Enunciado

A viga suporta um cisalhamento vertical V = 35   k N . Determine a força resultante desenvolvida no segmento AB.

Passo 1

Dados da questão: V = 35   k N

A questão pede a força sobre o segmento A B

Estratégia de resolução: Como a figura é simétrica, não é preciso calcular o centroide. Vamos calcular o momento de inércia da seção e depois o momento estático do segmento AB.

Para encontrar a força sobre uma aba, será preciso integrar o fluxo de cisalhamento sobre a aba. Então, quais partes da equação serão integradas?

Bem, a força de cisalhamento V já nos foi dada pela questão e é constante! O momento de inércia corresponde a figura como um todo, então também é constante! Já o momento estático varia de acordo com o ponto que queremos calcular, então ele não é constante!

Então, depois de calcular o momento de inércia, vamos desenvolver uma função que represente o momento estático na nossa aba.

Por fim, integraremos a equação do momento estático.

Passo 2

I = 2 ⋅ 12 ⋅ 125 3 12 + 250 ⋅ 12 3 12

I = 3942250   m m 4

Passo 3

A figura abaixo mostra como o Momento Estático cresce. Ele inicia em uma ponta e vai seguindo rumo à linha do centroide. Para que todos os valores estejam relacionados com o centroide, imaginamos um eixo x que parte da linha neutra até a base da região do momento estático.

Note que como todas as medidas estão em milímetros, os valores para x também serão em milímetros

Q = 12 ⋅ 62,5 - x ⋅ 31,25 + x 2

Q = 750 - 12 x 31,25 + x 2

Q = 23437,5 + 375 x - 375 x - 6 x 2

Q = 23437,5 - 6 x 2

Observe também que da forma como estamos considerando o Momento Estático, esta formula só é válida para a aba A B , com 6   m m < x < 62,5   m m . O nosso x começa na linha centroide, mas o nosso limite de integração não chega até a linha do centroide

Um erro comum nesta questão é considerar os limites errados. Perceba que o ponto B NÃO está sobre a linha do centroide, mas 6   m m acima dela.

Passo 4

Agora basta usarmos a definição

F A B = ∫ 0 L A B q A B ⋅ d x

Substituindo a fórmula do momento estático:

F A B = ∫ 0 L A B V Q I ⋅ d x

F A B = V I ∫ 0 L A B ( 23437,5 - 6 x 2 ) ⋅ d x

Como já discutido, os limites de x são: 6   m m < x < 62,5   m m .

F A B = V I ∫ 6 62,5 ( 23437,5 - 6 x 2 ) ⋅ d x

Efetuando a integração:

F A B = V I 23437,5 x - 6 3 x 3 0 62,5

Substituindo os valores os valores que temos:

F A B = 35   k N 3942250   m m 4 23437,5 62,5 - 6 - 2 ⋅ ( 62,5 3 - 6 3 ) m m 4

F A B = 7,42   k N

Resposta

F A B = 7,42   k N

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