Enunciado

Um momento fletor é aplicado à viga de P r o b l e m a   4.73 , provocando o aparecimento de zonas plásticas de 30 m m de espessura nas partes superiores e inferiores da viga. Após o momento ser removido, determine.

  1. A tensão residual em y = 45 m m .
  2. Os pontos onde a tensão residual é zero.
  3. O raio de curvatura correspondente à deformação permanente da barra.

Passo 1

Sabemos pelo enunciado que os 30 m m superiores e inferiores são a região plástica, significa que a tensão máxima que ela chega é a de escoamento, e entre as duas regiões de 30 mm existe a região plástica, e na região plástica, o funcionamento das tensões funciona da maneira que já sabemos, ou seja, vai reduzindo até chegar a zero na L N , assim tem-se que:

E o diagrama de tensões é dado por: (Vale lembrar que na região plástica máxima é a de escoamento, que fica constante até o ponto da região plástica)

F 1 = A 1 σ E = 30 m m × 60 m m × 240 N m m 2 = 432000   N

F 2 = A 2 σ E = 15 m m × 60 m m × 240 2 N m m 2 = 108000   N

Como temos seções acima e embaixo, temos que multiplicar por 2, assim, o nosso momento vai ser dado por:

M = 2 ( F 1 y 1 + F 2 y 2 )

M = 2 ( 432000 N × 30 [ m m ] + 108000 N × 10 [ m m ] )

M = 28080000   N m m

M = 28,08   k N m

Sabemos que a equação de tensão é dada por:

σ = M y I

Agora pensa no seguinte, sabemos que o momento máximo que age na nossa seção é dado por:

M = 28080000   N m m

O ponto que queremos saber o que ocorre é o dado por:

y = 45   m m

E o nosso momento de inércia vai ser dado por:

Assim temos que:

I = b h 3 12 = 60 × 90 3 12 = 3645000   m m 4

Substituindo na nossa equação teremos que:

σ = 28080000   [ N m m ] × 45 [ m m ] 3645000     [ m m 4 ] = 346 N m m 2 = 346,67   M P a

Agora pensa no seguinte, o nosso diagrama de tensão máxima atuante na nossa seção é dado por:

E pensa no seguinte, qual a máxima tensão que a nossa estrutura suporta, se desenhássemos o diagrama, ela seria dada por:

O seja, se fizermos um diagrama menos o outro temos o diagrama de tensões residuais em todos os pontos da viga, porém, pensa no seguinte, o item a) só pediu a tensão residual APENAS, no ponto y = 45 m m , assim, temos que a tensão residual é dada por.

σ ' = σ - σ e

σ ' = 346,67 - 240 = 106,67   M P a

Passo 2

Para o item 2 temos que comparar os dois diagramas.

Agora pensa no seguinte, a tensão atuante começa em 346,67   M P a e vai reduzindo até zero, certo? Como fazemos a tensão atuante menos a tensão resistente, quando a atuante chegar em 240   M P a , ela vai zerar a tensão residual, ou seja, só precisamos saber a altura em que a seção tem 240   M P a no diagrama de tensões atuante, assim teremos que:

45 346,67 = x 240

x = 31,2   m m

Ou seja, os pontos em que o diagrama de tensões residuais zera são os pontos:

x = +   31,2   m m

x = -   31,2   m m

x = 0

Passo 3

Para lembrar como determinar o raio de curvatura, precisamos lembrar da seguinte relação:

ε = σ E = - y ρ

Como queremos o raio de curvatura, podemos definir que:

ρ = - E y σ

Dessa equação, quem você conhece de cara é o valor do modulo de elasticidade, que pode ser concebido como:

E = 200   G P a = 200000   M P a = 200000 N m m 2

E você pode estar se perguntando, qual tensão e qual y deve ser usado? A altura que deve ser usada é muito simples, é a altura que marca a passagem do estado plástico para o estado elástico, ou seja, no nosso caso, no nosso diagrama, isso ocorre na altura de y = 15 m m e qual tensão usar? Não queremos o raio de curvatura baseado nas tensões residuais? Então precisamos da tensão residual, comparando os dois gráficos teremos que:

Obtendo a tensão atuante temos que:

45 346,67 = 15 x

x = 115,6   M P a

Assim a tensão residual nesse ponto vai ser dado por:

σ = 115,6 - 240 = - 124,4   M P a

Substituindo tudo na nossa fórmula vamos ter que:

ρ = - 200000 M P a × 15 m m - 124,4   M P a = 24116   m m = 24,1   m

Resposta

  1. σ ' = 106,67   M P a
  2.   x = +   31,2   m m         ,       x = - 31,2   m m         e         x = 0
  3. ρ = 24,1   m
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