Enunciado

Uma viga com a seção transversal mostrada é feita de aço considerado elastoplástica com E = 29 × 10 6   p s i e σ e = 42 k s i . Um conjunto de flexão é aplicado à viga na direção do eixo z , produzindo zonas plásticas com 2 i n de espessura que se desenvolvem no topo e na base da viga. Depois de removido o conjugado, determine.

  1. a tensão residual em y = 2   i n
  2. os pontos onde a tensão residual é zero.
  3. O raio de curvatura correspondente à deformação permanente da viga.

Nota do expert: o enunciado apresenta um equivoco quanto ao tamanho da região plástica, ela não possui uma espessura de 2 i n , na verdade, ela se inicia no ponto y = 1 i n , ou seja, a espessura da região plástica na verdade é de 1 i n e não 2 i n como o enunciado apresenta.

Passo 1

Sabemos pelo enunciado que os 1 i n superiores e inferiores são a região plástica, significa que a tensão máxima que ela chega é a de escoamento, e entre as duas regiões de 1 i n existe a região elástica, e na região elástica, o funcionamento das tensões funciona da maneira que já sabemos, ou seja, vai reduzindo até chegar a zero na L N , assim tem-se que:

E o diagrama de tensões é dado por: (Vale lembrar que na região plástica máxima é a de escoamento, que fica constante até o ponto da região plástica)

F 1 = A 1 σ E = 3 i n × 1 i n × 42 k i p i n 2 = 126   k i p

F 2 = A 2 σ E = 1 i n × 1 i n × 42 2 k i p i n 2 = 21   k i p

Como temos seções acima e embaixo, temos que multiplicar por 2, assim, o nosso momento vai ser dado por:

M = 2 ( F 1 y 1 + F 2 y 2 )

M = 2 ( 12 6 [ k i p ] × 1,5 [ i n ] + 21 k i p × 0,67 [ i n ] )

M = 406   k i p ∙ i n

Sabemos que a equação de tensão é dada por:

σ = M y I

Agora pensa no seguinte, sabemos que o momento máximo que age na nossa seção é dado por:

M = 406   k i p ∙ i n

O ponto que queremos saber o que ocorre é o dado por:

y = 2   i n

E o nosso momento de inércia vai ser dado por:

Assim temos que:

I = 2 ( I 1 + A 1 d 1 2 ) + I 2 = 2 × ( 3 × 1 3 12 + 1 × 3 × 1,5 2 ) + 1 × 2 3 12 = 14,6667   i n 4

Substituindo na nossa equação teremos que:

σ = 406   [ k i p ∙ i n ] × 2 [ i n ] 14,6667   [ i n ] = 55,364 k i p i n 2 = 55,364   k s i

Agora pensa no seguinte, o nosso diagrama de tensão máxima atuante na nossa seção é dado por:

E pensa no seguinte, qual a máxima tensão que a nossa estrutura suporta, se desenhássemos o diagrama, ela seria dada por:

O seja, se fizermos um diagrama menos o outro temos o diagrama de tensões residuais em todos os pontos da viga, porém, pensa no seguinte, o item a) só pediu a tensão residual APENAS, no ponto y = 2   i n , assim, temos que a tensão residual é dada por.

σ ' = σ - σ e

σ ' = 55,364 - 42 = 13,36   k s i

Passo 2

Para o item 2 temos que comparar os dois diagramas.

Agora pensa no seguinte, a tensão atuante começa em 55,364 e vai reduzindo até zero, certo? Como fazemos a tensão atuante menos a tensão resistente, quando a atuante chegar em 42   k s i , ela vai zerar a tensão residual, ou seja, só precisamos saber a altura em que a seção tem 42 k s i no diagrama de tensões atuante, assim teremos que:

2,0 5 5,364 = x 42

x = 1,517   i n

Ou seja, os pontos em que o diagrama de tensões residuais zera são os pontos:

x = +   1,517   i n

x = -   1,517   i n

x = 0

Passo 3

Para lembrar como determinar o raio de curvatura, precisamos lembrar da seguinte relação:

ε = σ E = - y ρ

Como queremos o raio de curvatura, podemos definir que:

ρ = - E y σ

Dessa equação, quem você conhece de cara é o valor do modulo de elasticidade, que pode ser concebido como:

E = 29 × 10 3 k s i

E você pode estar se perguntando, qual tensão e qual y deve ser usado? A altura que deve ser usada é muito simples, é a altura que marca a passagem do estado plástico para o estado elástico, ou seja, no nosso caso, no nosso diagrama, isso ocorre na altura de y = 1 , 0   i n e qual tensão usar? Não queremos o raio de curvatura baseado nas tensões residuais? Então precisamos da tensão residual, comparando os dois gráficos teremos que:

Obtendo a tensão atuante temos que:

2,0 55,364 = 1 , 0 x

x = 27,682   k s i

Assim a tensão residual nesse ponto vai ser dado por:

σ = 27,682 - 42 = - 14,32   k s i

Substituindo tudo na nossa fórmula vamos ter que:

ρ = - 29 × 10 3 k s i × 1 , 0   i n - 14,32   k s i = 2025   i n = 168,8 f t

Resposta

  1. σ ' = 13,36   k s i
  2.   x = +   1,517   i n         ,       x = -   1,517   i n         e         x = 0
  3. ρ = 2025   i n = 168,8   f t
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