a - P x E I × 0   d x + ∫ a a + L 2 P a L x - a - P a L L + P 2 x - a E I × x - a 2   d x

+ ∫ a + L 2 a + L P a L x - a - L - P 2 x - a - L E I × - x - a - L 2   d x

Que monstrengo, né? Relaxa que, se a gente reorganizar os termos, a integral fica com a cara mais bonitinha!

y D = ∫ a a + L 2 P a x - a 2 2 E I L - P a L x - a 2 E I L + P x - a 2 4 E I   d x

+ ∫ a + L 2 a + L - P a x - a - L 2 2 E I L + P x - a - L 4 E I   d x

Integrando a função:

y D = P a x - a 3 6 E I L - P a L x - a 2 4 E I L + P x - a 3 12 E I a a + L 2

+ - P a x - a - L 3 6 E I L + P x - a - L 2 8 E I a + L 2 a + L

Substituindo os limites de integração:

y D = P a L 3 48 E I L - P a L 3 16 E I L + P L 3 96 E I - P a L 3 48 E I L + P L 2 32 E I

y D = 2 P a L 3 96 E I L - 6 P a L 3 96 E I L + P L 4 96 E I L - 2 P a L 3 96 E I L + 3 P L 3 96 E I L

y D = P L 4 96 E I L - 6 P a L 3 96 E I L + 3 P L 3 96 E I L

y D = P L 2 L - 6 a + 3 96 E I

Proooonto! Achamos o resultado que a questão pediu!!!

Resposta

y D = P L 2 L - 6 a + 3 96 E I

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