Enunciado

Uma viga com a seção transversal mostrada é submetida a uma força cortante vertical V. Determine (a) a linha horizontal ao longo da qual a tensão de cisalhamento é máxima e (b) a constante k na expressão a seguir para a tensão de cisalhamento máxima:

τ m a x = k V A

Em que A é a área da seção transversal da viga.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar o exercício encontrando a localização do centroide da seção. Vamos fazer isso assumindo que ele está a uma profundidade y e escrever a sua localização em função dessa profundidade.

Com isso e com a área da seção dada, podemos encontrar o momento de área da nossa seção transversal, tudo isso ainda em função de y. Com essas informações, vamos substituir as expressões encontradas na equação para a tensão de cisalhamento na seção, dada por:

τ y = V Q I t

Dessa forma, teremos uma expressão para a tensão de cisalhamento em função da altura y e da geometria da seção. E, para resolver a letra (a), que pede a linha onde a tensão de cisalhamento é máxima, vamos derivar a expressão encontrada para a tensão de cisalhamento e igualar ela a zero. Pois lembrando lá de cálculo, sabemos que fazendo isso, obtemos o ponto de máximo/mínimo da função.

E para a letra (b), que pede o valor da constante k para a tensão de cisalhamento máxima, precisamos primeiro da expressão para essa tensão máxima. Então, como já encontramos a altura onde o cisalhamento é máximo na letra (a), basta agora substituir essa altura y na expressão para τ y . Fazendo isso iremos obter a expressão para a tensão de cisalhamento máxima. Aí ficou fácil, é só comparar a equação obtida com a fornecida no enunciado para encontrar a expressão para k.

Passo 2

Ufa! Depois de tudo isso, vamos começar de vez! Vamos desenhar a seção transversal e apontar a localização do centroide (lembrando que o centroide de um triângulo fica a 1/3 da altura com relação a sua base) em função de y :

Com a nossa região de interesse desenhada, vamos agora escrever a área da seção transversal:

A = b h 2

E também vamos lembrar o valor do momento de inércia para uma seção triangular, que será:

I = b h 3 36

Com isso, podemos agora escrever a área da seção transversal hachurada da figura acima, então teremos:

A y = b y y 2 = b y h y 2 → A y = b y 2 2 h

E, também da figura que desenhamos, podemos escrever o centroide da seção hachurada em função de y , onde teremos:

y - y = 2 3 h - 2 3 y

Passo 3

Agora, com a área da seção e o centroide, podemos escrever o momento de área para a seção, que é dado por:

Q y = A y y - y

Substituindo as expressões encontradas, teremos:

Q y = b y 2 2 h 2 3 h - 2 3 y = b y 2 2 h . 2 3 h - y

Q y = b y 2 3 h h - y

Beleza, temos quase todos os termos para utilizar a equação do cisalhamento, falta somente a espessura da seção, que nesse caso, será dada por:

t y = b y h

Beleza! Agora vamos substituir os valores conhecidos na equação do cisalhamento, teremos:

τ y = V Q I t = V b y 2 3 h h - y b h 3 36 b y h = V b y 2 h - y 3 h b 2 y h 2 36

τ y = V b y 2 h - y 3 h . 36 b 2 y h 2 → τ y = 12 V y h - y b h 3

τ y = 12 V h y - y 2 b h 3

Passo 4

Agora, para encontrar a localização do cisalhamento máximo pedido na letra (a), vamos derivar a equação do cisalhamento que encontramos no passo 3 com relação a y e igualando ela a zero. Dessa forma, teremos:

d τ y d y = 0

12 V h - 2 y b h 3 = 0 → h - 2 y = 0

y m a x = h 2

Opa! Era isso que a gente queria! O cisalhamento máximo vai ocorrer na metade da altura da seção transversal.

Passo 5

Pra fechar, para a letra (b), vamos substituir a altura y m a x encontrada no passo 4 na nossa equação do cisalhamento, para descobrir qual é a tensão de cisalhamento máxima, então teremos:

τ y = 12 V h y - y 2 b h 3 → τ y h 2 = 12 V h h 2 - h 2 2 b h 3

τ y h 2 = 12 V h 2 2 - h 2 4 b h 3 = 12 V 2 h 2 4 - h 2 4 b h 3 = 12 V h 2 4 b h 3

τ y h 2 = 12 V h 2 4 b h 3 → τ y h 2 = 3 V b h

Beleza! Esse é o nosso cisalhamento máximo. Agora vamos lembrar a equação que o enunciado nos deu:

τ = k V A

Observe que não temos a área de maneira explícita na equação que encontramos, mas se você lembrar que a área do triângulo é:

A = b h 2 → b h = 2 A

Substituindo a relação para b h na equação que encontramos, ficamos com:

τ y h 2 = 3 V 2 A

E, igualando essa equação à equação fornecida no enunciado, conseguimos encontrar o valor de k:

τ = τ y h 2 → k V A = 3 V 2 A → k = 3 2

Proonto! Encontramos o k pedido na letra (b).

Resposta

a :   y m a x = h 2

b :   k = 3 2

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