Tensões Principais

Teoria Completa

Introdução

Nos dois últimos tópicos, nós vimos:

  • Como definir um estado plano de tensões, como o da imagem abaixo:

  • E como utilizar a transformação de tensões para descobrir as tensões σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' nesse elemento caso ele fosse rotacionado por um ângulo θ :

E beleza...

Pode ser muito legal ficar desenhando esses quadradinhos com essas setinhas...

Mas na real que a gente ainda não viu a aplicação prática de tudo isso!

Felizmente, isso vai mudar hoje.

A partir de agora, vamos deixar de sermos aprendizes e vamos nos tornar mestres:

Então vamos lá!

Problema de Exemplo

Vamos dizer que você é um(a) engenheiro(a) aeronáutico(a) e descobriu que, no ponto mais crítico do seu avião, ele está submetido a um estado de tensões:

σ x = 125   M P a ,       σ y = - 200   M P a       &       τ x y = 350   M P a

Como na imagem abaixo:

Além disso, você sabe também que o material dessa parte do avião é um material que falha sempre por causa da tensão normal σ .

Então, para saber se esse ponto vai falhar, você quer descobrir qual é a tensão normal σ de maior intensidade nesse ponto.

De início, você acha que a tensão normal de maior intensidade nesse ponto é a de 200   M P a .

Mas aí, você recebe uma mensagem do além.

E aí você percebe:

Pera aí.

200   M P a não é necessariamente a tensão normal de maior intensidade.

Se eu rotacionar meu elemento, eu posso encontrar pelas equações da transformação de tensões outras tensões normais σ x ' ou σ y ' que podem ter uma intensidade ainda maior.

Então...

Qual é realmente a tensão normal de maior intensidade nesse ponto?

Como podemos encontrar ela?

Tensões Principais

Justamente para responder essas perguntas, um pessoal decidiu estudar as equações da transformação de tensões.

Eles pensaram:

  • Girando o elemento, nós conseguimos converter tensão cisalhante em tensões normais e vice-versa.
  • Então se a gente conseguir zerar a tensão cisalhante, vamos ter uma situação com o máximo de tensões normais.

E foi isso que eles fizeram.

Primeiro, chamaram essas tensões normais “máximas” de tensões principais.

Depois, igualaram a fórmula de τ x ' y ' a zero:

0 = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

...dividiram tudo por cos ⁡ 2 θ e isolaram a tg ⁡ 2 θ que apareceu.

Assim, descobriram que os ângulos “ θ p ” que zeram a tensão cisalhante e fazem aparecer as tensões principais são dados pela fórmula:

Fórmula das Tensões Principais

Aí, colocando esses ângulos θ p na fórmula de σ x ' e manipulando ela bem muito, encontraram uma fórmula para as tensões principais:

Sendo que:

  • σ 1 é chamada de “tensão principal máxima” e σ 2 é chamada de “tensão principal mínima”;
  • E a diferença entre as fórmulas de σ 1 e σ 2 está em ter, respectivamente, o sinal de positivo ( + ) ou negativo ( - ) entre o termo fora da raíz e a raíz.

Além disso...

Para ficar mais fácil de decorar essa fórmula, algumas pessoas chamam o primeiro termo dela de “ σ m é d ”:

σ m é d = σ x + σ y 2

E o segundo termo de “ R ”:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Encontrando assim que:

Exemplo de Aplicação

Para o estado de tensões do nosso avião, por exemplo, podemos calcular os valores de σ m é d , R , σ 1 e σ 2 :

E assim, vemos como a tensão normal de maior intensidade naquele ponto do avião é uma tensão de compressão de 423,4   M P a .

Beleza!

Mas e se eu quiser saber qual é a orientação que causa essas tensões principais?

Aí eu posso recorrer à fórmula que vimos anteriormente dos ângulos θ p que fazem essas tensões aparecer:

Mas e esse ângulo θ p = 32,5 ° , será que ele é o que causa a tensão principal σ 1 = 348,4   M P a ou a tensão principal σ 2 = - 423,4   M P a ?

Só há um jeito de descobrir: testando!

Pegamos a fórmula de σ x ' e substituímos esse ângulo:

Fazendo isso, vamos como esse ângulo θ p = 32,5 ° é responsável pela tensão principal σ 1 = 348,4   M P a , então chamamos ele de “ θ p 1 ”:

θ p 1 = 32,5 °

E o ângulo θ p 2 que causa a outra tensão principal σ 2 ?

Aí é só adicionar ou retirar 90 ° do primeiro, como foi feito a seguir:

θ p 2 = 32,5 ° - 90 ° = - 57,5 °

E pronto!

