Tensões Principais
Teoria
Introdução
Nos dois últimos tópicos, nós vimos:
- Como definir um estado plano de tensões, como o da imagem abaixo:
- E como utilizar a transformação de tensões para descobrir as tensões , e nesse elemento caso ele fosse rotacionado por um ângulo :
E beleza...
Pode ser muito legal ficar desenhando esses quadradinhos com essas setinhas...
Mas na real que a gente ainda não viu a aplicação prática de tudo isso!
Felizmente, isso vai mudar hoje.
A partir de agora, vamos deixar de sermos aprendizes e vamos nos tornar mestres:
Então vamos lá!
Problema de Exemplo
Vamos dizer que você é um(a) engenheiro(a) aeronáutico(a) e descobriu que, no ponto mais crítico do seu avião, ele está submetido a um estado de tensões:
Como na imagem abaixo:
Além disso, você sabe também que o material dessa parte do avião é um material que falha sempre por causa da tensão normal .
Então, para saber se esse ponto vai falhar, você quer descobrir qual é a tensão normal de maior intensidade nesse ponto.
De início, você acha que a tensão normal de maior intensidade nesse ponto é a de .
Mas aí, você recebe uma mensagem do além.
E aí você percebe:
Pera aí.
não é necessariamente a tensão normal de maior intensidade.
Se eu rotacionar meu elemento, eu posso encontrar pelas equações da transformação de tensões outras tensões normais ou que podem ter uma intensidade ainda maior.
Então...
Qual é realmente a tensão normal de maior intensidade nesse ponto?
Como podemos encontrar ela?
Tensões Principais
Justamente para responder essas perguntas, um pessoal decidiu estudar as equações da transformação de tensões.
Eles pensaram:
- Girando o elemento, nós conseguimos converter tensão cisalhante em tensões normais e vice-versa.
- Então se a gente conseguir zerar a tensão cisalhante, vamos ter uma situação com o máximo de tensões normais.
E foi isso que eles fizeram.
Primeiro, chamaram essas tensões normais “máximas” de tensões principais.
Depois, igualaram a fórmula de a zero:
...dividiram tudo por e isolaram a que apareceu.
Assim, descobriram que os ângulos “” que zeram a tensão cisalhante e fazem aparecer as tensões principais são dados pela fórmula:
Fórmula das Tensões Principais
Aí, colocando esses ângulos na fórmula de e manipulando ela bem muito, encontraram uma fórmula para as tensões principais:
Sendo que:
- é chamada de “tensão principal máxima” e é chamada de “tensão principal mínima”;
- E a diferença entre as fórmulas de e está em ter, respectivamente, o sinal de positivo () ou negativo () entre o termo fora da raíz e a raíz.
Além disso...
Para ficar mais fácil de decorar essa fórmula, algumas pessoas chamam o primeiro termo dela de “”:
E o segundo termo de “”:
Encontrando assim que:
Exemplo de Aplicação
Para o estado de tensões do nosso avião, por exemplo, podemos calcular os valores de , , e :
E assim, vemos como a tensão normal de maior intensidade naquele ponto do avião é uma tensão de compressão de .
Beleza!
Mas e se eu quiser saber qual é a orientação que causa essas tensões principais?
Aí eu posso recorrer à fórmula que vimos anteriormente dos ângulos que fazem essas tensões aparecer:
Mas e esse ângulo , será que ele é o que causa a tensão principal ou a tensão principal ?
Só há um jeito de descobrir: testando!
Pegamos a fórmula de e substituímos esse ângulo:
Fazendo isso, vamos como esse ângulo é responsável pela tensão principal , então chamamos ele de “”:
E o ângulo que causa a outra tensão principal ?
Aí é só adicionar ou retirar do primeiro, como foi feito a seguir:
E pronto!
Esses ângulos e são as orientações que causam as tensões principais e e zeram a tensão de cisalhamento:
Tensão de Cisalhamento Máxima
E se o material do nosso avião não fosse um material que falhasse sempre por tensão normal , mas sim um material que falha sempre por tensão de cisalhamento ?
Nesse caso...
Lembrando que girando o elemento, nós conseguimos converter tensão cisalhante em tensões normais e vice-versa...
Percebemos que deve existir uma orientação do elemento em que a tensão de cisalhamento tem o seu valor máximo.
E essa orientação existe mesmo!
Ela pode ser obtida somando OU subtraindo de qualquer um dos ângulos .
Por exemplo:
Subtraindo de , encontramos que um ângulo “” que faz com que tenha seu valor máximo é:
E como ficam as tensões nessa orientação?
Então...
Nessa orientação, a tensão de cisalhamento vai ser máxima e pode ser calculada de uma das duas formas abaixo:
Sendo que se você substituir e na primeira fórmula, você vai acabar encontrando a segunda.
Ou seja, as duas fórmulas dizem a mesma coisa.
Já as duas tensões normais e nessa orientação vão assumir o valor , que pode ser calculado a partir das tensões e OU a partir das tensões principais.
Ou seja:
Para o ponto do nosso avião, por exemplo:
Como já calculamos e , podemos usar e para encontrarmos que:
Dessa forma, o desenho do nosso ponto nessa orientação fica assim:
Finalização
Agora é com você!
Você pode treinar seus conhecimentos fazendo alguns exercícios resolvidos a seguir.
Como você pode também aproveitar que você está manjando essa matéria para passar os seus conhecimentos adiante para um(a) outro(a) jovem aprendiz:
Tensões Principais
Fórmula das Tensões Principais
Exemplo de Aplicação
Tensão de Cisalhamento Máxima
Finalização
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 333-9.13.
O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.
Passo 1
O que está acontecendo?
O exercício nos fornece um estado plano de tensões em que:
Lembrando que tem um valor negativo nesse caso pois a sua direção no desenho está no sentido oposto ao da convenção, a convenção de sinais é a seguinte:
Observe que as tensões normais são trativas e a tensão cisalhante tem aquela direção apontada no desenho. Isso significa que a tensão fornecida é compressiva!
E o que é que o exercício quer?
No item , ele quer saber as tensões principais e e as orientações e correspondentes.
E no item b?
Já no item , o exercício quer saber a tensão de cisalhamento máxima nesse elemento, além da tensão normal média e da orientação correspondente.
Para tanto, podemos aproveitar que já calculamos e durante a resolução do item anterior.
Enquanto que uma ou mais orientações podem ser obtidas somando OU subtraindo de ou .
Passo 2
Depois de já termos definido o estado plano de tensões no passo anterior:
Já estamos prontos para iniciar a determinação das tensões principais para o item !
Começamos calculando :
E :
Em seguida, já calculamos e :
Passo 3
Agora, para complementar a resposta do item , precisamos determinar as orientações e .
Começamos aplicando:
Aí, utilizando a função da calculadora, encontramos:
O que significa que:
Pessoal, a gente pode visualizar as tensões e juntamente com o ângulo no nosso estado plano de tensões:
Passo 4
Agora, precisamos testar esse valor de para descobrirmos qual é a tensão principal que ele causa.
Para tanto, empregamos a fórmula da transformação de tensões para :
Substituindo todos os valores, temos:
O que dá:
O que é igual à .
Dessa forma, concluímos que é na realidade o ângulo :
E o ângulo ?
Podemos encontrar ele somando ou subtraindo de .
Normalmente, evitamos encontrar ângulos fora do intervalo , então vamos subtrair de para encontrarmos que:
E pronto!
Resolvemos o item por completo.
Passo 5
Em seguida, para o item , podemos aproveitar os valores “” e “” que já calculamos para o item , conforme vimos lá no passo 1.
Para saber a tensão de cisalhamento máxima , podemos aproveitar que para encontrarmos que:
Enquanto que para , podemos aproveitar diretamente o valor que já calculamos lá no passo 2 :
Por fim, para encontramos orientações em que essa tensões e ocorrem, podemos somar OU subtrair de OU .
Evitando encontrar ângulos fora do intervalo , encontramos dessa forma que:
E assim completamos nossa resposta para o item !
Resposta
Exercício Resolvido #2
Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 511-7.161.
O tubo de aço tem de diâmetro externo e uma espessura de parede de . Sabendo que o braço está rigidamente fixado ao tubo, determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto .
Passo 1
O que está acontecendo?
O tubo tem:
- Um diâmetro externo e consequentemente um raio externo ;
- E uma parede de espessura , e consequentemente um raio interno .
A força de é aplicada no braço , resultando no aparecimento de vários esforços internos ao longo do tubo .
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber as tensões principais e e a tensão máxima de cisalhamento no ponto .
Daí que, para encontramos isso, vamos ter que:
1. Realizar uma análise dos esforços internos na seção em que se encontram os pontos e , com o objetivo de descrever os esforços internos nessa seção.
2. Para cada um dos esforços internos encontrados no passo anterior, calcular e verificar o sentido da tensão causada por esses esforços interno.
3. Juntar os resultados dos passos anteriores para desenhar o estado plano de tensões para o ponto , definindo assim as tensões , e nele.
E finalmente, 4. Calcular e utilizando as fórmulas:
Para depois determinarmos as tensões principais , e a tensão de cisalhamento máxima nesse ponto!
Passo 2
Então vamos começar pela análise dos esforços internos.
Precisamos secionar o tubo na seção em que se encontram os pontos e .
Fazendo o uso de um desenho simplificado do conjunto e fazendo essa seção, vamos ter:
Aí, agora, temos que nos lembrar dos possíveis esforços internos que podem existir nessa seção:
- Força Normal ;
- Força Cortante , que para essa seção em um conjunto em como esse, pode existir tanto ao longo do eixo quanto ao longo do eixo ;
- Torque Interno , que também pode ser chamado de momento torsor ou de momento em volta do eixo , ;
- E momentos fletores ou , que para essa seção em um conjunto em como esse, pode existir tanto em volta do eixo quando em volta do eixo .
Mas aí...
Percebendo que a única força externa na nossa peça é a força de , percebemos que ela não vai gerar:
- Nenhuma força normal ;
- Nenhuma força cortante ao longo do eixo ;
- & nenhum momento fletor em volta do eixo .
Então os nossos esforços internos na nossa seção vão ficar assim:
Passo 3
Agora, podemos aplicar o equilíbrio no desenho que fizemos no passo anterior para encontrarmos o valor de cada esforços interno.
Começando pelo equilíbrio de forças no eixo , temos:
O que significa que:
Seguindo com o equilíbrio de torques para o nosso tubo , temos:
Aí aqui, vamos ter dois torques no nosso tubo:
- o torque interno , que desenhamos de forma a estar no sentido oposto do eixo (sentido negativo);
- e o torque gerado pela força de com um braço de , que pela regra da mão direita vai estar no sentido do eixo (sentido positivo).
Dessa forma, o nosso somatório de torques fica assim:
O que significa que:
Ou, em :
Para finalizar, utilizamos o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção:
Aqui, vamos ter o momento fletor no sentido anti-horário () e um momento gerado pela força de com um braço de no sentido horário ().
Então, nosso somatório fica assim:
Isolando , encontramos:
Ou, em :
Passo 4
Chegou a hora de calcular e avaliar o sentido de cada tensão causada por cada um desses esforços internos.
Começando pela força de cisalhamento :
Sabemos que a tensão de cisalhamento causada por uma força de cisalhamento é nula no topo e na base de uma seção.
E, nesse nosso caso, nós temos uma força de cisalhamento ao longo do eixo .
E, ao longo do eixo , o nosso ponto está efetivamente no topo da seção:
Então...
A tensão de cisalhamento devido a força de cisalhamento é nula no ponto .
Passo 5
Seguindo com o torque interno .
Pelo que estudamos lá em torção, sabemos que ele vai causar uma tensão de cisalhamento nos pontos da nossa seção de acordo com a fórmula:
Onde:
- é a distância entre o centro da seção e o ponto em que queremos avaliar a tensão (no nosso caso, o ponto , que está na superfície externa do tubo de tal forma que );
- & é o momento polar de inércia, que podemos calcular para um tubo vazado como:
Sendo que, substituindo e , isso dá:
Aí, aplicando a fórmula da torção para o nosso ponto , temos:
E substituindo , e , encontramos que:
Finalmente, calculando tudo e sabendo que é o mesmo que , encontramos que: