Tensões Principais

Teoria Completa

Introdução

Nos dois últimos tópicos, nós vimos:

  • Como definir um estado plano de tensões, como o da imagem abaixo:

  • E como utilizar a transformação de tensões para descobrir as tensões σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' nesse elemento caso ele fosse rotacionado por um ângulo θ :

E beleza...

Pode ser muito legal ficar desenhando esses quadradinhos com essas setinhas...

Mas na real que a gente ainda não viu a aplicação prática de tudo isso!

Felizmente, isso vai mudar hoje.

A partir de agora, vamos deixar de sermos aprendizes e vamos nos tornar mestres:

Então vamos lá!

Problema de Exemplo

Vamos dizer que você é um(a) engenheiro(a) aeronáutico(a) e descobriu que, no ponto mais crítico do seu avião, ele está submetido a um estado de tensões:

σ x = 125   M P a ,       σ y = - 200   M P a       &       τ x y = 350   M P a

Como na imagem abaixo:

Além disso, você sabe também que o material dessa parte do avião é um material que falha sempre por causa da tensão normal σ .

Então, para saber se esse ponto vai falhar, você quer descobrir qual é a tensão normal σ de maior intensidade nesse ponto.

De início, você acha que a tensão normal de maior intensidade nesse ponto é a de 200   M P a .

Mas aí, você recebe uma mensagem do além.

E aí você percebe:

Pera aí.

200   M P a não é necessariamente a tensão normal de maior intensidade.

Se eu rotacionar meu elemento, eu posso encontrar pelas equações da transformação de tensões outras tensões normais σ x ' ou σ y ' que podem ter uma intensidade ainda maior.

Então...

Qual é realmente a tensão normal de maior intensidade nesse ponto?

Como podemos encontrar ela?

Tensões Principais

Justamente para responder essas perguntas, um pessoal decidiu estudar as equações da transformação de tensões.

Eles pensaram:

  • Girando o elemento, nós conseguimos converter tensão cisalhante em tensões normais e vice-versa.
  • Então se a gente conseguir zerar a tensão cisalhante, vamos ter uma situação com o máximo de tensões normais.

E foi isso que eles fizeram.

Primeiro, chamaram essas tensões normais “máximas” de tensões principais.

Depois, igualaram a fórmula de τ x ' y ' a zero:

0 = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

...dividiram tudo por cos ⁡ 2 θ e isolaram a tg ⁡ 2 θ que apareceu.

Assim, descobriram que os ângulos “ θ p ” que zeram a tensão cisalhante e fazem aparecer as tensões principais são dados pela fórmula:

Fórmula das Tensões Principais

Aí, colocando esses ângulos θ p na fórmula de σ x ' e manipulando ela bem muito, encontraram uma fórmula para as tensões principais:

Sendo que:

  • σ 1 é chamada de “tensão principal máxima” e σ 2 é chamada de “tensão principal mínima”;
  • E a diferença entre as fórmulas de σ 1 e σ 2 está em ter, respectivamente, o sinal de positivo ( + ) ou negativo ( - ) entre o termo fora da raíz e a raíz.

Além disso...

Para ficar mais fácil de decorar essa fórmula, algumas pessoas chamam o primeiro termo dela de “ σ m é d ”:

σ m é d = σ x + σ y 2

E o segundo termo de “ R ”:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Encontrando assim que:

Exemplo de Aplicação

Para o estado de tensões do nosso avião, por exemplo, podemos calcular os valores de σ m é d , R , σ 1 e σ 2 :

E assim, vemos como a tensão normal de maior intensidade naquele ponto do avião é uma tensão de compressão de 423,4   M P a .

Beleza!

Mas e se eu quiser saber qual é a orientação que causa essas tensões principais?

Aí eu posso recorrer à fórmula que vimos anteriormente dos ângulos θ p que fazem essas tensões aparecer:

Mas e esse ângulo θ p = 32,5 ° , será que ele é o que causa a tensão principal σ 1 = 348,4   M P a ou a tensão principal σ 2 = - 423,4   M P a ?

Só há um jeito de descobrir: testando!

Pegamos a fórmula de σ x ' e substituímos esse ângulo:

Fazendo isso, vamos como esse ângulo θ p = 32,5 ° é responsável pela tensão principal σ 1 = 348,4   M P a , então chamamos ele de “ θ p 1 ”:

θ p 1 = 32,5 °

E o ângulo θ p 2 que causa a outra tensão principal σ 2 ?

Aí é só adicionar ou retirar 90 ° do primeiro, como foi feito a seguir:

θ p 2 = 32,5 ° - 90 ° = - 57,5 °

E pronto!

Esses ângulos θ p 1 e θ p 2 são as orientações que causam as tensões principais σ 1 e σ 2 e zeram a tensão de cisalhamento:

Tensão de Cisalhamento Máxima

E se o material do nosso avião não fosse um material que falhasse sempre por tensão normal σ , mas sim um material que falha sempre por tensão de cisalhamento τ ?

Nesse caso...

Lembrando que girando o elemento, nós conseguimos converter tensão cisalhante em tensões normais e vice-versa...

Percebemos que deve existir uma orientação do elemento em que a tensão de cisalhamento τ x ' y ' tem o seu valor máximo.

E essa orientação existe mesmo!

Ela pode ser obtida somando OU subtraindo 45 ° de qualquer um dos ângulos θ p .

Por exemplo:

Subtraindo 45 ° de θ p 1 , encontramos que um ângulo “ θ τ m á x ” que faz com que τ x ' y ' tenha seu valor máximo é:

θ τ m á x = 32,5 ° - 45 ° = - 12,5 °

E como ficam as tensões nessa orientação?

Então...

Nessa orientação, a tensão de cisalhamento τ x ' y ' vai ser máxima e pode ser calculada de uma das duas formas abaixo:

Sendo que se você substituir σ 1 = σ m é d + R e σ 2 = σ m é d - R na primeira fórmula, você vai acabar encontrando a segunda.

Ou seja, as duas fórmulas dizem a mesma coisa.

Já as duas tensões normais σ x ' e σ y ' nessa orientação vão assumir o valor σ m é d , que pode ser calculado a partir das tensões σ x e σ y OU a partir das tensões principais.

Ou seja:

Para o ponto do nosso avião, por exemplo:

Como já calculamos R e σ m é d , podemos usar τ m á x = R e σ x ' = σ y ' = σ m é d para encontrarmos que:

τ m á x = R = 385,9   M P a

&

σ x ' = σ y ' = σ m é d = - 37,5   M P a

Dessa forma, o desenho do nosso ponto nessa orientação fica assim: