Coeficiente de Poisson

Teoria Completa

Introdução

Sabe como quando você estica um elástico, o elástico não só aumenta de comprimento, como também fica mais fino?Esse é um efeito que acontece com a maioria dos materiais sólidos.

Um eixo de aço sob tração, por exemplo, se estica longitudinalmente (ao longo de seu comprimento) e se contrai lateralmente:

Similarmente, se você comprimir uma coluna de concreto, ela vai se contrair longitudinalmente, mas também vai se alargar lateralmente:

O que acontece é que para a maioria dos sólidos, uma deformação em um eixo é acompanhada por uma deformação menor no sentido oposto nos demais eixos.

Agora, como é que a gente relaciona essas deformações?

Como é que a gente pode usar o valor de uma dessas deformações para encontrar o valor da outra?

Deformação Longitudinal e Lateral

Bom, antes de poder relacionar essas deformações, precisamos definí-las.

No tópico passado, vimos que a deformação é a razão entre a variação de comprimento δ (ou Δ L , se preferirmos) e o comprimento inicial L de uma peça.

Essa deformação principal, que era conhecida como a deformação ε , é chamada agora de deformação longitudinal ε l o n g , por acontecer ao longo do comprimento da peça:

ε l o n g = δ L

É essa deformação principal ε l o n g que se relaciona com a tensão normal σ na peça através da Lei de Hooke:

σ = E ε l o n g

Agora, junto com essa deformação longitudinal, também acontece uma deformação lateral ε l a t nas peças.

Essa deformação lateral é a razão entre a variação de qualquer medida no sentido transversal (lateral) da peça e o valor inicial dessa medida.

Por exemplo, vamos dizer que você tem uma peça com seção transversal retangular e outra com seção transversal no formato de um anel:

No caso da seção retangular, a deformação lateral ε l a t pode ser usada para descrever as variações da base b e da altura h dessa seção transversal:

ε l a t = Δ b b = Δ h h

Já no caso da seção com forma de anel, ε l a t vai descrever as variações dos diâmetro d e x t e d i n t e da espessura e :

ε l a t = Δ d e x t d e x t = Δ d i n t d i n t = Δ e e

Coeficiente de Poisson

Agora, para relacionar essas duas deformações, ε l o n g e ε l a t , recorremos a uma propriedade dos materiais chamada de Coeficiente de Poisson.

O Coeficiente de Poisson, representado pela letra grega ν (“nu”), é uma constante adimensional que assume valores entre 0 e 0,5 , dependendo do material.

Por definição, temos que:

ν = - ε l a t ε l o n g

A partir dessa definição, calcular uma deformação em função da outra.

Tensões Multiaxiais

Até agora nos nossos estudos sobre deformação, só vimos os casos em que as peças eram tensionadas em uma única direção:

Mas em muitos casos, vamos ter peças que são solicitadas em 2 ou 3 direções, e, dessa forma, vão ter tensões normais médias σ nos eixos x , y e z :

Essas tensões em mais de uma direção recebem o nome de tensões multiaxiais.

Nesse casos, uma coisa interessante acontece com as deformações na peça:

Primeiro, cada tensão σ vai gerar ao longo de seu eixo uma deformação ε l o n g = σ / E , de acordo com a Lei de Hooke.

Mas além disso, cada tensão σ em um eixo também vai provocar, nos outros dois eixos, uma deformação ε l a t = - ν ε l o n g = - ν ( σ / E ), de acordo com o Coeficiente de Poisson.

A deformação resultante em cada direção vai ser a soma das deformações provocadas naquela direção.

O eixo x , por exemplo, vai sofrer:

  • Uma deformação σ x / E por causa da tensão σ x ;
  • Uma deformação - ν ( σ y / E ) por causa da tensão σ y ;
  • E uma deformação - ν ( σ z / E ) por causa da tensão σ z .

Dessa forma, a deformação total em x vai ser:

ε x = σ x E - ν σ y E - ν σ z E

Normalmente, reescrevemos isso assim:

ε x = 1 E ( σ x - ν σ y - ν σ z )

Lei de Hooke Generalizada

Aplicando a análise que acabamos de fazer também para os eixos y e z , encontramos as três equações que definem a Lei de Hooke Generalizada:

ε x = 1 E ( σ x - ν σ y - ν σ z )

ε y = 1 E ( - ν σ x + σ y - ν σ z )

ε z = 1 E ( - ν σ x - ν σ y + σ z )

Essas três equações fornecem as deformações em todas as direções da peça para qualquer combinação possível de tensões.

Elas são sempre utilizadas em exercícios de tensões multiaxiais, mas a verdade é que elas podem ser utilizadas em qualquer situação.

O único cuidado que devemos tomar é o de identificar corretamente as tensões em cada eixo.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Um cabo de aço utilizado em um teleférico possui um diâmetro de 38   m m . Quando o teleférico está em uso, ele sofre uma deformação ao longo de seu comprimento de 0,02   m m / m m .

Sabendo que o aço possui um Coeficiente de Poisson de 0,29 , estime a variação no diâmetro do cabo de aço quando o teleférico está em uso.

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Passo 1

O cabo possui um diâmetro inicial d = 38   m m e sofre uma deformação longitudinal, ao longo de seu comprimento, ε l o n g de 0,02   m m / m m .

De acordo com o seu coeficiente de Poisson ν de 0,29 , essa deformação longitudinal é acompanhada por uma deformação lateral ε l a t :

ν = - ε l a t ε l o n g

Essa deformação lateral é definida como a variação de qualquer medida lateral na peça (como a medida do diâmetro da seção transversal da peça) sobre o valor inicial da medida.

Usando o diâmetro como essa medida, temos:

ε l a t = Δ d d

Juntando essas duas equações, vamos conseguir definir a variação do diâmetro Δ d sofrida pelo cabo, que é o que o exercício quer, em função da deformação lateral fornecida de 0,02   m m / m m !

Passo 2

Então da definição do coeficiente de Poisson, temos que:

ν = - ε l a t ε l o n g

Substituíndo ε l a t = Δ d / d , isso fica assim:

ν = - Δ d d ε l o n g

ν = - Δ d d ε l o n g

Queremos encontrar a variação no diâmetro Δ d , então devemos isolá-la:

Δ d = - ν d ε l o n g

Agora só falta substituir os valores ν = 0,29 , d = 38   m m e ε l o n g = 0,02   m m / m m :

Δ d = - 0,29 38   m m 0,02

Calculando isso, encontramos que:

Resposta

Δ d = - 0,2204   m m

Exercício Resolvido #2

Prof. João Chafi Hallack et al., Apostila de Resistência dos Materiais 1, Universidade Federal de Juiz de Fora, Março de 2015, pp. 43-5.

Um cilindro de bronze ( ν = 0,34 ), com diâmetro original de 1,5   c m e comprimento de 3   c m , é colocado em uma máquina de compressão e comprimido até que seu comprimento se torne 2,98   c m . Determinar o novo diâmetro do bloco.

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Passo 1

O cilindro de bronze possui um Coeficiente de Poisson ν = 0,34 , um diâmetro original d = 1,5   c m e um comprimento original L = 3   c m .

Ele é comprimido até um comprimento final L ' = 2,98   c m , caracterizando nele uma deformação longitudinal (no sentido do comprimento) ε l o n g :

ε l o n g = δ L

Onde δ é a variação no comprimento do cilindro, calculada como a diferença entre o comprimento final L ' e o comprimento inicial L , tal que:

ε l o n g = L ' - L L

Agora, de acordo com o Coeficiente de Poisson, essa deformação longitudinal vai ser acompanhada por uma deformação lateral (no sentido do diâmetro do cilindro) ε l a t :

ν = - ε l a t ε l o n g

E assim como ε l o n g é definida como a variação do comprimento dividida pelo comprimento original, ε l a t pode ser definida como a variação do diâmetro dividida pelo diâmetro original:

ε l a t = Δ d d = d ' - d d

Então se calcularmos ε l o n g , vamos poder calcular ε l a t através da fórmula do Coeficiente de Poisson.

E, conhecendo ε l a t e o diâmetro original d do cilindro, podemos calcular o diâmetro final d ' usando a definição de ε l a t .

Vamos seguir esses passos para resolver o exercício!

Passo 2

Primeiro, calculamos a deformação longitudinal:

ε l o n g = L ' - L L

Substituindo L ' = 2,98   c m e L = 3   c m :

ε l o n g = 2,98   c m - 3   c m 3   c m = - 0,02   c m 3   c m

O que dá:

ε l o n g = - 0,00667

Passo 3

Em seguida, calculamos a deformação lateral usando a equação do Coeficiente de Poisson:

ν = - ε l a t ε l o n g

Isolando ε l a t :

ε l a t = - ν ε l o n g

Substituindo ν = 0,34 e ε l o n g = - 0,00 66 - :

ε l a t = - 0,34 - 0,00667

O que dá:

ε l a t = 0,00227

Passo 4

Por último, usamos a definição da deformação lateral:

ε l a t = d ' - d d

Queremos descobrir o diâmetro final d ' , então devemos isolá-lo.

Multiplicando os dois lados por d e depois somando d aos dois lados, isolamos o diâmetro final d ' :

ε l a t d + d = d '

Para deixar tudo mais bonito, espelhamos a equação e colocamos o diâmetro inicial d em evidência:

d ' = d ( 1 + ε l a t )

Substituindo