Coeficiente de Poisson

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Teoria

Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Vem entender comigo o que é o Coeficiente de Poisson!

O que é Coeficiente de Poisson?

O Coeficiente de Poisson é uma relação entre as deformações dois eixos.

-Hãm?! 😖

Calma, vamos contextualizar!

Sabe quando você estica um elástico e ele não só aumenta de comprimento como também fica mais fino?

O mesmo fenômeno também acontece com a maioria dos materiais sólidos!

Ação da tração e compressão em materiais sólidos
Ação da tração e compressão em materiais sólidos

Por exemplo, se você comprime uma coluna de metal, ela não só diminui de tamanho como também fica mais grossa.

É claro que ninguém vai comprimir uma coluna de metal em casa, com as próprias mãos! Mas deu pra pegar o espirito da coisa?! 🤣🤣🤣 Esse conceito vai ser muito importante em vários momentos aqui em Ciências dos Materiais!

Fórmula do Coeficiente de Poisson

A fórmula do Coeficiente de Poisson tem essa carinha aqui:

Fórmula do Coeficiente de Poisson
Fórmula do Coeficiente de Poisson

Onde:

  • é o Coeficiente de Poisson. É um valor adimensional que varia de a dependendo do material;
  • é a deformação ao longo do eixo - eixo ao longo do comprimento da peça;
  • é a deformação ao longo do eixo - eixo lateral do peça;
  • é a deformação ao longo do eixo - eixo lateral da peça.

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Deformação Longitudinal e Lateral

As deformações em cada eixo são dadas por:

Deformação Longitudinal e Lateral
Deformação Longitudinal e Lateral

Onde:

  • , e são as variações que ocorreram nas direções, , e , respectivamente, e;
  • , e são os comprimentos iniciais nas direções , e , respectivamente.

Se está parecendo meio confuso para você, vamos fazer um exemplo para clarear.

Exemplo: Se uma viga com coeficiente de Poisson  contrai um valor de  no eixo longitudinal, qual será a deformação nos eixos laterais?

Primeiro, vamos ver o que a questão nos fornece:

OBS.: Aqui, a deformação no eixo longitudinal, eixo , é negativa porque a questão diz que a peça contrai, então ela diminuiu de tamanho, sacou?

E o que a questão pede:

Agora, vamos aplicar a fórmula do Coeficiente de Poisson e achamos o que está sendo pedido:

E prontinho! Viu? Bem de boas!

Tabela: Coeficiente de Poisson

O coeficiente de Poisson varia com o material que esta sendo submetido à tensão. Na tabela abaixo podemos conferir alguns valores típicos:

Tabela: Coeficiente de Poisson de diferentes materiais
Tabela: Coeficiente de Poisson de diferentes materiais

Coeficiente de Poisson: Vídeo Aula

Se você ficou com alguma dúvida, confere esse vídeo sobre Coeficiente de Poisson! 👇

Agora, bora para os exercícios praticar! 😉

Tabela: Coeficiente de Poisson

Coeficiente de Poisson: Vídeo Aula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um cabo de aço utilizado em um teleférico possui um diâmetro de 38   m m . Quando o teleférico está em uso, ele sofre uma deformação ao longo de seu comprimento de 0,02   m m / m m .

Sabendo que o aço possui um Coeficiente de Poisson de 0,29 , estime a variação no diâmetro do cabo de aço quando o teleférico está em uso.

Passo 1

O cabo possui um diâmetro inicial d = 38   m m e sofre uma deformação longitudinal, ao longo de seu comprimento, ε l o n g de 0,02   m m / m m .

De acordo com o seu coeficiente de Poisson ν de 0,29 , essa deformação longitudinal é acompanhada por uma deformação lateral ε l a t :

ν = - ε l a t ε l o n g

Essa deformação lateral é definida como a variação de qualquer medida lateral na peça (como a medida do diâmetro da seção transversal da peça) sobre o valor inicial da medida.

Usando o diâmetro como essa medida, temos:

ε l a t = Δ d d

Juntando essas duas equações, vamos conseguir definir a variação do diâmetro Δ d sofrida pelo cabo, que é o que o exercício quer, em função da deformação lateral fornecida de 0,02   m m / m m !

Passo 2

Então da definição do coeficiente de Poisson, temos que:

ν = - ε l a t ε l o n g

A partir dessa equação a gente pode encontrar a deformação lateral:

ε l a t = - ν . ε l o n g

Substituindo

ε l a t = - 0,29 . ( 0,02   m m / m m )

ε l a t = - 5,8.10 - 3   m m

Agora podemos encontrar a variação de diâmetro utilizando a equação:

ε l a t = Δ d d

Substituindo:

- 5,8.10 - 3 = Δ d 38   m m

Δ d = - 0,2204   m m

Perceba que o diâmetro diminuiu

Resposta

Δ d = - 0,2204   m m

Exercício Resolvido #2

Um cilindro de bronze ( ν = 0,34 ), com diâmetro original de 1,5   c m e comprimento de 3   c m , é colocado em uma máquina de compressão e comprimido até que seu comprimento se torne 2,98   c m . Determinar o novo diâmetro do bloco.

Passo 1

O cilindro de bronze possui um Coeficiente de Poisson ν = 0,34 , um diâmetro original d = 1,5   c m e um comprimento original L = 3   c m .

Ele é comprimido até um comprimento final L ' = 2,98   c m , caracterizando nele uma deformação longitudinal (no sentido do comprimento) ε l o n g :

ε l o n g = δ L

Onde δ é a variação no comprimento do cilindro, calculada como a diferença entre o comprimento final L ' e o comprimento inicial L , tal que:

ε l o n g = L ' - L L

Agora, de acordo com o Coeficiente de Poisson, essa deformação longitudinal vai ser acompanhada por uma deformação lateral (no sentido do diâmetro do cilindro) ε l a t :

ν = - ε l a t ε l o n g

E assim como ε l o n g é definida como a variação do comprimento dividida pelo comprimento original, ε l a t pode ser definida como a variação do diâmetro dividida pelo diâmetro original:

ε l a t = Δ d d = d ' - d d

Então se calcularmos ε l o n g , vamos poder calcular ε l a t através da fórmula do Coeficiente de Poisson.

E, conhecendo ε l a t e o diâmetro original d do cilindro, podemos calcular o diâmetro final d ' usando a definição de ε l a t .

Vamos seguir esses passos para resolver o exercício!

Passo 2

Primeiro, calculamos a deformação longitudinal:

ε l o n g = L ' - L L

Substituindo L ' = 2,98   c m e L = 3   c m :

ε l o n g = 2,98   c m - 3   c m 3   c m = - 0,02   c m 3   c m

O que dá:

ε l o n g = - 0,00667

Passo 3

Em seguida, calculamos a deformação lateral usando a equação do Coeficiente de Poisson:

ν = - ε l a t ε l o n g

Isolando ε l a t :

ε l a t = - ν ε l o n g

Substituindo ν = 0,34 e ε l o n g = - 0,00 66 - :

ε l a t = - 0,34 - 0,00667

O que dá:

ε l a t = 0,00227

Passo 4

Por último, usamos a definição da deformação lateral:

ε l a t = d ' - d d

Queremos descobrir o diâmetro final d ' , então devemos isolá-lo.

Multiplicando os dois lados por d e depois somando d aos dois lados, isolamos o diâmetro final d ' :

ε l a t d + d = d '

Para deixar tudo mais bonito, espelhamos a equação e colocamos o diâmetro inicial d em evidência:

d ' = d ( 1 + ε l a t )

Substituindo d = 1,5   c m e ε l a t = 0,00227 :

d ' = 1,5   c m 1 + 0,00227

O que dá:

Resposta

d ' = 1,5034   c m

Exercício Resolvido #3

A haste plástica de acrílico tem 200   m m de comprimento e 15   m m de diâmetro. Se uma carga axial de 300   N for aplicada a ela, determine a mudança em seu comprimento e em seu diâmetro.

E p = 2,70   G P a , ν p = 0,4 0.

Passo 1

O exercício quer saber a variação do comprimento Δ L (tradicionalmente chamada de δ ) e a variação do diâmetro Δ d da haste.

Para encontrar a variação do comprimento, podemos nos lembrar da fórmula que obtemos quando combinamos a Lei de Hooke ( σ = E ε ) com as fórmulas da tensão normal média ( σ = N / A ) e da deformação normal ( ε = δ / L ):

δ = N L E A

Com essa fórmula, conseguimos calcular a variação do comprimento δ da haste a partir:

  • Da força interna normal N , que vai ser igual à carga de tração de 300   N ;
  • Do comprimento inicial L = 200   m m da haste;
  • Do módulo de elasticidade E p = 2,70   G P a do plástico;
  • E da área A da seção transversal da haste, que pode ser descrita em função de seu diâmetro d = 15   m m através da fórmula A = π d 2 / 4 .

Agora, essa haste não vai sofrer deformação só no sentido longitudinal (sentido do seu comprimento). Ela também vai se deformar no sentido lateral (sentido do seu diâmetro).

O coeficiente de Poisson do plástico ν p = 0,40 vai ditar a razão entre essas deformações ε l o n g e ε l a t através da fórmula:

ν p = - ε l a t ε l o n g

A deformação no sentido longitudinal ε l o n g pode ser calculada dividindo a variação do comprimento nesse sentido δ pelo comprimento original L :

ε l o n g = δ L

Enquanto isso, a deformação no sentido lateral ε l a t é a divisão da variação de uma medida no sentido lateral pelo valor inicial dessa medida.

Usando o diâmetro d como essa medida, temos:

ε l a t = Δ d d

Usando essas três últimas fórmula, vamos poder calcular a variação do diâmetro Δ d da haste.

Passo 2

Vamos começar encontrando a variação do comprimento δ da haste.

Combinando a Lei de Hooke ( σ = E ε ) com as fórmulas da tensão normal média ( σ = N / A ) e da deformação normal ( ε = δ / L ), temos:

δ = N L E A

Como a área A da seção transversal dessa haste é circular, ela pode ser descrita em função de seu diâmetro d através da fórmula π d 2 / 4 :

δ = N L E π d 2 4

δ = 4 N L E π d 2

Substituindo os valores N = 300   N , L = 200   m m , E = 2,70   G P a e d = 15   m m :

δ = 4 300   N 200   m m 2,70   G P a π 15   m m 2

Reescrevendo 2,70   G P a como 2700   M P a , temos:

δ = 4 300   N 200   m m 2700   M P a π 15   m m 2

Como M P a = N / m m 2 , as unidades “ N ” e “ m m 2 ” nessa equação vão se cortar e o resultado vai sair em milímetros ( m m ).

Calculando tudo, encontramos:

δ = 0,12575 ≅ 0,126   m m

Metade do exercício já está resolvido, agora vamos para a próxima metade!

Passo 3

Queremos encontrar a variação do diâmetro Δ d da haste.

Da equação do coeficiente de Poisson, temos:

ν p = - ε l a t ε l o n g

Onde:

ε l a t = Δ d d       &       ε l o n g = δ L

Substituindo essas definições na equação do coeficiente de Poisson:

ν p = - Δ d / d δ / L

Isolando Δ d nessa expressão, encontramos:

Δ d = - ν p * δ L * d

Substituindo os valores de ν p = 0,40 , δ = 0,12575   m m , L = 200   m m e d = 15   m m :

Δ d = - 0,40 0,12575   m m 200   m m 15   m m

Calculando tudo, isso dá:

Δ d = - 0,0037725   m m   ≅ - 0,00377   m m

E assim temos as respostas para o exercício:

Resposta

δ = 0,126   m m

Δ d = - 0,00377   m m

Exercício Resolvido #4

A variação no diâmetro de um grande parafuso de aço é cuidadosamente medida enquanto a porca é apertada. Sabendo que E = 200   G P a e ν = 0,29 , determine a força interna no parafuso, quando se observa que o diâmetro diminuiu em 13   μ m .

Passo 1

O que está acontecendo?

Ao mesmo tempo que o parafuso faz forças nas peças rosas para manter elas em suas posições, as peças reagem tracionando o parafuso pelas extremidades.

Essa tração significa que existe no parafuso uma força interna normal N e uma tensão normal média:

σ = N A

Pela Lei de Hooke, essa tensão σ corresponde a uma deformação normal/longitudinal ε l o n g no parafuso:

σ = E ε l o n g

E pela definição do coeficiente de Poisson ν , essa deformação longitudinal ε l o n g é acompanhada por uma deformação lateral ε l a t :

ν = - ε l a t ε l o n g

Agora, o exercício disse que o parafuso tinha um diâmetro inicial d = 60   m m e sofreu uma diminuição de 13   μ m , ou seja, ele sofreu uma variação de diâmetro Δ d = - 13   μ m .

Isso significa que o exercício nos descreveu a variação lateral no parafuso, uma vez que:

ε l a t = Δ d d

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o valor da força interna normal N no parafuso.

Para descobrir esse valor, vamos partir da fórmula da tensão normal média e desenvolver ela usando a Lei de Hooke, a definição do Coeficiente de Poisson e a definição da deformação lateral.

Dessa forma, vamos conseguir descrever a força N a partir de valores que conhecemos, como:

  • O módulo de elasticidade E = 200   G P a ;
  • O coeficiente de Poisson ν = 0,29 ;
  • O diâmetro inicial d = 60   m m ;
  • E a variação de diâmetro Δ d = - 13   μ m .

Passo 2

Então primeiro, vamos resolver o exercício literalmente. Em seguida, substituímos os valores e encontramos N .

Partindo da fórmula da tensão normal média, temos:

σ = N A

Queremos encontrar N , então podemos isolá-lo desde já:

N = σ A

Ok!

Agora, a tensão σ pode ser descrita pela Lei de Hooke σ = E ε l o n g .

E a área A da seção transversal do parafuso é circular e pode ser descrita em função de seu diâmetro d através da fórmula A = π d 2 / 4 .

Fazendo essas substituições, temos:

N = E ε l o n g π d 2 4

Arrumando a expressão, ela fica assim:

N = E π d 2 4 ε l o n g

Beleza...

Conhecemos os valores de E e d , mas não conhecemos o valor da deformação longitudinal ε l o n g .

Mas sabemos descrever a deformação lateral ε l a t , e sabemos que essas deformações são relacionadas pelo coeficiente de Poisson:

ν = - ε l a t ε l o n g

Isolando ε l o n g , temos:

ε l o n g = - ε l a t ν

Substituindo isso na última expressão que tínhamos encontrado para N :

N = E π d 2 4 - ε l a t ν

Arrumando, fica assim:

N = - E π d 2 4 ν ε l a t

Agora só falta descrever a deformação lateral ε l a t .

Ela é a razão entre a variação de uma medida no sentido lateral (como o nosso diâmetro) sobre o valor inicial da medida, ou seja:

ε l a t = Δ d d

Fazendo essa última substituição, a força N fica assim:

N = - E π d 2 4 ν Δ d d

Simplificando, temos:

N = - E π d 4 ν Δ d

Passo 3

Agora, só falta substituir os valores de E , ν , d e Δ d na expressão que encontramos para N :

N = - E π d 4 ν Δ d

Fazendo as substituições:

N = - 200   G P a π 60   m m 4 0,29 - 13   μ m

Pausa para olhar para as unidades...

G P a é o mesmo que k N / m m 2 .

Então se a gente conseguir reescrever a variação de - 13   μ m (micrometros) em milímetros ( m m ), as unidades de milímetros vão se cortar e o resultado para a força N vai sair em k N .

1 micrometro é o mesmo que 10 - 6 metros ou 10 - 3 milímetros, então:

- 13   μ m = - 13 * 10 - 3   m m

Fazendo essas substituições, a conta fica assim:

N = - 200   k N / m m 2 π 60   m m 4 0,29 - 13 * 10 - 3   m m

Calculando tudo, isso dá:

Resposta

N = 422   k N

Exercício Resolvido #5

Uma força de tração de 2669   N é aplicada a um corpo de prova feito de placa de aço plana de 1,588   m m ( E = 200   G P a , ν = 0,30 ). Determine a variação resultante ( a ) no comprimento de referência de 50,8   m m , ( b ) na largura da parte A B do corpo de prova, ( c ) na espessura da parte A B e ( d ) na área da seção transversal da parte A B .

Passo 1

A região A B do corpo de prova possui, originalmente, um comprimento L = 50,8   m m , uma largura l = 12,7   m m e uma espessura e = 1,588   m m .

O material do corpo de prova possui um módulo de elasticidade E = 200   G P a e um Coeficiente de Poisson ν = 0,30 .

Além disso, a força interna normal no corpo de prova é N = 2669   N , uma vez que ele está submetido a uma força de tração pura com essa intensidade.

E o que é que o exercício quer?

Por causa da tração, a região A B é esticada, sofrendo variações no seu comprimento, na sua largura, na sua espessura, e, consequentemente, na sua área de seção transversal.

O exercício quer saber o valor dessas variações.

No item ( a ) , para encontrar a variação do comprimento, vamos ter que usar a Lei de Hooke e as fórmulas da tensão normal média e da deformação normal.

Nos itens ( b ) e ( c ) , para encontrar as variações da largura e da espessura, vamos ter que analisar a deformação lateral na peça.

(Vamos precisar das definições de deformação longitudinal ε l o n g e lateral ε l a t e das definições do coeficiente de Poisson ν .)

Finalmente, no item ( d ) , vamos encontrar a variação da área da seção transversal calculando a diferença entre a área final e a área inicial.

Passo 2

Temos várias informações sobre a peça e sobre o carregamento nela e queremos saber, no item ( a ) , qual é o valor da variação de comprimento Δ L sofrida pela região A B do corpo de prova.

Normalmente, chamamos essa variação de comprimento principal de δ .

Agora, lembra aí...

Existe uma fórmula que descreve a variação de comprimento   δ numa peça em função do carregamento nela:

δ = N L E A

E a fórmula que obtemos quando combinamos a Lei de Hooke com as fórmulas da tensão normal média e da deformação normal.

Nessa fórmula, sabemos o valor de N , L e E , mas não sabemos o valor da área A da seção transversal da região A B .

Mas sabemos que essa região tem uma seção transversal retangular, de espessura e e largura l . Logo:

A = e * l

Sendo assim, a variação de comprimento δ fica assim:

δ = N L E e l

Pronto, agora podemos calcular o valor da variação de comprimento δ !

Substituindo os valores de N , L , E , e e l , temos:

δ = 2669   N 50,8   m m 200   G P a 1,588   m m 12,7   m m

Reescrevendo G P a como k N / m m 2 e reescrevendo a força de 2669   N como 2,669   k N :

δ = 2,669   k N 50,8   m m 200   k N / m m 2 1,588   m m 12,7   m m

Agora, as unidades k N e m m 2 vão se cortar, e o resultado final vai sair em m m .

Calculando tudo, temos que:

δ = 0,0336   m m

Passo 3

Agora, seguimos para os itens ( b ) e ( c ) .

Nesses itens queremos encontrar a variação de largura Δ l e a variação de espessura Δ e na parte A B do corpo de prova.

Essas duas variações ocorrem por causa da deformação lateral ε l a t que acompanha toda deformação longitudinal ε l o n g num corpo.

A deformação longitudinal ε l o n g é aquela que ocorre no sentido do comprimento do corpo. É a variação de comprimento sobre o comprimento inicial:

ε l o n g = δ L

E a deformação lateral ε l a t é a que ocorre no sentido lateral. É a variação de uma medida da seção transversal da peça (como a largura ou a espessura) sobre a medida inicial:

ε l a t = Δ l l = Δ e e

E essas duas deformações são relacionadas pelo coeficiente de Poisson:

ν = - ε l a t ε l o n g

O que significa que:

ε l a t = - ν ε l o n g

E, como ε l o n g = δ / L :

ε l a t = - ν δ L

Substituindo ε l a t = Δ l / l e isolando Δ l , encontramos:

Δ l = - ν δ L l

E, alternativamente, substituindo ε l a t = Δ e / e e isolando Δ e , temos:

Δ e = - ν δ L e

Pronto, encontramos as expressões que vão nos dar os valores de Δ l e Δ e !

Substituindo os valores de ν , δ , L , l e e nessas duas expressões, temos:

Δ l = - 0,30 0,0336   m m 50,8   m m 12,7   m m

&

Δ e = - 0,30 0,0336   m m 50,8   m m 1,588   m m

Calculando tudo, encontramos:

Δ l = - 0,00252   m m = - 2,52 * 10 - 3   m m

&

Δ e = - 0,000315   m m = - 3,15 * 10 - 4   m m

Passo 4

Por último, resolvemos o item ( d ) , onde queremos encontrar a variação de área de seção transversal Δ A na parte A B do corpo de prova.

A variação de qualquer medida é igual ao seu valor final menos o seu valor inicial.

Então sendo A ' o valor final da área da seção transversal, temos que:

Δ A = A ' - A

A seção transversal é retangular, de espessura e e largura l , de tal forma que A = e * l .

A seção transversal final também vai ser retangular, de espessura final e ' e largura final l ' , de tal forma que A ' = e ' * l ' .

Ou seja:

Δ A = e ' l ' - e l

Agora, a espessura e a largura final vão ser iguais aos seus valores iniciais mais as suas variações:

e ' = e + Δ e

&

l ' = l + Δ l

Substituindo isso na expressão anterior, temos:

Δ A = e + Δ e l + Δ l - e l

Substituindo os valores de e , l , Δ e e Δ l , todos em milímetros:

Δ A = 1,588 + - 0,000315 12,7 + - 0,00252 - 1,588 12,7   m m 2

Calculando tudo:

Δ A = - 0,008   m m 2 = - 8 * 10 - 3   m m 2

E assim finalizamos o exercício:

Resposta

a   Δ L = δ = 0,0336   m m

b   Δ l = - 2,52 * 10 - 3   m m

c   Δ e = - 3,15 * 10 - 4   m m

d   Δ A = - 8 * 10 - 3   m m 2

Exercício Resolvido #6

O tampão tem diâmetro de 30   m m e ajusta-se ao interior de uma luva rígida com diâmetro interno de 32   m m . Ambos, tampão e luva, têm 50   m m de comprimento.

Determine a pressão axial p que deve ser aplicada à parte superior do tampão para que ele entre em contato com as laterais da luva. Determine também a que distância o tampão deve ser comprimido para baixo para que isso aconteça.

O material do tampão tem E = 5   M P a e ν = 0,45 .

Passo 1

O que está acontecendo?

O tampão tem um diâmetro inicial d = 30   m m e um comprimento inicial L = 50   m m .

O seu material tem um módulo de elasticidade E = 5 M P a e um Coeficiente de Poisson ν = 0,45 .

E ele está submetido a uma pressão axial p de compressão.

Agora vamos pensar...

Pressão é força sobre área, então essa pressão p pode ser trocada por uma força equivalente F = p A , onde A é a área da seção transversal do tampão.

Essa força F de compressão vai gerar no tampão uma força interna normal N = - F = - p A e uma tensão normal média:

σ = N A

Substituindo N = - p A , temos:

σ = - p A A = - p

Ou seja, para o equilíbrio interno do tampão, a tensão σ tem que ser o oposto da pressão p .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é a pressão p que faz com que o tampão encoste nas laterais da luva.

Ou seja, ele quer saber qual é a pressão p que faz com que o diâmetro final d ' do tampão seja igual ao diâmetro interno de 32   m m na luva.

Agora, Para que o tampão tenha esse diâmetro final d ' , ele tem que ter sofrido:

  • Uma certa deformação lateral ε l a t = Δ d / d ;
  • Uma certa deformação longitudinal ε l o n g , de acordo com seu coeficiente de Poisson ν ;
  • E uma certa tensão normal média σ = - p , de acordo com a Lei de Hooke σ = E ε l o n g .

Então combinando a Lei de Hooke, as definições do coeficiente de Poisson e da deformação lateral e a relação σ = - p , vamos poder relacionar a pressão p com o diâmetro final d ' e encontrar o valor de p que garante que d ' = 32   m m .

Depois, o exercício ainda quer que a gente encontre a variação de comprimento δ que o tampão sofreu.

Para tanto, vamos ter que usar a definição ε l o n g = δ / L , a Lei de Hooke (para encontrar a deformação ε l o n g correspondente a uma certa tensão normal σ ) e a relação σ = - p .

Passo 2

Queremos relacionar então a pressão axial p no tampão com o seu diâmetro final d ' .

Para tanto, vamos começar usando a Lei de Hooke:

σ = E ε l o n g

Aplicando a relação σ = - p , temos:

- p = E ε l o n g

p = - E ε l o n g

Agora, vamos pensar...

Precisamos relacionar p não com a deformação longitudinal ε l o n g , mas sim com a deformação lateral ε l a t no tampão, já que é a deformação lateral que causa a variação no diâmetro do tampão.

Para encontrar ε l o n g em função de ε l a t , usamos a definição do Coeficiente de Poisson ν :

ν = - ε l a t ε l o n g

Isolando ε l o n g , temos:

ε l o n g = - ε l a t ν

Substituindo essa expressão na equação que tínhamos encontrado anteriormente, temos:

p = - E - ε l a t ν

p = E ε l a t ν

Agora, só falta descrever essa deformação lateral ε l a t em função do diâmetro final d ' que vamos obter uma expressão para a pressão p em função de d ' .

A deformação lateral é definida como a variação de uma medida no sentido lateral (como o diâmetro, por exemplo) sobre o valor original da medida, ou seja:

ε l a t = Δ d d = d ' - d d

Substituindo isso na última expressão que tínhamos encontrado para p , temos que:

p = E d ' - d d ν

p = E d ' - d ν d

Passo 3

Agora que já encontramos uma expressão que relaciona a pressão axial p no tampão com o seu diâmetro final d ' :

p = E d ' - d ν d

podemos substituir os valores E = 5   M P a , d = 30   m m , ν = 0,45 e d ' = 32   m m nessa expressão para descobrir qual é a pressão axial p que faz com que o tampão encoste nas laterais da luva:

p = 5   M P a 32   m m - 30   m m 0,45 30   m m

Calculando tudo, isso dá:

p = 0,741   M P a

Esse é um número pequeno, então fica melhor reescrevê-lo em k P a :

p = 741   k P a

Passo 4

Já resolvemos a primeira parte do exercício, que foi encontrar a pressão p que faz com que o tampão tenha um diâmetro final d ' = 32   m m .

Agora, queremos resolver a segunda parte: descobrir a distância que o tampão teve que ser comprimido para baixo para que isso aconteça.

Essa distância é a variação de comprimento δ do tampão, que é descrita pela sua deformação longitudinal ε l o n g :

ε l o n g = δ L

Onde e L é o seu comprimento original de 50   m m do tampão.

Isolando δ nessa definição de ε l o n g , temos:

δ = ε l o n g L

A gente não conhece o valor de ε l o n g , mas a gente sabe que essa deformação é proporcional à tensão normal média σ no tampão de acordo com a Lei de Hooke:

σ = E ε l o n g

ε l o n g = σ E

Mas como vimos no primeiro passo, σ = - p , então:

ε l o n g = - p E

Substituindo isso na expressão que tínhamos encontrado para a variação de comprimento δ , ela fica assim:

δ = - p E L

δ = - p L E

Então substituindo nessa equação p = 741   k P a , vamos descobrir qual é a variação de comprimento δ que corresponde a essa situação.

Fazendo essa substituição e ainda substituindo os valores de L = 50   m m e E = 5   M P a , temos:

δ = - 741   k P a 50   m m 5   M P a

Para que o resultado saia em milímetros ( m m ), reescrevemos o módulo de elasticidade de 5   M P a como 5000   k P a :

δ = - 741   k P a 50   m m 5 000   k P a

Calculando, encontramos:

δ = - 7,41   m m

Ou seja, o tampão teve que ser comprimido 7,41   m m para baixo para que ele encostasse nas laterais da luva.

Resposta

p = 741   k P a

O tampão teve que ser comprimido  7,41   m m   para baixo.

Exercício Resolvido #7

Um tubo de aço de comprimento igual a 1829   m m , diâmetro externo de 304,8   m m e espessura de parede de 12,7   m m é usado como uma coluna curta e suporta uma força axial centrada de 1334   k N .

Sabendo que E = 200   G P a e ν = 0,30 , determine ( a ) a variação no comprimento do tubo, ( b ) a variação em seu diâmetro externo e ( c ) a variação na espessura da parede.

Passo 1

O tubo tem, inicialmente, um comprimento L = 1829   m m , um diâmetro externo d = 304,8   m m e uma parede de espessura e = 12,7   m m .

Além disso, o tubo é feito de um aço de módulo de elasticidade E = 200   G P a e Coeficiente de Poisson ν = 0,30 .

Quando o tubo for carregado com a força de compressão de 1334   k N , vai surgir nele uma força interna normal N = - 1334   k N , que vai gerar nele uma tensão normal média σ = N / A .

De acordo com a Lei de Hooke e o Coeficiente de Poisson, essa tensão normal σ no tubo vai ser acompanhada por deformações longitudinal ε l o n g e lateral ε l a t .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine as variações de comprimento δ , de diâmetro externo Δ d e de espessura da parede Δ e no tubo quando ele é carregado com a força de 1334   k N .

Para encontrar a variação de comprimento δ do tubo no item ( a ) , podemos usar a fórmula que vem da combinação da Lei de Hooke com as fórmulas da tensão normal média e da deformação normal:

δ = N L E A

Já para encontrar as variações do diâmetro externo Δ d e da espessura da parede Δ e nos itens ( b ) e ( c ) , vamos precisar nos lembrar da definição de deformação lateral:

A deformação lateral ε l a t é definida como a variação de uma medida no sentido lateral (como o diâmetro ou a espessura do tubo) sobre o valor inicial dessa medida.

Ou seja:

ε l a t = Δ d d = Δ e e

Então se conseguimos usar o Coeficiente de Poisson para encontrar ε l a t , vamos conseguir encontrar em seguida Δ d e Δ e .

Passo 2

Vamos começar resolvendo o item ( a ) .

Aplicando a fórmula que descreve a variação de comprimento δ de uma peça a partir do carregamento axial na peça, temos:

δ = N L E A

Sabemos que N = - 1334   k N , L = 1829   m m e E = 200   G P a , mas não sabemos o valor da área A da seção transversal do tubo.

Então vamos olhar para a seção transversal do tubo para encontrar sua área A :

Vemos que dá pra definir a área A como a diferença entre a área do círculo de diâmetro externo d e a área do círculo de diâmetro interno d i n t = d - 2 e .

A área de cada um desses círculos vai ser dada pela fórmula π d 2 / 4 , então:

A = π d 2 4 - π d i n t 2 4

Colocando π / 4 em evidência, encontramos que:

A = π 4 d 2 - d i n t 2

Podemos deixar essa área em função do diâmetro interno d i n t uma vez que d i n t = d - 2 e pode ser calculado facilmente:

d i n t = d - 2 e = 304,8   m m - 2 12,7   m m

d i n t = 279,4   m m

Passo 3

Encontrada uma expressão para a área A , podemos substituir ela na fórmula δ = N L / E A :

δ = N L E π 4 d 2 - d i n t 2

Arrumando tudo, isso fica assim:

δ = 4 N L E π ( d 2 - d i n t 2 )

Agora, só falta substituir os valores de N , L , E , d e d i n t para encontra o valor da variação de comprimento δ sofrida pelo tubo.

Fazendo todas essas substituições, temos:

δ = 4 - 1334   k N 1829   m m 200   G P a π ( 304,8   m m 2 - 279,4   m m 2 )

Como G P a = k N / m m 2 , as unidades k N e m m 2 nessa equação vão se cortar, e o resultado final vai sair em milímetros ( m m ).

Calculando tudo, encontramos:

δ = - 1,047   m m

Que é a resposta do item ( a ) !

Passo 4

Agora, antes de resolver os itens ( b ) e ( c ) , vamos encontrar a deformação lateral ε l a t no tubo, já que é ela que descreve as variações do diâmetro externo Δ d e da espessura da parede Δ e .

A deformação lateral ε l a t aparece na fórmula do Coeficiente de Poisson, então vamos começar usando essa fórmula:

ν = - ε l a t ε l o n g

Isolando a deformação lateral ε l a t , temos:

ε l a t = - ν ε l o n g

Como a deformação longitudinal ε l o n g é definida como a variação de comprimento δ sobre o comprimento original L , temos que:

ε l a t = - ν δ L

Conhecemos ν = 0,30 , δ = - 1,047   m m e L = 1829   m m , então encontramos a deformação lateral ε l a t no tubo!

Passo 5

No passo anterior, encontramos que:

ε l a t = - ν δ L

Agora, podemos usar isso para resolver os itens ( b ) e ( c ) .

Começando pelo item ( b ) ...

Queremos encontrar a variação do diâmetro externo Δ d , então definimos a deformação lateral ε l a t como:

ε l a t = Δ d d

Substituindo isso na expressão que encontramos no passo anterior, temos que:

Δ d d = - ν δ L

Isolando Δ d :

Δ d = - ν δ d L

Inserindo os valores de ν , δ , d e L :

Δ d = - 0,30 - 1,047   m m 304,8   m m ( 1829   m m )

O que dá:

Δ d = 0,0523   m m

Ou se preferirmos:

Δ d = 5,23 * 10 - 2   m m

Passo 6

Finalmente, para o item ( c ) , repetimos o que fizemos para o item ( b ) :

Queremos encontrar a variação da espessura da parede Δ e , então definimos ε l a t como:

ε l a t = Δ e e

Substituindo isso na expressão do passo anterior, temos que:

Δ e e = - ν δ L

Δ e = - ν δ e L

Inserindo os valores de ν , δ , e e L , encontramos a variação da espessura da parede Δ e :

Δ e = - 0,30 - 1,047   m m 12,7   m m ( 1829   m m )

Δ e = 0,00218   m m

Ou em notação científica:

Δ e = 2,18 * 10 - 3   m m

Resposta

a   δ = - 1,04 7   m m

b   Δ d = 0,0523   m m = 5,23 * 10 - 2   m m

c   Δ e = 0,00218   m m = 2,18 * 10 - 3   m m

Exercício Resolvido #8

Um tecido utilizado em estruturas infláveis está submetido a um carregamento biaxial que resulta em tensões normais σ x = 120   M P a e σ z = 160   M P a . Sabendo que as propriedades do tecido podem ser de aproximadamente E = 87   G P a e ν = 0,34 , determine a variação no comprimento ( a ) do lado A B , ( b ) do lado B C e ( c ) da diagonal A C .

Passo 1

Nos exercícios anteriores, a gente sempre trabalhou com só uma tensão normal σ e com as deformações longitudinal ε l o n g e lateral ε l a t .

Agora, nesse exercício, nós temos tensões multiaxiais:

  • No eixo x , temos uma tensão normal σ x = 120   M P a ;
  • No eixo y , não temos tensão normal, então σ y = 0   M P a ;
  • E no eixo z , temos uma tensão normal σ z = 160   M P a .

Por esse motivo, ao invés de usarmos as deformações longitudinal ε l o n g e lateral ε l a t em exercícios como esse, usamos as deformações em cada eixo: ε x , ε y e ε z .

E como a gente encontra essas deformações em cada eixo?

Lembra aí!

Existem fórmulas para as deformações em cada eixo como consequência das tensões multiaxiais:

ε x = 1 E ( + σ x - ν σ y - ν σ z )

ε y = 1 E ( - ν σ x + σ y - ν σ z )

ε z = 1 E ( - ν σ x - ν σ y + σ z )

Cada uma dessas fórmulas é o resultado da soma dos efeitos que as tensões em cada eixo têm na deformação em uma certa direção.

Beleza, e o que é que o exercício quer?

Ele quer saber:

( a ) A variação no comprimento do lado A B , δ A B .

Como o lado A B está ao longo do eixo x , essa variação vai ser definida pela deformação em x :

ε x = δ A B L A B

onde L A B é o comprimento inicial de 100   m m do lado A B .

( b ) A variação no comprimento do lado B C , δ B C .

B C está ao longo do eixo z , então:

ε z = δ B C L B C

Onde L B C é o comprimento inicial de 75   m m do lado B C .

( c ) A variação no comprimento da diagonal A C , δ A C .

Não existe uma “deformação diagonal” que define a variação de A C , mas podemos pensar nessa variação assim:

Inicialmente, a diagonal tem um comprimento L A C que pode ser encontrado a partir do Teorema de Pitágoras:

L A C = L A B 2 + L B C 2

Enquanto que, ao final, o lado A B vai ter um comprimento L A B + δ A B e o lado B C um comprimento L B C + δ B C , de tal forma que a diagonal A C vai ter um comprimento final L A C ' :

L A C ' = L A B + δ A B 2 + L B C + δ B C 2

E assim a variação δ A C vai ser dada por:

δ A C = L A C ' - L A C

Então, resumindo...

Se encontramos as deformações em x e em z ( ε x e ε z ), vamos poder calcular as variações δ A B e δ B C , resolvendo os itens ( a ) e ( b ) .

E, conhecendo as variações δ A B e δ B C , conseguimos calcular a variação da diagonal, δ A C , resolvendo assim o item ( c ) .

O material tem um módulo de elasticidade E = 87   G P a e um coeficiente de Poisson ν = 0,34 .

Passo 2

Então vamos começar o exercício encontrando as deformações em x e em z ( ε x e ε z ).

Usando as fórmulas para a deformação em x e em z em situações de tensões multiaxiais, temos:

ε x = 1 E ( + σ x - ν σ y - ν σ z )

&

ε z = 1 E ( - ν σ x - ν σ y + σ z )

Como, no nosso caso, a tensão normal em y é igual a zero, temos que:

ε x = 1 E ( σ x - ν σ z )

&

ε z = 1 E ( - ν σ x + σ z )

O exercício nos forneceu o valor do módulo de elasticidade E em G P a , sendo que as tensões σ x e σ z foram fornecidas em M P a .

Para que os nossos resultados de deformação sejam adimensionais, vamos reescrever o módulo de elasticidade E em M P a na hora de substituir o seu valor.

Substituindo os valores de ν , σ x , σ y e E = 87   G P a = 87000   M P a , temos:

ε x = 1 87000   M P a ( 120   M P a - 0,34 160   M P a )

&

ε z = 1 87000   M P a - 0,34 120   M P a + 160   M P a

Calculando tudo, encontramos:

ε x = 7,54 * 10 - 4

&

ε z = 1,37 * 10 - 3

Passo 3

Agora que sabemos as deformações em x e em z , podemos resolver os itens ( a ) e ( b ) .

Começando pelo item ( a ) :

Podemos definir a deformação em x como:

ε x = δ A B L A B

Como queremos encontrar no item ( a ) a variação δ A B do comprimento do lado A B , devemos isolar δ A B :

δ A B = ε x L A B

Substituindo os valores de ε x e L A B , temos:

δ A B = 7,54 * 10 - 4 100   m m

O que dá:

δ A B = 0,0754   m m

Passo 4

E agora para o item ( b ) :

Queremos encontrar a variação δ B C do comprimento do lado B C , que é descrita pela deformação em z :

ε z = δ B C L B C

Isolando δ B C , temos:

δ B C = ε z L B C

Substituindo os valores de ε z e L B C :

δ B C = 1,37 * 10 - 3 75   m m

O que dá:

δ B C = 0,1028   m m

Passo 5

Por último, resolvemos o item ( c ) :

Queremos encontrar a variação de comprimento δ A C da diagonal A C .

Toda variação de comprimento é igual ao comprimento final menos o comprimento inicial, logo:

δ A C = L A C ' - L A C

O comprimento inicial L A C pode ser encontrado através do Teorema de Pitágoras, usando os lados A B e B C como os catetos e o lado A C como a hipotenusa:

L A C = L A B 2 + L B C 2

Da mesma forma, o comprimento final L A C ' também pode ser calculado através do Teorema de Pitágoras.

Mas, dessa vez, os lados A B e B C vão ter seus comprimentos finais, que vão ser iguais aos seus comprimentos iniciais mais as variações de comprimento sofridas:

L A C ' = L A B + δ A B 2 + L B C + δ B C 2

Dessa forma, temos que:

δ A C = L A B + δ A B 2 + L B C + δ B C 2 - L A B 2 + L B C 2

Substituindo todos os valores, temos:

δ A C = 100 + 0,0754 2 + 75 + 0,1028 2 - 100 2 + 75 2   m m

O que dá:

δ A C = 125,1220 - 125   m m

δ A C = 0,1220   m m

Resposta

a   δ A B = 0,0754   m m

b   δ B C = 0,1028   m m

c   δ A C = 0,1220   m m

Exercício Resolvido #9

Uma pequena esfera de acrílico de diâmetro d = 32   m m afundou no oceano até um ponto com uma pressão de 21   M P a . Sabendo que o acrílico tem um módulo de elasticidade E = 6   G P a e um Coeficiente de Poisson ν = 0,33 , determine a variação no diâmetro dessa esfera.

Passo 1

A esfera tem um diâmetro inicial d = 32   m m , um módulo de elasticidade E = 6   G P a e um Coeficiente de Poisson ν = 0,33 .

O exercício quer saber a variação no diâmetro Δ d que a esfera sofre ao estar submetida a uma pressão p = 21   M P a .

Então vamos pensar...

Quando alguma peça está submergida na água (ou qualquer outro fluído), a água faz pressão na peça por todos os lados.

Isso quer dizer que se a peça está em um ponto em que a pressão é p = 21   M P a , a peça está submetida a uma pressão de 21   M P a no seu eixo x , no seu eixo y e no seu eixo z .

(O nome disso é pressão hidrostática.)

Agora pensa só...

Pressão é força sobre área que nem tensão é força interna sobre área.

Então se uma força F de compressão gera numa peça uma força interna normal N = - F , uma pressão p de compressão gera uma tensão normal σ = - p .

Então como reação interna à pressão de 21   M P a nas 3 dimensões, vão surgir na peça tensões normais σ nos eixos x , y e z , todas iguais ao oposto da pressão p de compressão:

σ x = σ y = σ z = - p

Isso quer dizer que a esfera está em uma situação de carregamento multiaxial em que todas as três tensões são igual a - p .

Como consequência de um carregamento multiaxial, uma peça sofre deformações ε em x , y e z , de acordo com as fórmulas:

ε x = 1 E ( + σ x - ν σ y - ν σ z )

ε y = 1 E ( - ν σ x + σ y - ν σ z )

ε z = 1 E ( - ν σ x - ν σ y + σ z )

Mas no nosso caso, se substituirmos σ x = σ y = σ z = - p nessas deformações, vamos encontrar que todas elas são iguais:

ε x = ε y = ε z = 1 E ( - p ) - ν - p - ν - p

Normalmente, o ( - p ) é tirado em evidência...

ε x = ε y = ε z = ( - p ) 1 E 1 - ν - ν

...e essa equação é arrumada para ficar assim:

ε x = ε y = ε z = - 1 - 2 ν p E

Então podemos descobrir a deformação sofrida pela esfera usando a fórmula acima...

E como o diâmetro d é uma medida que existe nos três eixos em uma esfera, podemos definir todas as deformações ε assim:

ε x = ε y = ε z = Δ d d

E, em seguida, podemos usar essa definição para encontrar a variação Δ d do diâmetro da esfera, resolvendo assim o exercício!

Passo 2

Então primeiro, vamos encontrar a deformação ε x = ε y = ε z na esfera.

Usando a fórmula que encontramos para descrever a deformação numa peça em função da pressão p a qual ela está submetida em todas as direções, temos:

ε x = ε y = ε z = - 1 - 2 ν p E

Subsituindo E = 6   G P a , ν = 0,33 e p = 21   M P a , temos:

ε x = ε y = ε z = - 1 - 2 0,33 21   M P a ( 6   G P a )

Para que o resultado da deformação saia adimensional, reescrevemos o módulo de elasticidade de 6   G P a como 6000   M P a :

ε x = ε y = ε z = - 1 - 2 0,33 21   M P a ( 6 000   M P a )

Calculando tudo, encontramos:

ε x = ε y = ε z = - 0,00119

Passo 3

Agora que encontramos a deformação na esfera, podemos defini-la em função da variação do diâmetro Δ d e do diâmetro inicial d da esfera para encontrarmos Δ d :

ε x = ε y = ε z = Δ d d

Substituíndo ε x = ε y = ε z = - 0,00119 , temos:

Δ d d = - 0,00119

Isolando Δ d :

Δ d = - 0,00119 d

E, finalmente, substituindo d = 32   m m :

Δ d = - 0,00119 ( 32   m m )

O que dá:

Resposta

Δ d = 0,0381   m m

Exercício Resolvido #10

Abaixo é dado um paralelepípedo de concreto submetido aos carregamentos mostrados na figura. Sabendo que E =   34,2   G P a , ϑ = 0,21 de termine a deformação em mm de cada lado do paralelepípedo.

Passo 1

Esse problema se trata de um problema em que temos que usar a fórmula de deformação nos eixos. A fórmula que temos que usar é a fórmula da lei generalizada de Hooke que é dada por

ε x = 1 E (   σ x - ϑ σ y - ϑ σ z )

ε y = 1 E (   σ y - ϑ σ x - ϑ σ z )

ε z = 1 E (   σ z - ϑ σ y - ϑ σ x )

Outro cuidado que temos que tomar é que essas fórmulas dão a deformação especifica em cada eixo, e o enunciado pede a de formação total, ou seja, precisaremos saber que a relação entre deformação especifica e total é dada por

ε = δ L

Como o objetivo é determinar a deformação total podemos escrever essa fórmula como

δ = ε L

Agora que já definimos quais fórmulas usar, devemos determinar cada parte da fórmula.

Passo 2

Vamos primeiro determinar as tensões em cada um dos eixos. Sabemos que a fórmula que nos dá as tensões em cada eixo é

σ = N A

Vale prestar atenção que todas as cargas aplicadas na nossa peça são cargas de compressão, logo todos os normais devem possuir sinal de menos. Com isso teremos que

N x =   - 10   K N

N y =   - 50   K N

N z =   - 20   K N

Também precisamos determinar as áreas relativas a cada um dos normais.

A x =   20   x   5 = 100   c m 2

A y =   10   x   20 = 200   c m 2  

A z =   10   x   5 = 50   c m 2

Agora é fácil determinar o valor das tensões em cada face do nosso paralelepípedo

σ x = N x A x = - 10 100 = - 0,10 K N c m 2  

σ y =   N y A y = - 50 200 = - 0,25 K N c m 2    

σ z =   N z A z = - 20 50 = - 0,40 K N c m 2      

Passo 3

Já com as tensões em mãos basta determinar as deformações especificas, tomando, é claro, cuidado com os sinais que determinamos, logo teremos que

ε x = 1 E (   σ x - ϑ σ y - ϑ σ z )

ε y = 1 E (   σ y - ϑ σ x - ϑ σ z )

ε z = 1 E (   σ z - ϑ σ y - ϑ σ x )

Em que

E = 34,2   G P a = 34,2   K N m m 2 = 34,2   x   10 2 K N c m 2

ϑ = 0,21

σ x = - 0,10 K N c m 2  

σ y = - 0,25 K N c m 2    

σ z = - 0,40 K N c m 2      

Substituindo teremos que

ε x = 1 3420   - 0,10 - 0,21 - 0,25 - 0,21 - 0,40 = 1,07   .   10 - 5

ε y = 1 3420   - 0,25 - 0,21 - 0,10 - 0,21 - 0,40 = - 4,24   . 10 - 5

ε z = 1 3420 - 0,40 - 0,21 - 0,10 - 0,21 - 0,25 = - 9,55   .   10 - 5

Passo 4

Como eu disse é pedido a deformação total e não especifica, ou seja, temos que usa a seguinte fórmula.

δ = ε L

Nos foi pedido também a deformação em mm, logo temos que garantir que esses comprimentos estarão corretor também, logo teremos que.

L x = 10 c m = 100 m m  

L y = 5   c m = 50 m m    

L z = 20 c m = 200 m m      

ε x = 1,07   .   10 - 5

ε y = - 4,24   . 10 - 5

ε z = - 9,55   .   10 - 5

Substituindo teremos que

δ x = 1,07   .   10 - 5   .   100 = 1,07   .   10 - 3 m m

δ y = - 4,24   . 10 - 5 .   50 = - 2,12   .   10 - 3 m m

δ z = - 9,55   .   10 - 5 .   200 = - 0,0191   m m

Com isso podemos deduzir que os eixos y e z sofreram compressão enquanto que o eixo x sofrerá uma expansão, mesmo atuando no eixo x uma carga de compressão.

Isso ocorre pois as deformações nos eixos y e z são maiores que as deformações de compressão em x, obrigando, nesse caso, o eixo x expandir.

Resposta

δ x = 1,07   .   10 - 3 m m

δ y = - 2,12   .   10 - 3 m m

δ z = - 0,0191   m m

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