Coeficiente de Poisson

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Teoria

Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Vem entender comigo o que é o Coeficiente de Poisson!

O que é Coeficiente de Poisson?

O Coeficiente de Poisson é uma relação entre as deformações dois eixos.

-Hãm?! 😖

Calma, vamos contextualizar!

Sabe quando você estica um elástico e ele não só aumenta de comprimento como também fica mais fino?

O mesmo fenômeno também acontece com a maioria dos materiais sólidos!

Ação da tração e compressão em materiais sólidos
Ação da tração e compressão em materiais sólidos

Por exemplo, se você comprime uma coluna de metal, ela não só diminui de tamanho como também fica mais grossa.

É claro que ninguém vai comprimir uma coluna de metal em casa, com as próprias mãos! Mas deu pra pegar o espirito da coisa?! 🤣🤣🤣 Esse conceito vai ser muito importante em vários momentos aqui em Ciências dos Materiais!

Fórmula do Coeficiente de Poisson

A fórmula do Coeficiente de Poisson tem essa carinha aqui:

Fórmula do Coeficiente de Poisson
Fórmula do Coeficiente de Poisson

Onde:

  • é o Coeficiente de Poisson. É um valor adimensional que varia de a dependendo do material;
  • é a deformação ao longo do eixo - eixo ao longo do comprimento da peça;
  • é a deformação ao longo do eixo - eixo lateral do peça;
  • é a deformação ao longo do eixo - eixo lateral da peça.

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Deformação Longitudinal e Lateral

As deformações em cada eixo são dadas por:

Deformação Longitudinal e Lateral
Deformação Longitudinal e Lateral

Onde:

  • , e são as variações que ocorreram nas direções, , e , respectivamente, e;
  • , e são os comprimentos iniciais nas direções , e , respectivamente.

Se está parecendo meio confuso para você, vamos fazer um exemplo para clarear.

Exemplo: Se uma viga com coeficiente de Poisson  contrai um valor de  no eixo longitudinal, qual será a deformação nos eixos laterais?

Primeiro, vamos ver o que a questão nos fornece:

OBS.: Aqui, a deformação no eixo longitudinal, eixo , é negativa porque a questão diz que a peça contrai, então ela diminuiu de tamanho, sacou?

E o que a questão pede:

Agora, vamos aplicar a fórmula do Coeficiente de Poisson e achamos o que está sendo pedido:

E prontinho! Viu? Bem de boas!

Tabela: Coeficiente de Poisson

O coeficiente de Poisson varia com o material que esta sendo submetido à tensão. Na tabela abaixo podemos conferir alguns valores típicos:

Tabela: Coeficiente de Poisson de diferentes materiais
Tabela: Coeficiente de Poisson de diferentes materiais

Coeficiente de Poisson: Vídeo Aula

Se você ficou com alguma dúvida, confere esse vídeo sobre Coeficiente de Poisson! 👇

Agora, bora para os exercícios praticar! 😉

Tabela: Coeficiente de Poisson

Coeficiente de Poisson: Vídeo Aula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um cabo de aço utilizado em um teleférico possui um diâmetro de 38   m m . Quando o teleférico está em uso, ele sofre uma deformação ao longo de seu comprimento de 0,02   m m / m m .

Sabendo que o aço possui um Coeficiente de Poisson de 0,29 , estime a variação no diâmetro do cabo de aço quando o teleférico está em uso.

Passo 1

O cabo possui um diâmetro inicial d = 38   m m e sofre uma deformação longitudinal, ao longo de seu comprimento, ε l o n g de 0,02   m m / m m .

De acordo com o seu coeficiente de Poisson ν de 0,29 , essa deformação longitudinal é acompanhada por uma deformação lateral ε l a t :

ν = - ε l a t ε l o n g

Essa deformação lateral é definida como a variação de qualquer medida lateral na peça (como a medida do diâmetro da seção transversal da peça) sobre o valor inicial da medida.

Usando o diâmetro como essa medida, temos:

ε l a t = Δ d d

Juntando essas duas equações, vamos conseguir definir a variação do diâmetro Δ d sofrida pelo cabo, que é o que o exercício quer, em função da deformação lateral fornecida de 0,02   m m / m m !

Passo 2

Então da definição do coeficiente de Poisson, temos que:

ν = - ε l a t ε l o n g

A partir dessa equação a gente pode encontrar a deformação lateral:

ε l a t = - ν . ε l o n g

Substituindo

ε l a t = - 0,29 . ( 0,02   m m / m m )

ε l a t = - 5,8.10 - 3   m m

Agora podemos encontrar a variação de diâmetro utilizando a equação:

ε l a t = Δ d d

Substituindo:

- 5,8.10 - 3 = Δ d 38   m m

Δ d = - 0,2204   m m

Perceba que o diâmetro diminuiu

Resposta

Δ d = - 0,2204   m m

Exercício Resolvido #2

Um cilindro de bronze ( ν = 0,34 ), com diâmetro original de 1,5   c m e comprimento de 3   c m , é colocado em uma máquina de compressão e comprimido até que seu comprimento se torne 2,98   c m . Determinar o novo diâmetro do bloco.

Passo 1

O cilindro de bronze possui um Coeficiente de Poisson ν = 0,34 , um diâmetro original d = 1,5   c m e um comprimento original L = 3   c m .

Ele é comprimido até um comprimento final L ' = 2,98   c m , caracterizando nele uma deformação longitudinal (no sentido do comprimento) ε l o n g :

ε l o n g = δ L

Onde δ é a variação no comprimento do cilindro, calculada como a diferença entre o comprimento final L ' e o comprimento inicial L , tal que:

ε l o n g = L ' - L L

Agora, de acordo com o Coeficiente de Poisson, essa deformação longitudinal vai ser acompanhada por uma deformação lateral (no sentido do diâmetro do cilindro) ε l a t :

ν = - ε l a t ε l o n g

E assim como ε l o n g é definida como a variação do comprimento dividida pelo comprimento original, ε l a t pode ser definida como a variação do diâmetro dividida pelo diâmetro original:

ε l a t = Δ d d = d ' - d d

Então se calcularmos ε l o n g , vamos poder calcular ε l a t através da fórmula do Coeficiente de Poisson.

E, conhecendo ε l a t e o diâmetro original d do cilindro, podemos calcular o diâmetro final d ' usando a definição de ε l a t .

Vamos seguir esses passos para resolver o exercício!

Passo 2

Primeiro, calculamos a deformação longitudinal:

ε l o n g = L ' - L L

Substituindo L ' = 2,98   c m e L = 3   c m :

ε l o n g = 2,98   c m - 3   c m 3   c m = - 0,02   c m 3   c m

O que dá:

ε l o n g = - 0,00667

Passo 3

Em seguida, calculamos a deformação lateral usando a equação do Coeficiente de Poisson:

ν = - ε l a t ε l o n g

Isolando ε l a t :

ε l a t = - ν ε l o n g

Substituindo ν = 0,34 e ε l o n g = - 0,00 66 - :

ε l a t = - 0,34 - 0,00667

O que dá:

ε l a t = 0,00227

Passo 4

Por último, usamos a definição da deformação lateral:

ε l a t = d ' - d d

Queremos descobrir o diâmetro final d ' , então devemos isolá-lo.

Multiplicando os dois lados por d e depois somando d aos dois lados, isolamos o diâmetro final d ' :

ε l a t d + d = d '

Para deixar tudo mais bonito, espelhamos a equação e colocamos o diâmetro inicial d em evidência:

d ' = d ( 1 + ε l a t )

Substituindo d = 1,5   c m e ε l a t = 0,00227 :

d ' = 1,5   c m 1 + 0,00227

O que dá:

Resposta

d ' = 1,5034   c m

Exercício Resolvido #3

A haste plástica de acrílico tem 200   m m de comprimento e 15   m m de diâmetro. Se uma carga axial de 300   N for aplicada a ela, determine a mudança em seu comprimento e em seu diâmetro.

E p = 2,70   G P a , ν p = 0,4 0.

Passo 1

O exercício quer saber a variação do comprimento Δ L (tradicionalmente chamada de δ ) e a variação do diâmetro Δ d da haste.

Para encontrar a variação do comprimento, podemos nos lembrar da fórmula que obtemos quando combinamos a Lei de Hooke ( σ = E ε ) com as fórmulas da tensão normal média ( σ = N / A ) e da deformação normal ( ε = δ / L ):

δ = N L E A

Com essa fórmula, conseguimos calcular a variação do comprimento δ da haste a partir:

  • Da força interna normal N , que vai ser igual à carga de tração de 300   N ;
  • Do comprimento inicial L = 200   m m da haste;
  • Do módulo de elasticidade E p = 2,70   G P a do plástico;
  • E da área A da seção transversal da haste, que pode ser descrita em função de seu diâmetro d = 15   m m através da fórmula A = π d 2 / 4 .

Agora, essa haste não vai sofrer deformação só no sentido longitudinal (sentido do seu comprimento). Ela também vai se deformar no sentido lateral (sentido do seu diâmetro).

O coeficiente de Poisson do plástico ν p = 0,40 vai ditar a razão entre essas deformações ε l o n g e ε l a t através da fórmula:

ν p = - ε l a t ε l o n g

A deformação no sentido longitudinal ε l o n g pode ser calculada dividindo a variação do comprimento nesse sentido δ pelo comprimento original L :

ε l o n g = δ L

Enquanto isso, a deformação no sentido lateral ε l a t é a divisão da variação de uma medida no sentido lateral pelo valor inicial dessa medida.

Usando o diâmetro d como essa medida, temos:

ε l a t = Δ d d

Usando essas três últimas fórmula, vamos poder calcular a variação do diâmetro Δ d da haste.

Passo 2

Vamos começar encontrando a variação do comprimento δ da haste.

Combinando a Lei de Hooke ( σ = E ε ) com as fórmulas da tensão normal média ( σ = N / A ) e da deformação normal ( ε = δ / L ), temos:

δ = N L E A

Como a área A da seção transversal dessa haste é circular, ela pode ser descrita em função de seu diâmetro d através da fórmula π d 2 / 4 :

δ = N L E π d 2 4

δ = 4 N L E π d 2

Substituindo os valores N = 300   N , L = 200   m m , E = 2,70   G P a e d = 15   m m :

δ = 4 300   N 200   m m 2,70   G P a π 15   m m 2

Reescrevendo 2,70   G P a como 2700   M P a , temos:

δ = 4 300   N 200   m m 2700   M P a π 15   m m 2

Como M P a = N / m m 2 , as unidades “ N ” e “ m m 2 ” nessa equação vão se cortar e o resultado vai sair em milímetros ( m m ).

Calculando tudo, encontramos:

δ = 0,12575 ≅ 0,126   m m

Metade do exercício já está resolvido, agora vamos para a próxima metade!

Passo 3

Queremos encontrar a variação do diâmetro Δ d da haste.

Da equação do coeficiente de Poisson, temos:

ν p = - ε l a t ε l o n g

Onde:

ε l a t = Δ d d       &       ε l o n g = δ L

Substituindo essas definições na equação do coeficiente de Poisson:

ν p = - Δ d / d δ / L

Isolando Δ d nessa expressão, encontramos:

Δ d = - ν p * δ L * d

Substituindo os valores de ν p = 0,40 , δ = 0,12575   m m , L = 200   m m e d = 15   m m :

Δ d = - 0,40 0,12575   m m 200   m m 15   m m

Calculando tudo, isso dá:

Δ d = - 0,0037725   m m   ≅ - 0,00377   m m

E assim temos as respostas para o exercício:

Resposta

δ = 0,126   m m

Δ d = - 0,00377   m m

Exercício Resolvido #4

A variação no diâmetro de um grande parafuso de aço é cuidadosamente medida enquanto a porca é apertada. Sabendo que E = 200   G P a e ν = 0,29 , determine a força interna no parafuso, quando se observa que o diâmetro diminuiu em 13   μ m .

Passo 1

O que está acontecendo?

Ao mesmo tempo que o parafuso faz forças nas peças rosas para manter elas em suas posições, as peças reagem tracionando o parafuso pelas extremidades.

Essa tração significa que existe no parafuso uma força interna normal N e uma tensão normal média:

σ = N A

Pela Lei de Hooke, essa tensão σ corresponde a uma deformação normal/longitudinal ε l o n g no parafuso:

σ = E ε l o n g

E pela definição do coeficiente de Poisson ν , essa deformação longitudinal ε l o n g é acompanhada por uma deformação lateral ε l a t :

ν = - ε l a t ε l o n g

Agora, o exercício disse que o parafuso tinha um diâmetro inicial d = 60   m m e sofreu uma diminuição de 13   μ m , ou seja, ele sofreu uma variação de diâmetro Δ d = - 13   μ m .

Isso significa que o exercício nos descreveu a variação lateral no parafuso, uma vez que:

ε l a t = Δ d d

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o valor da força interna normal N no parafuso.

Para descobrir esse valor, vamos partir da fórmula da tensão normal média e desenvolver ela usando a Lei de Hooke, a definição do Coeficiente de Poisson e a definição da deformação lateral.

Dessa forma, vamos conseguir descrever a força N a partir de valores que conhecemos, como:

  • O módulo de elasticidade E = 200   G P a ;
  • O coeficiente de Poisson ν = 0,29 ;
  • O diâmetro inicial d = 60   m m ;
  • E a variação de diâmetro Δ d = - 13   μ m .

Passo 2

Então primeiro, vamos resolver o exercício literalmente. Em seguida, substituímos os valores e encontramos N .

Partindo da fórmula da tensão normal média, temos:

σ = N A

Queremos encontrar N , então podemos isolá-lo desde já:

N = σ A

Ok!

Agora, a tensão σ pode ser descrita pela Lei de Hooke σ = E ε l o n g .

E a área A da seção transversal do parafuso é circular e pode ser descrita em função de seu diâmetro d através da fórmula A = π d 2 / 4 .

Fazendo essas substituições, temos:

N = E ε l o n g π d 2 4

Arrumando a expressão, ela fica assim:

N = E π d 2 4 ε l o n g

Beleza...

Conhecemos os valores de E e d , mas não conhecemos o valor da deformação longitudinal ε l o n g .

Mas sabemos descrever a deformação lateral ε l a t , e sabemos que essas deformações são relacionadas pelo coeficiente de Poisson:

ν = - ε l a t ε l o n g

Isolando ε l o n g , temos:

ε l o n g = - ε l a t ν

Substituindo isso na última expressão que tínhamos encontrado para N :

N = E π d 2 4 - ε l a t ν

Arrumando, fica assim:

N = - E π d 2 4 ν ε l a t

Agora só falta descrever a deformação lateral ε l a t .

Ela é a razão entre a variação de uma medida no sentido lateral (como o nosso diâmetro) sobre o valor inicial da medida, ou seja:

ε l a t = Δ d d

Fazendo essa última substituição, a força N fica assim:

N = - E π d 2 4 ν Δ d d

Simplificando, temos:

N = - E π d 4 ν Δ d

Passo 3

Agora, só falta substituir os valores de E , ν , d e Δ d na expressão que encontramos para N :

N = - E π d 4 ν Δ d

Fazendo as substituições:

N = - 200   G P a π 60   m m 4 0,29 - 13   μ m

Pausa para olhar para as unidades...

G P a é o mesmo que k N / m m 2 .

Então se a gente conseguir reescrever a variação de - 13   μ m (micrometros) em milímetros ( m m ), as unidades de milímetros vão se cortar e o resultado para a força N vai sair em k N .

1 micrometro é o mesmo que 10 - 6 metros ou 10 - 3 milímetros, então:

- 13   μ m = - 13 * 10 - 3   m m

Fazendo essas substituições, a conta fica assim:

N = - 200   k N / m m 2 π 60   m m 4 0,29 - 13 * 10 - 3   m m

Calculando tudo, isso dá:

Resposta

N = 422   k N

Exercício Resolvido #5

Uma força de tração de 2669   N é aplicada a um corpo de prova feito de placa de aço plana de 1,588   m m ( E = 200   G P a , ν = 0,30 ). Determine a variação resultante ( a ) no comprimento de referência de 50,8   m m , ( b ) na largura da parte A B do corpo de prova, ( c ) na espessura da parte A B e ( d ) na área da seção transversal da parte A B .

Passo 1

A região A B do corpo de prova possui, originalmente, um comprimento L = 50,8   m m , uma largura l = 12,7   m m e uma espessura e = 1,588   m m .

O material do corpo de prova possui um módulo de elasticidade E = 200   G P a e um Coeficiente de Poisson ν = 0,30 .

Além disso, a força interna normal no corpo de prova é N = 2669   N , uma vez que ele está submetido a uma força de tração pura com essa intensidade.

E o que é que o exercício quer?

Por causa da tração, a região A B é esticada, sofrendo variações no seu comprimento, na sua largura, na sua espessura, e, consequentemente, na sua área de seção transversal.

O exercício quer saber o valor dessas variações.

No item ( a ) , para encontrar a variação do comprimento, vamos ter que usar a Lei de Hooke e as fórmulas da tensão normal média e da deformação normal.

Nos itens ( b ) e ( c ) , para encontrar as variações da largura e da espessura, vamos ter que analisar a deformação lateral na peça.

(Vamos precisar das definições de deformação longitudinal ε l o n g e lateral ε l a t e das definições do coeficiente de Poisson ν .)

Finalmente, no item ( d ) , vamos encontrar a variação da área da seção transversal calculando a diferença entre a área final e a área inicial.

Passo 2

Temos várias informações sobre a peça e sobre o carregamento nela e queremos saber, no item ( a ) , qual é o valor da variação de comprimento Δ L sofrida pela região A B do corpo de prova.

Normalmente, chamamos essa variação de comprimento principal de δ .

Agora, lembra aí...

Existe uma fórmula que descreve a variação de comprimento   δ numa peça em função do carregamento nela:

δ = N L E A

E a fórmula que obtemos quando combinamos a Lei de Hooke com as fórmulas da tensão normal média e da deformação normal.

Nessa fórmula, sabemos o valor de N , L e E , mas não sabemos o valor da área A da seção transversal da região A B .

Mas sabemos que essa região tem uma seção transversal retangular, de espessura e e largura l . Logo:

A = e * l

Sendo assim, a variação de comprimento δ fica assim:

δ = N L E e l