Esses ângulos θ p 1 e θ p 2 são as orientações que causam as tensões principais σ 1 e σ 2 e zeram a tensão de cisalhamento:

Tensão de Cisalhamento Máxima

E se o material do nosso avião não fosse um material que falhasse sempre por tensão normal σ , mas sim um material que falha sempre por tensão de cisalhamento τ ?

Nesse caso...

Lembrando que girando o elemento, nós conseguimos converter tensão cisalhante em tensões normais e vice-versa...

Percebemos que deve existir uma orientação do elemento em que a tensão de cisalhamento τ x ' y ' tem o seu valor máximo.

E essa orientação existe mesmo!

Ela pode ser obtida somando OU subtraindo 45 ° de qualquer um dos ângulos θ p .

Por exemplo:

Subtraindo 45 ° de θ p 1 , encontramos que um ângulo “ θ τ m á x ” que faz com que τ x ' y ' tenha seu valor máximo é:

θ τ m á x = 32,5 ° - 45 ° = - 12,5 °

E como ficam as tensões nessa orientação?

Então...

Nessa orientação, a tensão de cisalhamento τ x ' y ' vai ser máxima e pode ser calculada de uma das duas formas abaixo:

Sendo que se você substituir σ 1 = σ m é d + R e σ 2 = σ m é d - R na primeira fórmula, você vai acabar encontrando a segunda.

Ou seja, as duas fórmulas dizem a mesma coisa.

Já as duas tensões normais σ x ' e σ y ' nessa orientação vão assumir o valor σ m é d , que pode ser calculado a partir das tensões σ x e σ y OU a partir das tensões principais.

Ou seja:

Para o ponto do nosso avião, por exemplo:

Como já calculamos R e σ m é d , podemos usar τ m á x = R e σ x ' = σ y ' = σ m é d para encontrarmos que:

τ m á x = R = 385,9   M P a

&

σ x ' = σ y ' = σ m é d = - 37,5   M P a

Dessa forma, o desenho do nosso ponto nessa orientação fica assim:

Finalização

Agora é com você!

Você pode treinar seus conhecimentos fazendo alguns exercícios resolvidos a seguir.

Como você pode também aproveitar que você está manjando essa matéria para passar os seus conhecimentos adiante para um(a) outro(a) jovem aprendiz:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 333-9.13.

O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine ( a ) as tensões principais e ( b ) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

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Passo 1

O que está acontecendo?

O exercício nos fornece um estado plano de tensões em que:

σ x = 45   M P a

σ y = - 60   M P a

&

τ x y = 30   M P a

Lembrando que σ y tem um valor negativo nesse caso pois a sua direção no desenho está no sentido oposto da convenção:

E o que é que o exercício quer?

No item ( a ) , ele quer saber as tensões principais σ 1 e σ 2 e as orientações θ p 1 e θ p 2 correspondentes.

Então lembra aí!

Para encontrar essas tensões principais, devemos usar:

Onde:

σ m é d = σ x + σ y 2

&

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Já para encontrar as orientações θ p , podemos usar:

Lembrando que nós vamos ter que substituir o primeiro θ p que encontrarmos na fórmula da transformação de tensões para σ x ' :

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

...para descobrirmos se esse θ p encontrado corresponde à primeira ou à segunda tensão principal.

E no item b?

Já no item ( b ) , o exercício quer saber a tensão de cisalhamento máxima τ m á x nesse elemento, além da tensão normal média σ m é d = σ x ' = σ y ' e da orientação θ τ m á x correspondente.

Para tanto, podemos aproveitar que já calculamos R = τ m á x e σ m é d durante a resolução do item anterior.

Enquanto que uma ou mais orientações θ τ m á x podem ser obtidas somando OU subtraindo 45 ° de θ p 1 ou θ p 2 .

Passo 2

Depois de já termos definido o estado plano de tensões no passo anterior:

σ x = 45   M P a

σ y = - 60   M P a

&

τ x y = 30   M P a

Já estamos prontos para iniciar a determinação das tensões principais para o item ( a ) !

Começamos calculando σ m é d :

σ m é d = σ x + σ y 2 = 45 + - 60 2 = - 7,5   M P a

E R :

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = 45 - ( - 60 ) 2 2 + 30 2 = 60,467   M P a

Em seguida, já calculamos σ 1 e σ 2 :

σ 1 = σ m é d + R = 53,0   M P a

&

σ 2 = σ m é d - R = - 68,0   M P a

Passo 3

Agora, para complementar a resposta do item ( a ) , precisamos determinar as orientações θ p 1 e θ p 2 .

Começamos aplicando:

tg ⁡ 2 θ p = 2 τ x y σ x - σ y = 2 ( 30 ) 45 - ( - 60 ) = 0,57143

Aí, utilizando a função a r c t g da calculadora, encontramos:

2 θ p = 29,745 °

O que significa que:

θ p = 14,9 °

Passo 4

Agora, precisamos testar esse valor de θ p para descobrirmos qual é a tensão principal que ele causa.

Para tanto, empregamos a fórmula da transformação de tensões para σ x ' :

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ p + τ x y sen ⁡ 2 θ p

Substituindo todos os valores, temos:

σ x ' = 45 + - 60 2 + 45 - ( - 60 ) 2 cos ⁡ 29,745 ° + 30 sen ⁡ 29,745 °

O que dá:

σ x ' = 53,0   M P a

O que é igual à σ 1 .

Dessa forma, concluímos que θ p = 14,9 ° é na realidade o ângulo θ p 1 :

θ p 1 = 14,9 °

E o ângulo θ p 2 ?

Podemos encontrar ele somando ou subtraindo 90 ° de θ p 1 .

Normalmente, evitamos encontrar ângulos fora do intervalo - 90 ° < θ < 90 ° , então vamos subtrair 90 ° de θ p 1 para encontrarmos que:

θ p 2 = 14,9 ° - 90 ° = - 75,1 °

E pronto!

Resolvemos o item ( a ) por completo.

Passo 5

Em seguida, para o item ( b ) , podemos aproveitar os valores “ R ” e “ σ m é d ” que já calculamos para o item ( a ) , conforme vimos lá no passo 1.

Para saber a tensão de cisalhamento máxima τ m á x , podemos aproveitar que τ m á x = R para encontrarmos que:

τ m á x = R = 60,467   M P a = 60,5   M P a

Enquanto que para σ m é d , podemos aproveitar diretamente o valor que já calculamos lá no passo 2 ( a ) :

σ m é d = - 7,5   M P a

Por fim, para encontramos orientações θ τ m á x em que essa tensões τ m á x e σ m é d ocorrem, podemos somar OU subtrair 45 ° de θ p 1 OU θ p 2 .

Evitando encontrar ângulos fora do intervalo - 90 ° < θ < 90 ° , encontramos dessa forma que:

θ τ m á x = 14,9 ° + 45 ° = 59,9 °

ou…

θ τ m á x = - 75,1 ° + 45 ° = - 30,1 °

E assim completamos nossa resposta para o item ( b ) !

Resposta

a       σ 1 = 53,0   M P a ;       σ 2 = - 68,0   M P a ;       θ p 1 = 14,9 °       &       θ p 2 = - 75,1 ° .

b       τ m á x = 60,5   M P a ;       σ m é d = - 7,5   M P a ;       θ τ m á x = 59,9 °   ou - 30,1 ° .

Exercício Resolvido #2

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 511-7.161.

O tubo de aço A B tem 102   m m de diâmetro externo e uma espessura de parede de 6   m m . Sabendo que o braço C D está rigidamente fixado ao tubo, determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto K .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

O tubo A B tem:

  • Um diâmetro externo d e x t = 102   m m e consequentemente um raio externo r e x t = 51   m m ;
  • E uma parede de espessura e = 6   m m , e consequentemente um raio interno r i n t = r e x t - e = 51 - 6 = 45   m m .

A força de 10   k N é aplicada no braço C D , resultando no aparecimento de vários esforços internos ao longo do tubo A B .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber as tensões principais σ 1 e σ 2 e a tensão máxima de cisalhamento τ m á x no ponto K .

Daí que, para encontramos isso, vamos ter que:

1. Realizar uma análise dos esforços internos na seção em que se encontram os pontos H e K , com o objetivo de descrever os esforços internos nessa seção.

2. Para cada um dos esforços internos encontrados no passo anterior, calcular e verificar o sentido da tensão causada por esses esforços interno.

3. Juntar os resultados dos passos anteriores para desenhar o estado plano de tensões para o ponto K , definindo assim as tensões σ x , σ y e τ x y nele.

E finalmente, 4. Calcular σ m é d e R utilizando as fórmulas:

σ m é d = σ x + σ y 2

&

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Para depois determinarmos as tensões principais σ 1 = σ m é d + R , σ 2 = σ m é d - R e a tensão de cisalhamento máxima τ m á x = R nesse ponto!

Passo 2

Então vamos começar pela análise dos esforços internos.

Precisamos secionar o tubo A B na seção em que se encontram os pontos H   e K .

Fazendo o uso de um desenho simplificado do conjunto e fazendo essa seção, vamos ter: