Propriedades Mecânicas e o Diagrama Tensão-Deformação

Teoria Completa

Dica do Expert: São poucos os professores que cobram os assuntos dessa teoria nas provas.

Se você acha que o seu professor pode cobrar um dos itens abaixo na sua prova:

  • Extrair uma propriedade de um material a partir de um diagrama tensão-deformação;
  • Desenhar um diagrama tensão-deformação;
  • Explicar a diferença entre materiais dúcteis e frágeis;
  • Ou calcular a deformação residual em uma peça que foi tracionada e depois aliviada,

Então é uma boa estudar essa teoria! 👍

Ao contrário, você pode considerar pular essa teoria... No máximo, ela vai te ajudar a conhecer o “vocabulário” de resistência dos materiais! 😉

Introdução

Quando a gente estuda resistência dos materiais, o nosso objetivo é sempre descobrir em que condições as coisas falham.

Para fazer isso, precisamos saber calcular as tensões e deformações nas peças.

Mas também precisamos conhecer como os materiais se comportam quando submetidos a essas tensões e deformações.

A gente sabe que, até um certo nível de tensão (!), os materiais se comportam elasticamente, de acordo com a Lei de Hooke σ = E ε .

Mas... quando é que um material para de se comportar elasticamente?

E como é que ele se comporta depois disso?

E quando é que ele vai se fraturar/se quebrar de vez?

Ensaio de Tração

Para responder essas perguntas, são feitos testes experimentais com os materiais para registirar como eles se comportam.

O teste mais comum é o Ensaio de Tração.

Nele, um pequeno corpo de prova, feito do material que estiver sendo estudado, é colocado em uma máquina que vai gradualmente tracionando esse corpo, até ele quebrar:

Essa máquina registra continuamente a força aplicada e a variação de comprimento correspondente no corpo de prova.

Diagrama Tensão-Deformação

Os dados de força aplicada e de variação de comprimento são divididos, respectivamente, pela área original A da seção transversal e pelo comprimento original L do corpo de prova.

Com isso, é obtido o Diagrama Tensão-Deformação do material, que indica a tensão σ no material (eixo y ) correspondente a cada deformação ε (eixo x ).

Na imagem abaixo, temos exemplos ilustrativos desse diagrama para alguns materiais:

A partir desse diagrama, conseguimos identificar muitas propriedades dos materiais!

Região Elástica e o Módulo de Elasticidade

A primeira coisa que conseguimos ver é que todos esses materiais se comportam linearmente em uma região dos seus diagramas:

Essa região, indicada pela cor laranja na figura acima, é chamada de Região Elástica ou Região Linear-Elástica.

Nessa região, os materiais se comportam de acordo com a Lei de Hooke σ = E ε e as deformações são reversíveis (a deformação some quando o material deixa de ser carregado).

O módulo de elasticidade E de um material vai ser igual à tangente do ângulo de inclinação da região elástica desse material:

Região Plástica

Após a região elástica, existe uma segunda região, indicada pela cor verde na figura abaixo, chamada de Região Plástica:

(Obs.: Existem alguns materiais que só possuem região elástica ou só possuem região plástica. O vidro é um exemplo de material que só possui região elástica!)

Nessa segunda região, as deformações:

  • Deixam de ser elásticas (reversíveis e descritas pela Lei de Hooke);
  • E passam a ser plásticas (irreversíveis e descritas somente pelo Diagrama Tensão-Deformação).

Resistência ao Escoamento

Quando os materiais se deformam irreversívelmente, a gente fala que eles escoaram.

Como, em muitas situações, a gente quer evitar esse escoamento, precisamos definir a tensão máxima que pode ser atingida pelo material antes dele escoar.

Essa tensão máxima é chamada de Resistência ao Escoamento (ou Tensão de Escoamento) e é representada por σ e :

Alguns materiais, como o aço do exemplo acima, tem um trecho mais ou menos horizontal de escoamento acelerado no começo da sua região plástica.

Nesses materiais, a resistência ao escoamento σ e é a tensão no ponto imediatamente antes desse trecho.

Outros materiais não vão ter esse trecho horizontal. Nesses casos, é usado a Regra do Desvio para determinar o valor de σ e .

De acordo com essa regra, você deve traçar no diagrama uma reta paralela à reta da região elástica, desviada por uma deformação ε de 0,002 ou 0,2 % :

O ponto onde esse reta paralela se encontrar com o diagrama vai indicar a tensão de escoamento σ e .

Limite de Resistência a Tração

Às vezes, permitimos que os materiais se deformem plasticamente, mas ainda precisamos garantir que a tensão no material não vai superar a tensão máxima que ele consegue aguentar.

Essa tensão máxima é chamada de Limite de Resistência a Tração, é representada por σ m á x ou σ L , e é dada pelo ponto mais alto de cada diagrama:

Estricção ou Necking

Alguns materiais tem uma queda de tensão no final de seus diagramas, indicada pela cor vermelha na figura abaixo:

O que acontece é que esses materiais, ao passarem das suas tensões máximas σ m á x , sacrificam uma parte deles para se deformarem mais ainda:

O nome correto desse efeito é estricção. Mas você pode entender ele como um “empescoçamento” (do inglês, necking).

Quando esse efeito acontece, o pescoço da peça se deforma tanto que ele acaba aliviando a deformação no resto da peça, causando a queda de tensão.

Apesar disso, a tensão no pescoço em si só aumenta a medida que ele fica mais fino, e, eventualmente, a peça se rompe.

Tensão de Ruptura

Por fim, além de σ e e σ m á x , existe um valor de tensão não muito usado, mas que ainda existe, que é a tensão de ruptura σ r .

Ela é a tensão no último ponto do diagrama tensão-deformação do material, que é o ponto em que o material se rompe de vez:

Materiais Dúcteis e Frágeis

Observando os exemplos que usamos, podemos classificar os materiais em duas categorias:

1. Materiais Dúcteis, que são capazes que sofrer grandes deformações antes de se romperem:

Esse nome vem da ductilidade, que é a propriedade que alguns desses materiais tem de poderem ser estirados no formato de um fio.

Os materiais que sofrem estricção (“empescoçamento”) são sempre dúcteis.

& 2. Materiais Frágeis, que sofrem ruptura após pequenas deformações:

Nos materiais frágeis o Limite de Resistência a Tração σ m á x é igual à tensão de ruptura σ r .

Apesar do nome, os materiais frágeis ainda podem ter uma resistência σ m á x alta, como é o caso de alguns materiais cerâmicos.

Além disso, muitos materiais frágeis têm uma resistência à compressão bem maior que a sua resistência à tração, como é o caso do concreto.

Recuperação Elástica e Encruamento

Vimos que quando tracionamos um material causando somente deformação elástica, o material volta para o seu formato inicial quando aliviamos a carga:

Agora, vamos dizer que nós tracionamos um material até algum ponto da região plástica:

Nesse caso, a deformação total ε no material vai ser a soma das deformações elástica ε e e plástica ε p :

ε = ε e + ε p

Quando aliviarmos o material, ele vai manter a deformação plástica (que é irreversível), mas vai recuperar a deformação elástica (que é reversível).

Essa recuperação vai acontecer através de uma linha paralela à linha da Lei de Hooke:

Sendo assim, a deformação elástica ε e que foi recuperada pode ser calculada usando a tensão σ que chegou a ser atingida no material e a Lei de Hooke:

σ = E ε e       ⇒       ε e = σ E

Agora, substituindo isso em ε = ε e + ε p , e isolando ε p , encontramos que:

ε p = ε - σ E

Assim, conseguimos calcular a deformação residual ε p em um material que foi aliviado após ser carregado até uma tensão σ e uma deformação ε na região plástica.

Além disso, o diagrama tensão-deformação do material vai se encontrar alterado ao final de todo esse processo:

Com isso, o material pode acabar ganhando uma região elástica maior e uma resistência ao escoamento σ e maior.

Mas, em contrapartida, o material fica mais frágil uma vez que a sua capacidade de sofrer deformações antes de se romper é reduzida.

Esse processo de aumento do valor de σ e de um material através da deformação plástica é conhecido como encruamento ou endurecimento.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

A imagem abaixo apresenta o diagrama tensão-deformação de um material dúctil fictício.

Identifique nessa imagem as seguintes propriedades desse material:

( a ) Módulo de Elasticidade E ;

( b ) Limite de Resistência ao Escoamento σ y ;

( c ) Limite de Resistência a Tração σ m á x ;

( d ) Tensão de Ruptura σ r .

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Passo 1

Quanto ao item ( a ) :

O módulo de elasticidade E do nosso material pode ser calculado através da razão entre qualquer par de valores de tensão σ e deformação ε na região linear-elástica do material:

E = σ ε

Se a gente for observar o ângulo α de inclinação da região linear-elástica do material, vamos ver como a sua tangente vai ser igual a σ / ε = E :

Dessa forma, temos que o ângulo de inclinação da região linear-elástica vai ser igual a a r c t g   E .

Quanto ao item ( b ) :

Esse material tem uma região de aumento acelerado da deformação ε sem um aumento significativo da tensão σ :

Dessa forma, o Limite de Resistência ao Escoamento σ y desse material vai ser a tensão no ponto imediatamente anterior à essa região de escoamento inicial e acelerado.

Quanto aos itens ( c ) e ( d ) :

Por fim, temos que:

  • O Limite de Resistência a Tração σ m á x de um material é igual à tensão no ponto mais alto do Diagrama Tensão-Deformação;
  • E a tensão de ruptura σ r é igual à tensão no ponto final do diagrama.

Identificando todas essas propriedades na imagem, chegamos a nossa resposta:

Resposta

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 83-3.40.

Ao ser submetido a um ensaio de tração, um corpo de prova de liga de cobre com comprimento de referência de 50   m m sofre uma deformação de 0,40   m m / m m quando a tensão é de 490   M P a . Se σ e   =   315   M P a quando ε e =   0,0025   m m / m m , determine a distância entre os pontos de referência quando a carga é aliviada.

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Passo 1

O que está acontecendo?

Inicialmente, a distância entre os pontos de referência do corpo de prova possuía um comprimento L = 50   m m .

Em seguida, o corpo foi carregado até atingir uma deformação ε = 0,40   m m / m m e uma tensão σ = 490   M P a .

Como essa tensão σ = 490   M P a atingida no corpo é maior que a resistência ao escoamento σ e = 315   M P a , podemos afirmar com certeza que o corpo escoou (entrou na região plástica).

Com isso, a deformação total ε = 0,40   m m / m m atingida pelo corpo é igual a soma de uma deformação elástica ε e com uma deformação plástica ε p :

ε = ε e + ε p

Agora, quando a carga é aliviada, a deformação elástica ε e (que é reversível) é recuperada, enquanto que a deformação plástica ε p (que é irreversível) é mantida.

Dessa forma, a deformação final no corpo vai ser igual à deformação plástica:

ε p = ε - ε e

Como a recuperação da deformação elástica segue a Lei de Hooke, vamos ter que ε e = σ / E , de tal forma que:

ε p = ε - σ E

Onde:

  • ε e σ são a deformação e a tensão atingidas no corpo;
  • E E é o módulo de elasticidade do material, que pode ser calculando dividindo a resistência ao escoamento σ e = 315   M P a pela deformação correspondente ε e = 0,0025   m m / m m .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a distância final entre os pontos de referência do corpo de prova.

Ou seja, ele quer saber o comprimento final L ' dessa distância, que vai ser igual ao comprimento inicial L mais uma variação de comprimento δ :

L ' = L + δ

Agora, como a deformação final no corpo vai ser ε p , vamos ter que δ = L ε p , de tal forma que:

L ' = L + L ε p

L ' = L ( 1 + ε p )

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo de elasticidade E do material!

Considerando que o material se comporta linear-elásticamente no ponto de escoamento e , o módulo de elasticidade E pode ser calculado a partir da Lei de Hooke nesse ponto:

σ e = E ε e

E = σ e ε e

Substituindo os valores de σ e e ε e fornecidos pelo enunciado, isso fica assim:

E = 315   M P a 0,0025   m m / m m

O que dá:

E = 126000   M P a

Passo 3

Com o módulo de elasticidade E calculado, agora podemos calcular a deformação final no corpo:

ε p = ε - σ E

Subsituindo os valores atingidos ε = 0,40   m m / m m e σ = 490   M P a e o módulo de elasticidade E = 126000   M P a , isso fica assim:

ε p = ( 0,40 ) - 490   M P a 126000   M P a

Calculando, isso dá:

ε p = 0,396 1 -   m m / m m

Passo 4

Finalmente, podemos calcular o comprimento final L ' entre os dois pontos de referência do corpo de prova:

L ' = L ( 1 + ε e )

Substituindo L = 50   m m e ε = 0,3961 1 -   m m / m m , temos:

L ' = 50   m m ( 1 + 0,396 1 - )

Calculando isso, encontramos nossa resposta:

Resposta

L = 69,806   m m

Exercício Resolvido #3

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 70-3.11.

O diagrama tensão-deformação para o polietileno que é utilizado para revestir cabos coaxiais é determinado por um ensaio com um corpo de prova com comprimento de referência de 250   m m . Se uma carga P aplicada ao corpo de prova desenvolver uma deformação ε   =   0,024   m m / m m , determine o valor aproximado do comprimento do corpo de prova medido entre os pontos de referência quando a carga é removida. Considere que o corpo de prova se recupere elasticamente.

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Passo 1

O que está acontecendo?

O corpo de prova tem um comprimento inicial L = 250   m m e foi carregado até atingir uma deformação ε = 0,024   m m / m m , o que corresponde a uma tensão σ = 26   M P a :

Ok!

Agora vamos pensar...

A deformação total ε no corpo é igual à soma das deformações elástica ε e (reversível) e plástica ε p (irreversível) que foram sofridas pelo corpo:

ε = ε e + ε p

Dessa forma, quando o corpo é descarregado, ele vai recuperar a deformação elástica ε e e a deformação final nele vai ser igual à deformação plástica ε p (que não é recuperada):

ε p = ε - ε e

E, como a recuperação da deformação elástica ε e sempre segue a Lei de Hooke, temos que:

ε e = σ E

Sendo assim, a deformação final no corpo vai ser:

ε p = ε - σ E

Onde ε é a deformação de 0,024   m m / m m e σ é a tensão de 26   M P a que foram atingidas pelo corpo.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é o comprimento final L ' do corpo de prova depois que carga é removida.

Esse comprimento final L ' vai ser igual ao comprimento inicial L do corpo mais a variação de comprimento δ sofrida:

L ' = L + δ

E a variação de comprimento δ vai ser igual ao comprimento inicial L multiplicado pela deformação final ε p , de tal forma que:

L ' = L + L ε p

L ' = L ( 1 + ε p )

Então como vamos resolver o exercício?

Primeiro, vamos ter que encontrar o módulo de elasticidade E do material do corpo de prova.

Feito isso, vamos poder encontrar a deformação final no corpo ε p = ε - σ / E , e, em seguida, encontrar o comprimento final L ' = L ( 1 + ε p ) .

Passo 2

Começando pela determinação do módulo de elasticidade E do material do corpo de prova!

Da Lei de Hooke σ = E ε , temos que:

E = σ ε

Sendo assim, podemos escolher um ponto da região do Diagrama Tensão-Deformação do material que segue a Lei de Hooke:

E utilizar os valores de σ e ε nesse ponto para calcular E :

E = ( 14   M P a ) ( 0,004   m m / m m )

E = 3500   M P a

Passo 3

Agora que sabemos o módulo de elasticidade E do material, já podemos calcular a deformação final ε p :

ε p = ε - σ E

Substituindo a deformação atingida ε = 0,024   m m / m m , a tensão atingida σ = 26   M P a e o módulo de elasticidade E = 3500   M P a , temos:

ε p = 0,024 - 26   M P a 3500   M P a

Calculando isso, encontramos que:

ε p = 0,0165714   m m / m m

Passo 4

Por fim, podemos calcular o comprimento final L ' do corpo de prova:

L ' = L ( 1 + ε p )

Substituindo os valores L = 250   m m e ε p = 0,0165714   m m / m m , isso fica assim:

L ' = ( 250   m m ) ( 1 + 0,0165714 )

O que dá:

Resposta

L ' = 254,143   m m

Exercício Resolvido #4

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 72-3.21.

A figura apresenta o diagrama tensão-deformação para uma resina de poliéster. Se a viga for suportada por uma barra A B e um poste C D , ambos feitos desse material, e for submetida à carga P = 80   k N , determine o ângulo de inclinação da viga quando a carga for aplicada. O diâmetro da barra é 40   m m , e o diâmetro do poste é 80   m m .

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Passo 1

O que está acontecendo?

A barra A B e o poste C D estão contribuindo para o equilíbrio da viga A C através de forças F A B e F C D :

Aplicando as condições de equilíbrio para essa viga, conseguimos encontrar as forças F A B e F C D em função da carga P = 80   k N .

Mas pelo princípio da ação e reação, se a barra e o poste fazem essas forças na viga, a viga var reagir com forças contrárias na barra e no poste:

A força F A B de tração na barra A B vai gerar nela uma força interna normal N A B = F A B , enquanto que a força F C D   de compressão no poste C D vai gerar nele uma força interna normal N C D = - F C D .

Pessoal, se lembrem que a normal é negativa quando há compressão e positiva quando há tração.

Como uma consequência desse carregamento, a barra e o poste vão sofrer, respectivamente, variações de comprimento δ A B e δ C D , que vão poder ser calculadas através da fórmula

δ = N L E A

Sendo que:

  • Os comprimentos dessas peças são L A B = 2   m , para a barra, e L C D = 0,5   m , para o poste;
  • As duas peças vão ter o mesmo módulo de elasticidade E , que pode ser encontrado a partir do Diagrama Tensão-Deformação fornecido;
  • E as áreas A das seções transversais dessas peças podem ser calculadas a partir de seus diâmetros, d A B = 40   m m e d C D = 80   m m , usando a fórmula A = π d 2 / 4 .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente descubra qual vai ser o ângulo de inclinação que a viga A C vai ganhar por causa das deformações/variações de comprimento na barra e no poste.

Agora, para analisar esse ângulo, vamos ter que encontrar primeiro as variações de comprimento δ A B e δ C D .

Então vamos começar o exercício determinando os valores do módulo de elasticidade E e das forças normais N A B na barra e N C D no poste, para que depois a gente possa usar a fórmula δ = N L / E A .

Passo 2

Para encontrar o módulo de elasticidade E do material, vamos recorrer a Lei de Hooke:

σ = E ε

Isolando E , temos que:

E = σ ε

Então para calcular E , precisamos de um par de valores para a tensão σ e a deformação ε que sigam a Lei de Hooke, o que é seguir a lei de Hooke? Isso significa que esses dois valores devem estar dentro na porção reta do diagrama (onde há deformação elástica).

Olhando para o Diagrama Tensão-Deformação do material, um par de valores desses já está marcado:

Usando esses valores, vamos ter que:

E = ( 32,2   M P a ) ( 0,01   m m / m m )

O que dá:

E = 3220   M P a

Ou, se preferirmos:

E = 3,22   G P a

Passo 3

Já para encontrar as forças internas normais N na barra e no poste, vamos primeiro fazer o diagrama de corpo livre da viga para encontrar as forças F A B e F C D em função da carga P :

Aqui, podemos aplicar duas condições de equilíbrio: o equilíbrio de momentos e o equilíbrio de forças na vertical.

Pessoal, as forças F A B e F C D podem ser achadas por simetria e cada uma tem módulo igual à metade da força P :

F A B = F C D = P 2

Por fim, como vimos no primeiro passo, temos que N A B = F A B e que N C D = - F C D .

Dessa forma, encontramos que:

N A B = P 2       &       N C D = - P 2

Passo 4

Agora que já encontramos o módulo de elasticidade E e as forças normais N , já temos todas as informações necessárias para calcular as variações de comprimento δ na barra e no poste. Visualizando esse efeito vamos ter:

Aplicando a fórmula δ = N L / E A para a barra A B e para o poste C D , temos:

δ A B = N A B L A B E A A B       &       δ C D = N C D L C D E A C D

Podemos definir as áreas A de seção transversal da barra e do poste a partir de seus diâmetros d A B e d C D usando a fórmula A = π d 2 / 4 .

Além disso, temos que N A B = P / 2 e N C D = - P / 2 .

Fazendo essas substituições, temos que:

δ A B = P 2 L A B E π d A B 2 4       &       δ C D = - P 2 L C D E π d C D 2 4

Arrumando essas equações, elas ficam assim:

δ A B = 2 P L A B E π d A B 2       &       δ C D = - 2 P L C D E π d C D 2

Agora só falta substituir os valores de P = 80   k N e E = 3,22   G P a , além dos comprimentos e diâmetros da barra e do poste.

Fazendo essas substituições, temos:

δ A B = 2 80   k N 2   m 3,22   G P a π 40   m m 2       &       δ C D = - 2 80   k N 0,5   m 3,22   G P a π 80   m m 2