Teoria Completa
Dica do Expert: São poucos os professores que cobram os assuntos dessa teoria nas provas.
Se você acha que o seu professor pode cobrar um dos itens abaixo na sua prova:
- Extrair uma propriedade de um material a partir de um diagrama tensão-deformação;
- Desenhar um diagrama tensão-deformação;
- Explicar a diferença entre materiais dúcteis e frágeis;
- Ou calcular a deformação residual em uma peça que foi tracionada e depois aliviada,
Então é uma boa estudar essa teoria! 👍
Ao contrário, você pode considerar pular essa teoria... No máximo, ela vai te ajudar a conhecer o “vocabulário” de resistência dos materiais! 😉
Introdução
Quando a gente estuda resistência dos materiais, o nosso objetivo é sempre descobrir em que condições as coisas falham.
Para fazer isso, precisamos saber calcular as tensões e deformações nas peças.
Mas também precisamos conhecer como os materiais se comportam quando submetidos a essas tensões e deformações.
A gente sabe que, até um certo nível de tensão (!), os materiais se comportam elasticamente, de acordo com a Lei de Hooke .
Mas... quando é que um material para de se comportar elasticamente?
E como é que ele se comporta depois disso?
E quando é que ele vai se fraturar/se quebrar de vez?
Ensaio de Tração
Para responder essas perguntas, são feitos testes experimentais com os materiais para registirar como eles se comportam.
O teste mais comum é o Ensaio de Tração.
Nele, um pequeno corpo de prova, feito do material que estiver sendo estudado, é colocado em uma máquina que vai gradualmente tracionando esse corpo, até ele quebrar:
Essa máquina registra continuamente a força aplicada e a variação de comprimento correspondente no corpo de prova.
Diagrama Tensão-Deformação
Os dados de força aplicada e de variação de comprimento são divididos, respectivamente, pela área original da seção transversal e pelo comprimento original do corpo de prova.
Com isso, é obtido o Diagrama Tensão-Deformação do material, que indica a tensão no material (eixo ) correspondente a cada deformação (eixo ).
Na imagem abaixo, temos exemplos ilustrativos desse diagrama para alguns materiais:
A partir desse diagrama, conseguimos identificar muitas propriedades dos materiais!
Região Elástica e o Módulo de Elasticidade
A primeira coisa que conseguimos ver é que todos esses materiais se comportam linearmente em uma região dos seus diagramas:
Essa região, indicada pela cor laranja na figura acima, é chamada de Região Elástica ou Região Linear-Elástica.
Nessa região, os materiais se comportam de acordo com a Lei de Hooke e as deformações são reversíveis (a deformação some quando o material deixa de ser carregado).
O módulo de elasticidade de um material vai ser igual à tangente do ângulo de inclinação da região elástica desse material:
Região Plástica
Após a região elástica, existe uma segunda região, indicada pela cor verde na figura abaixo, chamada de Região Plástica:
(Obs.: Existem alguns materiais que só possuem região elástica ou só possuem região plástica. O vidro é um exemplo de material que só possui região elástica!)
Nessa segunda região, as deformações:
- Deixam de ser elásticas (reversíveis e descritas pela Lei de Hooke);
- E passam a ser plásticas (irreversíveis e descritas somente pelo Diagrama Tensão-Deformação).
Resistência ao Escoamento
Quando os materiais se deformam irreversívelmente, a gente fala que eles escoaram.
Como, em muitas situações, a gente quer evitar esse escoamento, precisamos definir a tensão máxima que pode ser atingida pelo material antes dele escoar.
Essa tensão máxima é chamada de Resistência ao Escoamento (ou Tensão de Escoamento) e é representada por :
Alguns materiais, como o aço do exemplo acima, tem um trecho mais ou menos horizontal de escoamento acelerado no começo da sua região plástica.
Nesses materiais, a resistência ao escoamento é a tensão no ponto imediatamente antes desse trecho.
Outros materiais não vão ter esse trecho horizontal. Nesses casos, é usado a Regra do Desvio para determinar o valor de .
De acordo com essa regra, você deve traçar no diagrama uma reta paralela à reta da região elástica, desviada por uma deformação de ou :
O ponto onde esse reta paralela se encontrar com o diagrama vai indicar a tensão de escoamento .
Limite de Resistência a Tração
Às vezes, permitimos que os materiais se deformem plasticamente, mas ainda precisamos garantir que a tensão no material não vai superar a tensão máxima que ele consegue aguentar.
Essa tensão máxima é chamada de Limite de Resistência a Tração, é representada por ou , e é dada pelo ponto mais alto de cada diagrama:
Estricção ou Necking
Alguns materiais tem uma queda de tensão no final de seus diagramas, indicada pela cor vermelha na figura abaixo:
O que acontece é que esses materiais, ao passarem das suas tensões máximas , sacrificam uma parte deles para se deformarem mais ainda:
O nome correto desse efeito é estricção. Mas você pode entender ele como um “empescoçamento” (do inglês, necking).
Quando esse efeito acontece, o pescoço da peça se deforma tanto que ele acaba aliviando a deformação no resto da peça, causando a queda de tensão.
Apesar disso, a tensão no pescoço em si só aumenta a medida que ele fica mais fino, e, eventualmente, a peça se rompe.
Tensão de Ruptura
Por fim, além de e , existe um valor de tensão não muito usado, mas que ainda existe, que é a tensão de ruptura .
Ela é a tensão no último ponto do diagrama tensão-deformação do material, que é o ponto em que o material se rompe de vez:
Materiais Dúcteis e Frágeis
Observando os exemplos que usamos, podemos classificar os materiais em duas categorias:
1. Materiais Dúcteis, que são capazes que sofrer grandes deformações antes de se romperem:
Esse nome vem da ductilidade, que é a propriedade que alguns desses materiais tem de poderem ser estirados no formato de um fio.
Os materiais que sofrem estricção (“empescoçamento”) são sempre dúcteis.
& 2. Materiais Frágeis, que sofrem ruptura após pequenas deformações:
Nos materiais frágeis o Limite de Resistência a Tração é igual à tensão de ruptura .
Apesar do nome, os materiais frágeis ainda podem ter uma resistência alta, como é o caso de alguns materiais cerâmicos.
Além disso, muitos materiais frágeis têm uma resistência à compressão bem maior que a sua resistência à tração, como é o caso do concreto.
Recuperação Elástica e Encruamento
Vimos que quando tracionamos um material causando somente deformação elástica, o material volta para o seu formato inicial quando aliviamos a carga:
Agora, vamos dizer que nós tracionamos um material até algum ponto da região plástica:
Nesse caso, a deformação total no material vai ser a soma das deformações elástica e plástica :
Quando aliviarmos o material, ele vai manter a deformação plástica (que é irreversível), mas vai recuperar a deformação elástica (que é reversível).
Essa recuperação vai acontecer através de uma linha paralela à linha da Lei de Hooke:
Sendo assim, a deformação elástica que foi recuperada pode ser calculada usando a tensão que chegou a ser atingida no material e a Lei de Hooke:
Agora, substituindo isso em , e isolando , encontramos que:
Assim, conseguimos calcular a deformação residual em um material que foi aliviado após ser carregado até uma tensão e uma deformação na região plástica.
Além disso, o diagrama tensão-deformação do material vai se encontrar alterado ao final de todo esse processo:
Com isso, o material pode acabar ganhando uma região elástica maior e uma resistência ao escoamento maior.
Mas, em contrapartida, o material fica mais frágil uma vez que a sua capacidade de sofrer deformações antes de se romper é reduzida.
Esse processo de aumento do valor de de um material através da deformação plástica é conhecido como encruamento ou endurecimento.
Exercício Resolvido #1
A imagem abaixo apresenta o diagrama tensão-deformação de um material dúctil fictício.
Identifique nessa imagem as seguintes propriedades desse material:
Módulo de Elasticidade ;
Limite de Resistência ao Escoamento ;
Limite de Resistência a Tração ;
Tensão de Ruptura .
Passo 1
Quanto ao item :
O módulo de elasticidade do nosso material pode ser calculado através da razão entre qualquer par de valores de tensão e deformação na região linear-elástica do material:
Se a gente for observar o ângulo de inclinação da região linear-elástica do material, vamos ver como a sua tangente vai ser igual a :
Dessa forma, temos que o ângulo de inclinação da região linear-elástica vai ser igual a .
Quanto ao item :
Esse material tem uma região de aumento acelerado da deformação sem um aumento significativo da tensão :
Dessa forma, o Limite de Resistência ao Escoamento desse material vai ser a tensão no ponto imediatamente anterior à essa região de escoamento inicial e acelerado.
Quanto aos itens e :
Por fim, temos que:
- O Limite de Resistência a Tração de um material é igual à tensão no ponto mais alto do Diagrama Tensão-Deformação;
- E a tensão de ruptura é igual à tensão no ponto final do diagrama.
Identificando todas essas propriedades na imagem, chegamos a nossa resposta:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Ao ser submetido a um ensaio de tração, um corpo de prova de liga de cobre com comprimento de referência de sofre uma deformação de quando a tensão é de . Se quando , determine a distância entre os pontos de referência quando a carga é aliviada.
Passo 1
O que está acontecendo?
Inicialmente, a distância entre os pontos de referência do corpo de prova possuía um comprimento .
Em seguida, o corpo foi carregado até atingir uma deformação e uma tensão .
Como essa tensão atingida no corpo é maior que a resistência ao escoamento , podemos afirmar com certeza que o corpo escoou (entrou na região plástica).
Com isso, a deformação total atingida pelo corpo é igual a soma de uma deformação elástica com uma deformação plástica :
Agora, quando a carga é aliviada, a deformação elástica (que é reversível) é recuperada, enquanto que a deformação plástica (que é irreversível) é mantida.
Dessa forma, a deformação final no corpo vai ser igual à deformação plástica:
Como a recuperação da deformação elástica segue a Lei de Hooke, vamos ter que , de tal forma que:
Onde:
- e são a deformação e a tensão atingidas no corpo;
- E é o módulo de elasticidade do material, que pode ser calculando dividindo a resistência ao escoamento pela deformação correspondente .
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber a distância final entre os pontos de referência do corpo de prova.
Ou seja, ele quer saber o comprimento final dessa distância, que vai ser igual ao comprimento inicial mais uma variação de comprimento :
Agora, como a deformação final no corpo vai ser , vamos ter que , de tal forma que:
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o módulo de elasticidade do material!
Considerando que o material se comporta linear-elásticamente no ponto de escoamento , o módulo de elasticidade pode ser calculado a partir da Lei de Hooke nesse ponto:
Substituindo os valores de e fornecidos pelo enunciado, isso fica assim:
O que dá:
Passo 3
Com o módulo de elasticidade calculado, agora podemos calcular a deformação final no corpo:
Subsituindo os valores atingidos e e o módulo de elasticidade , isso fica assim:
Calculando, isso dá:
Passo 4
Finalmente, podemos calcular o comprimento final entre os dois pontos de referência do corpo de prova:
Substituindo e , temos:
Calculando isso, encontramos nossa resposta:
Resposta
Exercício Resolvido #3
O diagrama tensão-deformação para o polietileno que é utilizado para revestir cabos coaxiais é determinado por um ensaio com um corpo de prova com comprimento de referência de . Se uma carga aplicada ao corpo de prova desenvolver uma deformação , determine o valor aproximado do comprimento do corpo de prova medido entre os pontos de referência quando a carga é removida. Considere que o corpo de prova se recupere elasticamente.
Passo 1
O que está acontecendo?
O corpo de prova tem um comprimento inicial e foi carregado até atingir uma deformação , o que corresponde a uma tensão :
Ok!
Agora vamos pensar...
A deformação total no corpo é igual à soma das deformações elástica (reversível) e plástica (irreversível) que foram sofridas pelo corpo:
Dessa forma, quando o corpo é descarregado, ele vai recuperar a deformação elástica e a deformação final nele vai ser igual à deformação plástica (que não é recuperada):
E, como a recuperação da deformação elástica sempre segue a Lei de Hooke, temos que:
Sendo assim, a deformação final no corpo vai ser:
Onde é a deformação de e é a tensão de que foram atingidas pelo corpo.
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber qual é o comprimento final do corpo de prova depois que carga é removida.
Esse comprimento final vai ser igual ao comprimento inicial do corpo mais a variação de comprimento sofrida:
E a variação de comprimento vai ser igual ao comprimento inicial multiplicado pela deformação final , de tal forma que:
Então como vamos resolver o exercício?
Primeiro, vamos ter que encontrar o módulo de elasticidade do material do corpo de prova.
Feito isso, vamos poder encontrar a deformação final no corpo , e, em seguida, encontrar o comprimento final .
Passo 2
Começando pela determinação do módulo de elasticidade do material do corpo de prova!
Da Lei de Hooke , temos que:
Sendo assim, podemos escolher um ponto da região do Diagrama Tensão-Deformação do material que segue a Lei de Hooke:
E utilizar os valores de e nesse ponto para calcular :
Passo 3
Agora que sabemos o módulo de elasticidade do material, já podemos calcular a deformação final :
Substituindo a deformação atingida , a tensão atingida e o módulo de elasticidade , temos:
Calculando isso, encontramos que:
Passo 4
Por fim, podemos calcular o comprimento final do corpo de prova:
Substituindo os valores e , isso fica assim:
O que dá:
Resposta
Exercício Resolvido #4
A figura apresenta o diagrama tensão-deformação para uma resina de poliéster. Se a viga for suportada por uma barra e um poste , ambos feitos desse material, e for submetida à carga , determine o ângulo de inclinação da viga quando a carga for aplicada. O diâmetro da barra é , e o diâmetro do poste é .
Passo 1
O que está acontecendo?
A barra e o poste estão contribuindo para o equilíbrio da viga através de forças e :
Aplicando as condições de equilíbrio para essa viga, conseguimos encontrar as forças e em função da carga .
Mas pelo princípio da ação e reação, se a barra e o poste fazem essas forças na viga, a viga var reagir com forças contrárias na barra e no poste:
A força de tração na barra vai gerar nela uma força interna normal , enquanto que a força de compressão no poste vai gerar nele uma força interna normal .
Pessoal, se lembrem que a normal é negativa quando há compressão e positiva quando há tração.
Como uma consequência desse carregamento, a barra e o poste vão sofrer, respectivamente, variações de comprimento e , que vão poder ser calculadas através da fórmula
Sendo que:
- Os comprimentos dessas peças são , para a barra, e , para o poste;
- As duas peças vão ter o mesmo módulo de elasticidade , que pode ser encontrado a partir do Diagrama Tensão-Deformação fornecido;
- E as áreas das seções transversais dessas peças podem ser calculadas a partir de seus diâmetros, e , usando a fórmula .
E o que é que o exercício quer?
Ele quer que a gente descubra qual vai ser o ângulo de inclinação que a viga vai ganhar por causa das deformações/variações de comprimento na barra e no poste.
Agora, para analisar esse ângulo, vamos ter que encontrar primeiro as variações de comprimento e .
Então vamos começar o exercício determinando os valores do módulo de elasticidade e das forças normais na barra e no poste, para que depois a gente possa usar a fórmula .
Passo 2
Para encontrar o módulo de elasticidade do material, vamos recorrer a Lei de Hooke:
Isolando , temos que:
Então para calcular , precisamos de um par de valores para a tensão e a deformação que sigam a Lei de Hooke, o que é seguir a lei de Hooke? Isso significa que esses dois valores devem estar dentro na porção reta do diagrama (onde há deformação elástica).
Olhando para o Diagrama Tensão-Deformação do material, um par de valores desses já está marcado:
Usando esses valores, vamos ter que:
O que dá:
Ou, se preferirmos:
Passo 3
Já para encontrar as forças internas normais na barra e no poste, vamos primeiro fazer o diagrama de corpo livre da viga para encontrar as forças e em função da carga :
Aqui, podemos aplicar duas condições de equilíbrio: o equilíbrio de momentos e o equilíbrio de forças na vertical.
Pessoal, as forças e podem ser achadas por simetria e cada uma tem módulo igual à metade da força :
Por fim, como vimos no primeiro passo, temos que e que .
Dessa forma, encontramos que:
Passo 4
Agora que já encontramos o módulo de elasticidade e as forças normais , já temos todas as informações necessárias para calcular as variações de comprimento na barra e no poste. Visualizando esse efeito vamos ter:
Aplicando a fórmula para a barra e para o poste , temos:
Podemos definir as áreas de seção transversal da barra e do poste a partir de seus diâmetros e usando a fórmula .
Além disso, temos que e .
Fazendo essas substituições, temos que:
Arrumando essas equações, elas ficam assim:
Agora só falta substituir os valores de e , além dos comprimentos e diâmetros da barra e do poste.
Fazendo essas substituições, temos: