Coeficiente de Poisson

Teoria Completa

Introdução

Sabe como quando você estica um elástico, o elástico não só aumenta de comprimento, como também fica mais fino?Esse é um efeito que acontece com a maioria dos materiais sólidos.

Um eixo de aço sob tração, por exemplo, se estica longitudinalmente (ao longo de seu comprimento) e se contrai lateralmente:

Similarmente, se você comprimir uma coluna de concreto, ela vai se contrair longitudinalmente, mas também vai se alargar lateralmente:

O que acontece é que para a maioria dos sólidos, uma deformação em um eixo é acompanhada por uma deformação menor no sentido oposto nos demais eixos.

Agora, como é que a gente relaciona essas deformações?

Como é que a gente pode usar o valor de uma dessas deformações para encontrar o valor da outra?

Deformação Longitudinal e Lateral

Bom, antes de poder relacionar essas deformações, precisamos definí-las.

No tópico passado, vimos que a deformação é a razão entre a variação de comprimento δ (ou Δ L , se preferirmos) e o comprimento inicial L de uma peça.

Essa deformação principal, que era conhecida como a deformação ε , é chamada agora de deformação longitudinal ε l o n g , por acontecer ao longo do comprimento da peça:

ε l o n g = δ L

É essa deformação principal ε l o n g que se relaciona com a tensão normal σ na peça através da Lei de Hooke:

σ = E ε l o n g

Agora, junto com essa deformação longitudinal (no eixo x ), também acontecem deformações laterais ε l a t na peça (em z e em y ). Se olharmos para a seção transversal da nossa viga vamos ter isso aqui:

Essa deformação lateral é a razão entre a variação de qualquer medida no sentido transversal (lateral) da peça e o valor inicial dessa medida. Podemos escrever então que o coeficiente de Poisson ν pelas relações entre as deformações longitudinais e laterais:

Perceba que a deformação longitudinal encontra-se no denominador, neste caso em particular é no eixo x , mas pode ser em qualquer eixo, o importante é lembrar que o denominador é a longitudinal!

Além disso, temos o sinal negativo indicando que as deformações nos eixos y e z (laterais) ocorrem em sentidos diferentes do eixo x (longitudinal).

A gente pode, ainda, calcular a deformação lateral da seguinte forma. Vamos dizer que você tem uma peça com seção transversal retangular e outra com seção transversal no formato de um anel:

No caso da seção retangular, a deformação lateral ε l a t pode ser usada para descrever as variações da base b e da altura h dessa seção transversal:

ε l a t = Δ b b = Δ h h

Já no caso da seção com forma de anel, ε l a t vai descrever as variações dos diâmetro d e x t e d i n t e da espessura e :

ε l a t = Δ d e x t d e x t = Δ d i n t d i n t = Δ e e

Coeficiente de Poisson

Agora, vamos aprofundar um pouco mais sobre esse coeficiente. Para relacionar essas duas deformações, ε l o n g e ε l a t , recorremos a uma propriedade dos materiais chamada de Coeficiente de Poisson.

O Coeficiente de Poisson, representado pela letra grega ν (“nu”), é uma constante adimensional que assume valores entre 0 e 0,5 , dependendo do material.

Por definição, temos que:

ν = - ε l a t ε l o n g

Percebam que essa definição é exatamente o que acabamos de ver:

Sendo assim, se uma viga com coeficiente de Poisson ν = 0,3 contrai um valor de 0,5 no eixo longitudinal, qual será a deformação nos eixos laterais?

Inicialmente a gente tinha:

Agora vamos aplicar nossa equação:

ν = - ε l a t ε l o n g

Substituindo:

0,3 = - ε l a t 0,5

ε l a t = - 0,3 × 0,5 = - 0,15

Sendo assim os eixos laterais serão dilatados em 0,15 . Dilatados por causa do sinal negativo, que inverte o sentido! Colocando num esqueminha vamos ter:

Pessoal, também existe uma relação entre o coeficiente de Poisson ν , o módulo de elasticidade E e o módulo de elasticidade ao cisalhamento G , essa relação é dada por:

Não diria que isso é suuuper importante mas é legal ter em mente que essa relação existe!

Tensões Multiaxiais

Até agora nos nossos estudos sobre deformação, só vimos os casos em que as peças eram tensionadas em uma única direção:

Mas em muitos casos, vamos ter peças que são solicitadas em 2 ou 3 direções, e, dessa forma, vão ter tensões normais médias σ nos eixos x , y e z :

Essas tensões em mais de uma direção recebem o nome de tensões multiaxiais.

Nesse casos, uma coisa interessante acontece com as deformações na peça:

Primeiro, cada tensão σ vai gerar ao longo de seu eixo uma deformação que é dada, como já vimos, por:

ε l o n g = σ / E

Mas além disso, cada tensão σ em um eixo também vai provocar, nos outros dois eixos, uma deformação lateral, que também já vimos e vale:

ε l a t = - ν ε l o n g

A deformação resultante em cada direção vai ser a soma das deformações provocadas naquela direção.

O eixo x , por exemplo, vai sofrer:

  • Uma deformação σ x / E por causa da tensão σ x ;
  • Uma deformação - ν ( σ y / E ) por causa da tensão σ y ;
  • E uma deformação - ν ( σ z / E ) por causa da tensão σ z .

Dessa forma, a deformação total em x vai ser:

ε x = σ x E - ν σ y E - ν σ z E

Normalmente, reescrevemos isso assim:

ε x = 1 E ( σ x - ν σ y - ν σ z )

Repare que neste caso não podemos falar qual direção é lateral e qual é a longitudinal, já que existem tensões nas três direções!! Então as equações para y e z vão acabar sendo análogas!

ε y = 1 E ( - ν σ x + σ y - ν σ z )

ε z = 1 E ( - ν σ x - ν σ y + σ z )

Lei de Hooke Generalizada

Como vimos, as três equações são análogas e formam um jeito mais geral de aplicar a lei de Hooke, por isso damos o nome de Lei de Hooke generalizada:

Essas três equações fornecem as deformações em todas as direções da peça para qualquer combinação possível de tensões.

Elas são sempre utilizadas em exercícios de tensões multiaxiais, mas a verdade é que elas podem ser utilizadas em qualquer situação, exatamente pelo fato de serem gerais ;P

O único cuidado que devemos tomar é o de identificar corretamente as tensões em cada eixo.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Um cabo de aço utilizado em um teleférico possui um diâmetro de 38   m m . Quando o teleférico está em uso, ele sofre uma deformação ao longo de seu comprimento de 0,02   m m / m m .

Sabendo que o aço possui um Coeficiente de Poisson de 0,29 , estime a variação no diâmetro do cabo de aço quando o teleférico está em uso.

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Passo 1

O cabo possui um diâmetro inicial d = 38   m m e sofre uma deformação longitudinal, ao longo de seu comprimento, ε l o n g de 0,02   m m / m m .

De acordo com o seu coeficiente de Poisson ν de 0,29 , essa deformação longitudinal é acompanhada por uma deformação lateral ε l a t :

ν = - ε l a t ε l o n g

Essa deformação lateral é definida como a variação de qualquer medida lateral na peça (como a medida do diâmetro da seção transversal da peça) sobre o valor inicial da medida.

Usando o diâmetro como essa medida, temos:

ε l a t = Δ d d

Juntando essas duas equações, vamos conseguir definir a variação do diâmetro Δ d sofrida pelo cabo, que é o que o exercício quer, em função da deformação lateral fornecida de 0,02   m m / m m !

Passo 2

Então da definição do coeficiente de Poisson, temos que:

ν = - ε l a t ε l o n g

A partir dessa equação a gente pode encontrar a deformação lateral:

ε l a t = - ν . ε l o n g

Substituindo

ε l a t = - 0,29 . ( 0,02   m m / m m )

ε l a t = - 5,8.10 - 3   m m

Agora podemos encontrar a variação de diâmetro utilizando a equação:

ε l a t = Δ d d

Substituindo:

- 5,8.10 - 3 = Δ d 38   m m

Δ d = - 0,2204   m m

Perceba que o diâmetro diminuiu

Resposta

Δ d = - 0,2204   m m

Exercício Resolvido #2

Prof. João Chafi Hallack et al., Apostila de Resistência dos Materiais 1, Universidade Federal de Juiz de Fora, Março de 2015, pp. 43-5.

Um cilindro de bronze ( ν = 0,34 ), com diâmetro original de 1,5   c m e comprimento de 3   c m , é colocado em uma máquina de compressão e comprimido até que seu comprimento se torne 2,98   c m . Determinar o novo diâmetro do bloco.

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Passo 1

O cilindro de bronze possui um Coeficiente de Poisson ν = 0,34 , um diâmetro original d = 1,5   c m e um comprimento original L = 3   c m .

Ele é comprimido até um comprimento final L ' = 2,98   c m , caracterizando nele uma deformação longitudinal (no sentido do comprimento) ε l o n g :

ε l o n g = δ L

Onde δ é a variação no comprimento do cilindro, calculada como a diferença entre o comprimento final L ' e o comprimento inicial L , tal que:

ε l o n g = L ' - L L

Agora, de acordo com o Coeficiente de Poisson, essa deformação longitudinal vai ser acompanhada por uma deformação lateral (no sentido do diâmetro do cilindro) ε l a t :

ν = - ε l a t ε l o n g

E assim como ε l o n g é definida como a variação do comprimento dividida pelo comprimento original, ε l a t pode ser definida como a variação do diâmetro dividida pelo diâmetro original:

ε l a t = Δ d d = d ' - d d

Então se calcularmos ε l o n g , vamos poder calcular ε l a t através da fórmula do Coeficiente de Poisson.

E, conhecendo ε l a t e o diâmetro original d do cilindro, podemos calcular o diâmetro final d ' usando a definição de ε l a t .

Vamos seguir esses passos para resolver o exercício!

Passo 2

Primeiro, calculamos a deformação longitudinal:

ε l o n g = L ' - L L

Substituindo L ' = 2,98   c m e L = 3   c m :

ε l o n g = 2,98   c m - 3   c m 3   c m = - 0,02   c m 3   c m

O que dá:

ε l o n g = - 0,00667

Passo 3

Em seguida, calculamos a deformação lateral usando a equação do Coeficiente de Poisson:

ν = - ε l a t ε l o n g

Isolando ε l a t :

ε l a t = - ν ε l o n g

Substituindo ν = 0,34 e ε l o n g = - 0,00 66 - :

ε l a t = - 0,34 - 0,00667

O que dá:

ε l a t = 0,00227

Passo 4

Por último, usamos a definição da deformação lateral:

ε l a t = d ' - d d

Queremos descobrir o diâmetro final d ' , então devemos isolá-lo.

Multiplicando os dois lados por d e depois somando d aos dois lados, isolamos o diâmetro final d ' :

ε l a t d + d = d '

Para deixar tudo mais bonito, espelhamos a equação e colocamos o diâmetro inicial d em evidência:

d ' = d ( 1 + ε l a t )

Substituindo d = 1,5   c m e ε l a t = 0,00227 :

d ' = 1,5   c m 1 + 0,00227

O que dá:

Resposta

d ' = 1,5034   c m

Exercício Resolvido #3

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 78-3.26.

A haste plástica de acrílico tem 200   m m de comprimento e 15   m m de diâmetro. Se uma carga axial de 300   N for aplicada a ela, determine a mudança em seu comprimento e em seu diâmetro.

E p = 2,70   G P a , ν p = 0,4 0.

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Passo 1

O exercício quer saber a variação do comprimento Δ L (tradicionalmente chamada de δ ) e a variação do diâmetro Δ d da haste.

Para encontrar a variação do comprimento, podemos nos lembrar da fórmula que obtemos quando combinamos a Lei de Hooke ( σ = E ε ) com as fórmulas da tensão normal média ( σ = N / A ) e da deformação normal ( ε = δ / L ):

δ = N L E A

Com essa fórmula, conseguimos calcular a variação do comprimento δ da haste a partir:

  • Da força interna normal N , que vai ser igual à carga de tração de 300   N ;
  • Do comprimento inicial L = 200   m m da haste;
  • Do módulo de elasticidade E p = 2,70   G P a do plástico;
  • E da área A da seção transversal da haste, que pode ser descrita em função de seu diâmetro d = 15   m m através da fórmula A = π d 2 / 4 .

Agora, essa haste não vai sofrer deformação só no sentido longitudinal (sentido do seu comprimento). Ela também vai se deformar no sentido lateral (sentido do seu diâmetro).

O coeficiente de Poisson do plástico ν p = 0,40 vai ditar a razão entre essas deformações ε l o n g e ε l a t através da fórmula:

ν p = - ε l a t ε l o n g

A deformação no sentido longitudinal ε l o n g pode ser calculada dividindo a variação do comprimento nesse sentido δ pelo comprimento original L :

ε l o n g = δ L

Enquanto isso, a deformação no sentido lateral ε l a t é a divisão da variação de uma medida no sentido lateral pelo valor inicial dessa medida.

Usando o diâmetro d como essa medida, temos:

ε l a t = Δ d d

Usando essas três últimas fórmula, vamos poder calcular a variação do diâmetro Δ d da haste.

Passo 2

Vamos começar encontrando a variação do comprimento δ da haste.

Combinando a Lei de Hooke ( σ = E ε ) com as fórmulas da tensão normal média ( σ = N / A ) e da deformação normal ( ε = δ / L ), temos:

δ = N L E A

Como a área A da seção transversal dessa haste é circular, ela pode ser descrita em função de seu diâmetro d através da fórmula π d 2 / 4 :

δ = N L E π d 2 4

δ = 4 N L E π d 2

Substituindo os valores N = 300   N , L = 200   m m , E = 2,70   G P a e d = 15   m m :

δ = 4 300   N 200   m m 2,70   G P a π 15   m m 2

Reescrevendo 2,70   G P a como 2700   M P a , temos:

δ = 4 300   N 200   m m 2700   M P a π 15   m m 2

Como M P a = N / m m 2 , as unidades “ N ” e “ m m 2 ” nessa equação vão se cortar e o resultado vai sair em milímetros ( m m ).

Calculando tudo, encontramos:

δ = 0,12575 ≅ 0,126   m m

Metade do exercício já está resolvido, agora vamos para a próxima metade!

Passo 3

Queremos encontrar a variação do diâmetro Δ d da haste.

Da equação do coeficiente de Poisson, temos:

ν p = - ε l a t ε l o n g

Onde:

ε l a t = Δ d d       &       ε l o n g = δ L

Substituindo essas definições na equação do coeficiente de Poisson:

ν p = - Δ d / d δ / L

Isolando Δ d nessa expressão, encontramos:

Δ d = - ν p * δ L * d

Substituindo os valores de ν p = 0,40 , δ = 0,12575   m m , L = 200   m m e d = 15   m m :

Δ d = - 0,40 0,12575   m m 200   m m 15   m m

Calculando tudo, isso dá:

Δ d = - 0,0037725   m m   ≅ - 0,00377   m m

E assim temos as respostas para o exercício:

Resposta

δ = 0,126   m m

Δ d = - 0,00377   m m

Exercício Resolvido #4

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 119-2.65.

A variação no diâmetro de um grande parafuso de aço é cuidadosamente medida enquanto a porca é apertada. Sabendo que E = 200   G P a e ν = 0,29 , determine a força interna no parafuso, quando se observa que o diâmetro diminuiu em 13   μ m .

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Passo 1

O que está acontecendo?

Ao mesmo tempo que o parafuso faz forças nas peças rosas para manter elas em suas posições, as peças reagem tracionando o parafuso pelas extremidades.

Essa tração significa que existe no parafuso uma força interna normal N e uma tensão normal média:

σ = N A

Pela Lei de Hooke, essa tensão σ corresponde a uma deformação normal/longitudinal ε l o n g no parafuso:

σ = E ε l o n g

E pela definição do coeficiente de Poisson ν , essa deformação longitudinal ε l o n g é acompanhada por uma deformação lateral ε l a t :

ν = - ε l a t ε l o n g

Agora, o exercício disse que o parafuso tinha um diâmetro inicial d = 60   m m e sofreu uma diminuição de 13   μ m , ou seja, ele sofreu uma variação de diâmetro Δ d = - 13   μ m .

Isso significa que o exercício nos descreveu a variação lateral no parafuso, uma vez que:

ε l a t = Δ d d

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o valor da força interna normal N no parafuso.

Para descobrir esse valor, vamos partir da fórmula da tensão normal média e desenvolver ela usando a Lei de Hooke, a definição do Coeficiente de Poisson e a definição da deformação lateral.

Dessa forma, vamos conseguir descrever a força N a partir de valores que conhecemos, como:

  • O módulo de elasticidade E = 200   G P a ;
  • O coeficiente de Poisson ν = 0,29 ;
  • O diâmetro inicial d = 60   m m ;
  • E a variação de diâmetro Δ d = - 13   μ m .

Passo 2

Então primeiro, vamos resolver o exercício literalmente. Em seguida, substituímos os valores e encontramos N .

Partindo da fórmula da tensão normal média, temos:

σ = N A

Queremos encontrar N , então podemos isolá-lo desde já:

N = σ A

Ok!

Agora, a tensão σ pode ser descrita pela Lei de Hooke σ = E ε l o n g .

E a área A da seção transversal do parafuso é circular e pode ser descrita em função de seu diâmetro d através da fórmula A = π d 2 / 4 .

Fazendo essas substituições, temos:

N = E ε l o n g π d 2 4

Arrumando a expressão, ela fica assim:

N = E π d 2 4 ε l o n g

Beleza...

Conhecemos os valores de E e d , mas não conhecemos o valor da deformação longitudinal ε l o n g .

Mas sabemos descrever a deformação lateral ε l a t , e sabemos que essas deformações são relacionadas pelo coeficiente de Poisson:

ν = - ε l a t ε l o n g

Isolando ε l o n g , temos:

ε l o n g = - ε l a t ν

Substituindo isso na última expressão que tínhamos encontrado para N :

N = E π d 2 4 - ε l a t ν

Arrumando, fica assim:

N = - E π d 2 4 ν ε l a t

Agora só falta descrever a deformação lateral ε l a t .

Ela é a razão entre a variação de uma medida no sentido lateral (como o nosso diâmetro) sobre o valor inicial da medida, ou seja:

ε l a t = Δ d d

Fazendo essa última substituição, a força N fica assim:

N = - E π d 2 4 ν Δ d d

Simplificando, temos:

N = - E π d 4 ν Δ d