Enunciado

A viga tem seção transversal quadrada e está sujeita à força de cisalhamento V . Faça um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal e especifique a tensão de cisalhamento máxima. Além disso, determine o local em relação ao eixo neutro onde começará a aparecer uma trinca ao longo do elemento devido ao cisalhamento.

Passo 1

Vamos começar decompondo as partes de um losângulo:

h = a ⋅ cos ⁡ 45 º ⇒ h = 2 2 a

b = 2 ⋅ a ⋅ s en ⁡ 45 º ⇒ b = 2 ⋅ a

Passo 2

Agora vamos determinar o momento de inércia do losângulo. Podemos considerar o losângulo como sendo composto por dois triângulos iguais:

I = 2 ⋅ 1 36 b h 3 + b h 2 ⋅ h 3 2

I = b h 3 6

Substituíndo b e h

I = 2 ⋅ a ⋅ 2 2 ⋅ a 3 6

Chegamos numa expressão para o momento de inércia do losângulo.

I = a 4 12

Passo 3

O momento estático pode ser calculado considerando um triângulo:

Q = y t 2 ⋅ h - 2 y 3

Q = t 6 ( 3 h y - 2 y 2 )

Substituíndo h :

Q = t 12 3 a 2 ⋅ y - 4 y 2

Passo 4

Aplicando tudo na equação do cisalhamento:

τ = V Q I t

τ = V ⋅ t 12 3 a 2 ⋅ y - 4 y 2 a 4 12 ⋅ t

Simplificando o t e reorganizando: τ = V a 4 3 a 2 ⋅ y - 4 y 2

Passo 5

O ponto onde aparecerá a primeira trinca é o ponto onde a tensão de cisalhamento for máxima. Podemos encontrar esse ponto derivando a equação do cisalhamento e igualando a zero.

d τ = 0

V a 4 3 a 2 - 8 y = 0

y m á x = 3 a 2 8

Mas a questão pende o ponto em relação a linha neutra.

y t r i n c a = h - y m á x

y t r i n c a = 2 2 a - 3 a 2 8

y t r i n c a = a 2 8

Passo 6

Agora podemos aplicar o valor y m a x e encontrar a tensão máxima

τ m á x = V a 4 3 a 2 ⋅ y m á x - 4 y m á x 2

τ m á x = V a 4 3 a 2 ⋅ 3 a 2 8 - 4 3 a 2 8 2

τ m á x = 9 8 ⋅ V a 2

Passo 7

Para poder traçar o gráfico vamos encontrar a tensão sobre a linha do centroide, quando y = h = 2 2 a

τ c e n t r o i d e = V a 4 3 a 2 ⋅ 2 2 a - 4 2 2 a 2

τ c e n t r o i d e = V a 2

Passo 8

Agora podemos traçar um gráfico, com forma parabólica, que crece até o máximo e depois decai até atingir a região do centroide. Como a seção é simétrica, o gráfico também deve ser:

Resposta

y t r i n c a = a 2 8

τ m á x = 9 8 ⋅ V a 2

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