Enunciado

Resolva o Problema 7.23 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Tá legal! Para encontrar os planos e tensões principais no ponto H pedidos na letra (a), precisamos ter o círculo de Mohr desenhado para esse ponto. Só que para desenhar o círculo, precisamos das tensões aplicadas nesse ponto, que serão geradas pela torção e pelo momento aplicadas na barra. Então vamos precisar encontrar esses valores antes.

Com o círculo desenhado e os valores encontrados, vem a parte fácil, vamos aplicar as fórmulas para encontrar a tensão média e o raio do círculo, e aí conseguimos encontrar os planos e tensões principais para o ponto H.

E, para a letra (b), vamos usar também o círculo de Mohr para encontrar a tensão de cisalhamento máximo. Então vamos lá!

Passo 2

Vamos começar lembrando a equação para a tensão de cisalhamento gerada por torção, que é dada por:

tau = (T c)/(J)

Em que T é o torque aplicado, c é a distância do centro até o ponto de interesse e J é o momento polar de inércia, lembrando que o momento polar de inércia é dado por:

J = (pi r^4)/(2)

Substituindo essa expressão na equação para a tensão de cisalhamento e sabendo que nosso ponto H está na superfície, ou seja, em c = r , a equação se torna:

tau = (T r)/((pi r^4)/(2)) -> tau = (2 T)/(pi r^3)

Então, substituindo os valores conhecidos nessa equação, ambos dados no enunciado, teremos:

tau = (2 (350))/(pi (0,016)^3) -> tau = 54,4 M P a

Passo 3

Agora nós vamos encontrar a tensão normal causado pelo momento fletor que existe na barra. Lembrando que essa tensão pode ser escrita como:

sigma = - (M y)/(I)

Em que M é o momento no ponto de interesse, y é a distância do centro até o ponto de estudo e I é o momento de inércia da barra. Beleza, sabemos que no nosso caso, a distância y vai ser o próprio raio da seção, ou seja:

y = r -> y = 0,016 m

Beleza, agora vamos calcular o momento no ponto H. Sabendo que o momento é a força vezes o braço de alavanca, para o nosso caso teremos:

M = F d = 3.10^3 (0,35) - 3.10^3 (0,2) -> M = 450 N . m

Beleza! Agora falta o momento de inércia, que para uma seção circular é dado por:

I = (pi r^4)/(4)

Substituindo o valor do raio fornecido no enunciado, teremos:

I = (pi (0,016)^4)/(4) -> I = 51,472.10^(- 9) m^4

Agora sim podemos encontrar o valor da tensão no ponto H, então teremos:

sigma = - (450 (0,016))/(51,472.10^(- 9)) -> sigma = - 139,9 M P a

Passo 4

Beleza! Agora que encontramos as tensões, podemos desenhar o elemento diferencial de tensões para o ponto H, onde teremos:

Então, as tensões para esse elemento diferencial serão:

sigma_x = - 139,9 M P a

sigma_y = 0

tau_x y = - 54,5 M P a

Com isso, podemos calcular o valor da tensão média, que será dada por:

sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2) = (- 139,9 + 0)/(2) -> sigma_m e d = - 69,95 M P a

Então, teremos os seguintes pontos para o círculo de Mohr:

X : (sigma_x , - tau_x y) = (- 139,9 , 54,5) M P a

Y : (sigma_y , tau_x y) = (0 , - 54,5) M P a

C = (sigma_m e d , 0) = (- 69,95,0) M P a

E, agora então podemos encontrar o raio para círculo de Mohr, que é dado pela fórmula:

R = sqrt(((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + tau_(x y)^2)

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

R = sqrt(((- 139,9 - 0)/(2))^2 + (- 54,5)^2) -> R = 88,67 M P a

Passo 5

Com as informações que encontramos no passo 4, temos tudo o que precisamos para esboçar o círculo de Mohr, que então será:

Então, para encontrar a inclinação do plano de tensão principal, por trigonometria, teremos:

t g 2 theta_P = overset(-)((overset(-)(O Y))/(overset(-)(C O))) = (tau_x y)/((sigma_x - sigma_y)/(2)) -> t g 2 theta_P = (2 tau_x y)/(sigma_x - sigma_y)

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

t g 2 theta_P = (2 (- 54,4))/(- 139,9 - 0) -> 2 theta_P = 37,87 ° -> theta_P_1 = 18,94 °

Esse é um dos planos, o outro obtido rotacionando o elemento diferencial em 90°, sendo assim, temos:

theta_P_2 = 18,94 ° + 90 ° -> theta_P_2 = 108,94 °

E, para finalizar a letra (a), basta encontrar as tensões principais nos pontos A e B do círculo, onde teremos:

sigma_a = sigma_m e d - R = - 69,95 - 88,67 -> sigma_a = - 158,62 M P a

sigma_b = sigma_m e d + R = - 69,95 + 88,67 -> sigma_b = 18,72 M P a

Fechamos a letra (a), estamos quase lá! Bora pra (b)!

Passo 6

A (b) agora ficou fácil, a tensão de cisalhamento máxima nesse ponto será o próprio raio do círculo de Mohr do passo 5, já que o círculo é simétrico com relação ao eixo da tensão normal. Dessa forma, teremos:

tau_m a x = R -> tau_m a x = 88,67 M P a

Resposta

(a) : theta_P_1 = 18,94 ° ; theta_P_2 = 108,94 °

(a) : sigma_a = - 158,62 M P a ; sigma_b = 18,72 M P a

(b) : tau_m a x = 88,67 M P a

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