Esforços Combinados e o Estado Plano de Tensões

Teoria Completa

Introdução

Nos assuntos anteriores, vimos como as forças normais N e os momentos fletores M em uma peça geram nela tensões normais σ , de acordo com as fórmulas:

σ = N A       &       σ = - M y I

E como as forças cortantes V e os torques internos T em uma peça geram nela tensões cisalhantes τ , de acordo com as fórmulas:

τ = V Q I t       &       τ = T ρ J

Agora...

Ao estudar essas tensões σ e τ , nós sempre estudamos elas separadamente:

  • Em alguns exercício, estudamos a tensão σ = N / A devido à força normal N ;
  • Em outros, estudamos a tensão cisalhante τ = V Q / I t devido à força cortante V ;
  • Etc.

Mas na vida real, a verdade é que um único problema pode envolver vários desses esforços internos N , M , V e T :

Consequentemente, vão haver várias tensões σ e τ em um problema desses de esforços combinados.

E aí a má notícia é que nós não podemos simplesmente considerar essas tensões σ e τ separadamente.

Temos que considerar essas tensões σ e τ juntas.

Temos que saber como elas interagem em um ponto.

E a base para fazermos tudo isso é saber como desenhar essas tensões σ e τ em um ponto de uma peça, que é o que vamos ver nesse tópico!

Exemplo

Para ver como isso funciona na prática, vamos dizer que nós precisamos descrever as tensões no ponto H da imagem abaixo:

Esse é um exercício complexo, do nível que pode aparecer em um prova mais difícil.

Mas a gente consegue encarar ele.

Pensa aí!

Queremos descrever as tensões no ponto H , então precisamos conhecer os esforços internos na seção em que esse ponto está:

Aí, podemos lembrar que os possíveis esforços internos em uma peça são:

  • A força normal N , que nesse caso vai apontar para dentro da seção para equilibrar a força externa F ;
  • A força cortante V , que nesse caso vai apontar para cima para equilibrar a força externa P para baixo;
  • O momento fletor M , que nesse caso vai comprimir o inferior da seção, de forma a equilibrar o momento gerado pela força P com o braço x ;
  • E o torque interno T , que nesse caso vai girar no sentido horário, de forma a equilibrar o momento gerado pela força P com o braço L .

Dessa forma, a nossa seção transversal fica assim:

Esse desenho acima é difícil de fazer e entender, então é comum representar esse mesmo desenho de uma forma mais simples assim em um exercício:

Cálculo das Tensões

Em seguida, podemos calcular as tensões causadas por cada um desses esforços internos no nosso ponto H , usando as fórmulas e conhecimentos que vimos nos assuntos anteriores.

Vamos lembrar de tudo!

Primeiro, devido à força normal N apontando para dentro da seção, vai surgir uma tensão normal média σ = N / A de compressão em toda a seção, inclusive no ponto H :

Segundo, devido à força cortante V para cima, vamos ter uma tensão cisalhante τ = V Q / I t , também para cima.

Essa tensão τ vai tem uma distribuição que é máxima justamente no meio da seção circular, que é onde fica o nosso ponto H :

Terceiro, devido ao momento fletor M , vamos ter uma tensão normal de flexão σ que é nula na linha neutra, onde fica o ponto H :

E finalmente, devido ao torque interno T , vamos ter uma tensão de torção τ = T ρ / J que é máxima e vai apontar para baixo no ponto H :

Desenho das Tensões no Ponto

Agora, já estamos prontos para desenhar como ficam as tensões σ e τ no nosso ponto H , que vamos representar como um quadrado muito pequeno:

Aí, usando os valores ilustrativos que acabamos de “encontrar”, podemos indicar quais são as tensões nesse quadrado H .

De tensão normal, só temos a tensão de 10   M P a causada pela força normal N . Adicionando essa tensão ao nosso quadrado, ele fica assim:

Mas essa tensão sozinha faria o nosso quadrado andar para o lado, o que não deve ser possível.

Então equilibramos ela com uma tensão oposta do outro lado:

Já de tensão cisalhante, temos a tensão de 5   M P a para cima causada pela força cortante V e a tensão de 30   M P a para baixo causada pelo torque interno T .

Dessa forma, a resultante no nosso quadrado é uma tensão cisalhante de 25   M P a para baixo:

Mas essa tensão cisalhante sozinha faria o quadrado andar para abaixo.

Então devemos equilibrar ela com outra tensão cisalhante oposta do outro lado:

Só que agora essas duas tensões cisalhantes vão fazer o quadrado girar.

Então devemos equilibar elas com tensões cisalhantes iguais, mas que gerem rotação no sentido oposto, nos outros dois lados do quadrado:

Por fim, é desnecessário escrever mais de uma vez o valor do par de tensões normais ou o valor das tensões cisalhantes, então podemos deixar esse desenho assim:

E pronto!

Esse desenho acima é o estado plano de tensões para o nosso ponto H .

Caso Geral

Para um ponto qualquer, o estado plano de tensões é definido assim:

Onde:

  • σ x é a tensão normal na horizontal;
  • σ y é a tensão normal na vertical;
  • & τ x y é a tensão cisalhante.

Sendo que as tensões são positivas do jeito que foram desenhadas acima:

  • As tensões σ são positivas quando apontam para fora da peça;
  • E τ x y é positiva quando suas setas se concentram no 1° e 3° quadrante;

Por fim, se quisermos, podemos definir o estado de tensões do nosso ponto H a partir desse caso geral “ σ x ,   σ y ,   τ x y ”.

Para tanto, basta comparar as duas imagens:

Fazendo isso, encontramos que para o ponto H :

σ x = - 10   M P a

σ y = 0

&

τ x y = 25   M P a

Sendo que é interessante ver como nesse caso σ x é negativo, uma vez que a seta de 10   M P a no estado plano de tensões para H está no sentido oposto da convenção de σ x do caso geral.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 335-9.31. (Adaptado)

O eixo tem diâmetro d e está sujeito às cargas mostradas. Faça um desenho do estado plano de tensões para um ponto na superfície desse eixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo tem um diâmetro d .

As forças axiais F nele vão gerar em todas as seções dele uma força interna normal N :

N = - F

...uma vez que essas forças F são forças de compressão.

Essa força interna normal N por sua vez vai gerar em todos os pontos dessas seções uma tensão normal média σ = N / A .

Dessa forma, já sabemos que vai haver em um ponto na superfície desse eixo uma tensão normal média σ = N / A .

Além disso...

Os torques T 0 no eixo vão gerar nele torques internos T (também conhecidos como momentos torsores M T dependendo dos seus professores):

T = T 0

Como mostra a análise dos esforços internos abaixo:

Esse torque interno T , por sua, vez, vai gerar nos pontos dessa seção uma tensão de cisalhamento τ de acordo com a fórmula da torção:

τ = T ρ J

Onde:

  • ρ é a distância do centro da seção até o ponto em que se quer saber a tensão τ ;
  • & J é o momento de inércia polar da seção e é dado pela fórmula:

J = π 2 c 4

...para uma seção circular de raio c .

(No nosso caso, vamos usar c = d / 2 , uma vez que o raio é a metade do diâmetro.)

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente desenhe o estado plano de tensões em um ponto na superfície desse eixo.

Para tanto, devemos escolher um ponto qualquer na superfície desse eixo, como um logo atrás da seção qualquer que fizemos, por exemplo:

Com isso, podemos agora estudar como são as tensões σ = N / A e τ = T ρ / J nesse ponto.

Aí, conhecendo essas tensões, vamos poder desenhar os resultados em um elemento quadrado representando o ponto.

E aí esse desenho vai ser o estado plano de tensões pedido pelo exercício!

Passo 2

Então vamos lá!

Vamos começar calculando a tensão normal causada pela força normal N .

Aplicando a fórmula da tensão normal média, temos:

σ = N A

Aí, substituindo:

  • N = - F ;
  • E a área da seção transversal circular de diâmetro d , A = π d 2 / 4 ,

Encontramos que:

σ = - F π d 2 4 = - 4 F π d 2

O que significa que o nosso ponto é comprimido na horizontal (que é a direção da força normal N ) por uma tensão normal de intensidade 4 F / π d 2 :

Ok!

Passo 3

Agora, vamos encontrar a tensão cisalhante causada pelo torque interno T .

Aplicando a fórmula da torção, temos:

τ = T ρ J

Aí, substituindo:

  • T = T 0 ;
  • & J = π / 2 c 4 ,

...e percebendo que para um ponto na superfície do nosso eixo, a distância ρ vai ser igual ao raio c do eixo, vamos ter que:

τ = T 0 c π 2 c 4

Simplificando isso, temos:

τ = 2 T 0 π c 3

Finalmente, substituindo c = d / 2 , encontramos que a tensão de cisalhamento τ no nosso ponto é:

τ = 2 T 0 π d 2 3 = 2 T 0 π d 3 8 = 16 T 0 π d 3

Por último, ainda precisamos entender qual vai ser a direção dessa tensão cisalhante τ .

Daí que, olhando para o sentido do torque interno T e para o nosso ponto:

...vemos que a tensão cisalhante τ = 16 T 0 / π d 3 causada por T vai apontar para baixo no lado direito desse ponto que escolhemos:

Aí, representando isso no nosso ponto, temos:

Por fim, para equilibrar essa tensão, temos que desenhar outras 3 tensões cisalhantes nos outros lados do elemento:

E pronto!

Esse desenho acima é o estado plano de tensões para um ponto na superfície desse eixo e é a nossa resposta para o exercício.

Resposta

Ver desenho acima.

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 357-9.96. (Adaptado)

O parafuso está preso a seu suporte em C . Se a força de 90   N for aplicada à chave para apertá-lo, determine as tensões normais e de cisalhamento no ponto A . Além disso, represente os resultados sobre um elemento localizado nesse ponto. A haste tem diâmetro de 6   m m .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

A força de 90   N aplicada na chave vai gerar uma série de esforços internos na seção de diâmetro d = 6   m m onde se encontram os pontos A e B .

Esses esforços internos, por sua vez, vão gerar tensões normais σ e tensões cisalhantes τ nesses pontos.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine essas tensões σ e τ resultantes no ponto A .

Em seguida, ele ainda quer que a gente represente esses resultados desenhando o estado plano de tensões para esse ponto, como ilustrado na imagem abaixo:

Então, para resolver esse exercício...

Devemos começar fazendo uma seção na peça no local onde está esse ponto A .

Dessa forma, poderemos analisar e determinar os esforços internos que atuam nesse seção.

Com isso, vamos poder identificar as tensões σ e τ causadas por cada um desses esforços internos.

E, assim, vamos conseguir fazer os desenhos do estado plano de tensões para o ponto A .

Passo 2

Então vamos começar fazendo uma análise dos esforços internos na seção onde se encontra o ponto A .

Para tanto, podemos representar as peças de uma forma simplificada e fazer uma seção na região desse ponto:

Feito isso, devemos identificar quais vão ser os esforços internos que vão surgir nessa seção.

Então lembra aí!

Os possíveis esforços internos são:

  • Força normal N ;
  • Força cortante V ;
  • Momento fletor M (ou M F l );
  • E torque interno T (ou momento torsor M T ).

Desenhando esses esforços internos na nossa seção, o desenho acima fica assim:

Lembrando que dependendo da convenção dos seus professores, o torque interno T pode ser desenhado também entrando para dentro das peças.

Passo 3

Agora, precisamos calcular os valores desses esforços internos N , V , M e T .

Para tanto, podemos aplicar condições de equilíbrio para toda a parte direita das peças:

Primeiro, aplicando o equilíbrio de forças na horizontal, temos:

∑ F H = 0

A única força na horizontal é a força normal N , então temos que:

N = 0

Ou seja, não há força normal N nesse seção.

Em seguida, aplicando o equilíbrio de forças na vertical, temos:

∑ F V = 0

Na vertical, temos a cortante V para cima e a força de 90   N para baixo.

Dessa forma, esse somatório acima fica assim:

V - 90   N = 0

O que significa que:

V = 90   N

Já para determinar o valor do momento fletor M , precisamos aplicar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A :

∑ M A = 0

Em relação a esse ponto, nós vamos ter um momento no sentido horário ( - ) causado pela força de 90   N com um braço de 50   m m e o momento M também no sentido horário ( - ).

Dessa forma, esse somatório de momentos acima fica assim:

- 90   N 50   m m - M = 0

O que significa que:

M = - 90 * 50   N * m m

O que dá:

M = - 4500   N * m m

Por fim, para determinar o valor do torque interno T , precisamos fazer um equilíbrio de torques:

∑ T = 0

Em relação ao eixo principal do parafuso, nós vamos ter um torque no sentido horário ( - ) causado pela força de 90   N com um braço de 150   m m , além do próprio torque interno T , também no sentido horário ( - ).

Então o nosso somatório de torques fica assim:

- 90   N 150   m m - T = 0

O que significa que:

T = - 90 * 150   N * m m = - 13500   N * m m

Passo 4

Agora que conhecemos os esforços internos na seção do ponto A :

V = 90   N

M = - 4 5 00   N * m m

&

T = - 13 5 00   N * m m

...podemos calcular as tensões causadas por esses esforços internos.

Nesse passo, vamos começar analisando a tensão de cisalhamento τ causada pela força cortante V .

Lembra aí!

Ela é dada pela fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

Onde:

  • Q é o momento estático para a fibra em que se quer calcular a tensão τ ;
  • I é o momento de inércia da área da seção transversal;
  • & t é a espessura da fibra em que se quer calcular a tensão τ .

Aí, se a gente olhar para o nosso ponto A , vamos perceber uma coisa:

Que é: esse nosso ponto A está no topo da seção!

E lá quando estudamos a fórmula do cisalhamento, vimos que o momento estático Q das fibras no topo e na base de uma seção é nulo.

Consequentemente, a tensão de cisalhamento τ = V Q / I t devido à força cortante V nos pontos dessas fibras é nula.

Ou seja:

A força cortante V não vai causar nenhuma tensão no nosso ponto A .

Passo 5

Em seguida, vamos ver como é a tensão causada pelo momento fletor M = - 4,5   N * m no nosso ponto A .

Lá quando estudamos flexão, vimos que a tensão normal causada por um momento fletor M é dada pela fórmula da flexão:

σ = - M y I

Onde:

  • y é a posição do ponto em que se quer saber a tensão σ em relação à linha neutra;
  • & I é o momento de inércia da área da seção transversal.

No caso da nossa seção circular, temos que a linha neutra passa bem no meio dela:

Aí, da imagem acima, vemos como a posição y do nosso ponto A é:

y A = d / 2

Além disso, para uma seção circular, o momento de inércia da área I é dado pela fórmula:

I = π r 4 4

Onde r é o raio da seção e é igual à metade do diâmetro dela ( r = d / 2 ), de tal forma que:

I = π d / 2 4 4 = π d 4 / 16 4 = π d 4 64

Sabendo de tudo isso, já podemos aplicar a fórmula da flexão para o nosso ponto A :

σ A = - M y A I

Aí, substituindo:

  • y A = d / 2 ;
  • & I = π d 4 / 64 ,

Temos que:

σ A = - M d 2 π d 4 64

Simplificando, isso dá:

σ A = - 32 M π d 3

Finalmente, substituindo os valores:

  • M = - 45 00   N * m m ;
  • & d = 6   m m ,

Encontramos que:

σ A = - 32 - 4500   N * m m π 6   m m 3

Calculando tudo isso, vamos ter um resultado em N / m m 2 que vai dar:

σ A = 212,2   N / m m 2

Mas N / m m 2 é o mesmo que M P a , o que significa que:

σ A = 212,2   M P a

E o que é que esse resultado significa?

Ele significa que o nosso ponto A está sendo tracionado lateralmente por uma tensão normal de 212,2   M P a :

Passo 6

Por fim, podemos ver como será a tensão causada pelo torque interno T .

Pelo que vimos lá em torção, sabemos que esse torque interno vai gerar na seção tensões de cisalhamento τ de acordo com a fórmula da torção:

τ = T ρ J

Onde:

  • ρ é a distância do centro da seção até o ponto em que se quer saber a tensão τ ;
  • & J é o momento de inércia polar da seção e é dado pela fórmula:

J = π 2 c 4

...para uma seção circular de raio c .

No nosso caso, vamos usar c = d / 2 , uma vez que o raio é a metade do diâmetro, de tal forma que:

J = π 2 d 2 4 = π 2 d 4 16 = π d 4 32

Aí, para o nosso ponto A , a distância ρ A dele ao centro é igual ao raio c = d / 2 da seção:

Assim, já podemos aplicar a fórmula da torção para o nosso ponto A :

τ A = T ρ A J

Substituindo:

  • ρ A = d / 2 ;
  • & J = π d 4 / 32 ,

Temos:

τ A = T d 2 π d 4 32

Simplificando, temos:

τ A = 16 T π d 3

Finalmente, substituindo os valores:

  • T = - 13500   N * m m ;
  • & d = 6   m m ,

Encontramos que:

τ A = 16 - 13500   N * m m π 6   m m 3

Calculando tudo, e vendo que o resultando dessa equação vai sair em N / m m 2 , que é o mesmo que M P a , obtemos que:

τ A = - 318,3   M P a

Passo 7

Estamos quase terminando o exercício, mas ainda temos um último desafio que é saber em que sentido atua essa tensão de cisalhamento τ A = - 318,3   M P a que acabamos de encontrar.

Isso porque:

  • Enquanto que a fórmula da flexão é “inteligente” (ela consegue através do seu sinal de positivo ou negativo indicar se é uma tensão de tração ou compressão),
  • A fórmula da torção não é “inteligente”.

Então nós temos que olhar pros desenhos que fizemos para entender qual é o sentido da tensão τ A .

Podemos, por exemplo, olhar pro lado esquerdo do desenho que fizemos lá no começo do exercício:

Nesse desenho, a seta dupla corresponde ao torque.

Visualizando esse torque na nossa peça com o auxílio da regra da mão direita, ele fica assim:

O que significa que caso ele fosse positivo, ele geraria uma tensão que apontaria para baixo no lado direito do ponto A :

Mas na realidade, o torque interno T e a tensão τ A = - 318,3   M P a que encontramos tem valores negativos.

Isso significa que a tensão cisalhante de intensidade 318,3   M P a no nosso ponto A vai na realidade estar apontando para cima no lado direito do ponto A :