Transformações de Tensões

Teoria Completa

Introdução

No final do tópico anterior, nós definimos para um certo ponto de uma peça, o seguinte estado plano de tensões:

Ainda vimos como, dessa imagem, podemos definir nesse ponto as tensões normais σ x = - 10   M P a e σ y = 0 e a tensão cisalhante τ x y = 25   M P a .

Agora...

Vamos dizer que um exercício da nossa prova pede que a gente determine as tensões nesse ponto, mas em um plano A - A que forma um ângulo de 70 ° com a horizontal, como na imagem abaixo:

Como resolvemos esse exercício?

Transformação de Tensões

A solução para resolver esse exercício está em fazer uma transformação de tensões.

Essa transformação funciona assim:

1. Primeiro, precisamos ter eixos x e y definidos:

2. Depois, precisamos rotacionar esses eixos usando um ângulo θ (positivo no sentido anti-horário), obtendo assim novos eixos x ' e y ' :

Sendo que aqui, o objetivo é fazer com que uma das faces do nosso elemento fique paralela ao plano A - A .

Nesse caso, podemos fazer isso usando um ângulo θ = + 20 ° ou usando um ângulo θ = - 70 ° :

3. Em seguida, devemos calcular as tensões σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' para o nosso elemento rotacionado:

Aí, para calcular essas tensões, devemos usar as fórmulas:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ - τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Sendo que vale para essas fórmulas a dica:

E se alguma dessas fórmulas der um resultado negativo, isso significa que a tensão em questão tem um sentido contrário ao sentido convencional.

No nosso caso, por exemplo, substituindo σ x = - 10   M P a , σ y = 0 e τ x y = 25   M P a , além de θ = 20 ° , vamos encontrar com essas fórmulas que:

σ x ' ≅ 7,2   M P a

σ y ' ≅ - 17,2   M P a

&

τ x ' y ' ≅ 22,4   M P a

E o desenho do nosso elemento rotacionado vai ficar assim:

4. Por fim, vamos obter as tensões no plano A - A observando uma face do nosso elemento que ficou paralela a esse plano:

Nesse caso, vemos que as tensões no plano A - A vão ser uma tensão normal σ = 7,2   M P a de tração e uma tensão cisalhante τ = 22,4   M P a !

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Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 333-9.10.

Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 30 ° em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Use as equações de transformação de tensão.

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Passo 1

O que está acontecendo?

A imagem apresenta um estado plano de tensões em que:

  • σ x = 0 , uma vez que não há nenhuma tensão normal na horizontal;
  • σ y = - 300   k P a , com valor negativo uma vez que a tensão normal na vertical é de compressão;
  • τ x y = 950   k P a , com valor positivo uma vez que as setas da tensão cisalhantes está apontando para o 1° e 3° quadrante:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine o estado de tensão σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' nesse elemento caso os seus eixos sejam rotacionados por um ângulo θ = 30 ° em sentido anti-horário ( + ):

Para tanto, ele quer que a gente use as equações de transformação de tensões:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ - τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Então, para resolver esse exercício...

O primeiro passo é fazer o desenho que acabamos de fazer do elemento rotacionado.

O segundo é aplicar as equações de transformação de tensões.

E o terceiro é colocar os resultados encontrados no desenho do elemento rotacionado.

Com uma observação:

Caso o exercício pedisse somente as tensões σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' , esse terceiro passo poderia ser pulado.

Mas como ele pediu que a gente determine o “estado de tensões equivalente”, imagina-se que ele quer que a gente faça um desenho desse estado de tensões.

Sendo que no geral, é sempre bom fazer esse desenho final mesmo. 😉

Passo 2

Então vamos lá!

Já fizemos no passo anterior um desenho do nosso elemento rotacionado, o que nos ajudou a identificar corretamente o ângulo θ = + 30 ° .

Agora, é só uma questão de aplicar as fórmulas da transformação de tensões:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ - τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Substituindo nessas equações os valores:

  • σ x = 0 ;
  • σ y = - 300   k P a ;
  • τ x y = 950   k P a ;
  • & θ = + 30 ° ,

Elas vão ficar assim:

σ x ' = - 300 2 + 300 2 cos ⁡ 60 ° + 950 sen ⁡ 60 °

σ y ' = - 300 2 - 300 2 cos ⁡ 60 ° - 950 sen ⁡ 60 °

τ x ' y ' = - 300 2 sen ⁡ 60 ° + τ x y cos ⁡ 60 °

Aí, calculando essas expressões, vamos encontrar que:

σ x ' = 748   k P a

σ y ' = - 1048   k P a

&

τ x ' y ' = 345   k P a

Passo 3

No passo anterior, já encontramos as respostas do nosso exercício, mas para complementar a nossa solução, podemos desenhar essas tensões no nosso elemento rotacionado.

Para tanto, podemos perceber que:

  • As tensões σ x ' = 748   k P a e τ x ' y ' = 345   k P a , por serem positivas, vão ter seus sentidos convencionais no desenho.
  • Já a tensão σ y ' = - 1048   k P a , negativa, vai ser representada no desenho somente com sua intensidade de 1048   k P a , mas com um sentido oposto do convencional, ou seja, com o sentido de compressão.

Dessa forma, o estado plano de tensões para o nosso elemento rotacionado fica assim:

E pronto!

Está resolvido o exercício.

Resposta

σ x ' = 748   k P a

σ y ' = - 1048   k P a

&

τ x ' y ' = 345   k P a

Exercício Resolvido #2

Questão 1 da 2ª Prova Mecânica dos Materiais 1 - 2012.2 - Professores Alex e Éder - UnB. (Adaptado de Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 456-7.29.)

Para o estado de tensão mostrado, determine: ( a ) o valor de τ x y para o qual a tensão de cisalhamento no plano da cola seja zero e ( b ) a tensão normal correspondente.

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Passo 1

O que está acontecendo?

O elemento da figura possui um estado plano de tensões com:

  • σ x = 12   M P a ;
  • σ y = 2   M P a ;
  • & τ x y desconhecido.

E o que é que o exercício quer saber?

Na letra ( a ) , ele quer saber qual deve ser o valor de τ x y para que a tensão de cisalhamento no plano da cola seja zero.

Então devemos tentar descrever a tensão de cisalhamento τ x ' y ' no plano da cola!

Fazendo isso, vamos poder igualar essa tensão a zero e descobrir qual é o valor de τ x y correspondente.

Já na letra ( b ) , o exercício quer saber qual vai ser a tensão normal no plano da cola tendo em mente esse caso proposto no item a .

Então, para resolver o exercício...

Temos que fazer uma transformação de tensões nesse elemento com o objetivo de descrever a tensão de cisalhamento τ x ' y ' no plano da cola.

Isso envolve:

1. Definir um ângulo θ (positivo se for sentido anti-horário) de rotação que faça com que uma face do nosso elemento fique paralela ao plano da cola.

2. Aplicar a fórmula da transformação de tensões para a tensão de cisalhamento, usando esse ângulo θ definido no passo anterior:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

& 3. Igualar essa fórmula a zero, de tal forma que a gente possa isolar τ x y e descobrir qual deve ser seu valor.

Depois que isso tiver sido feito, vamos poder seguir para o item ( b ) , em que devemos:

1. Identificar se a tensão normal no plano da cola vai corresponder à tensão σ x ' ou σ y ' do elemento rotacionado.

(Isso depende do ângulo θ que tivermos escolhido.)

& 2. Aplicar a fórmula correspondente de transformação de tensões para a tensão normal:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

ou…

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ - τ x y sen ⁡ 2 θ

Passo 2

Então vamos começar definindo a rotação do nosso elemento.

Uma opção é rotacionar ele com um ângulo θ = - 15 ° , fazendo com que sua face direita fique paralela ao plano da cola:

E assim está definida a nossa rotação!

Passo 3

Agora que já definimos a rotação θ = - 15 ° , podemos aplicar a fórmula da transformação de tensões para a tensão de cisalhamento:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Aí, substituindo σ x = 12   M P a , σ y = 2   M P a & θ = - 15 ° , essa fórmula fica assim:

τ x ' y ' = - 12 - 2 2 sen ⁡ - 30 ° + τ x y cos ⁡ - 30 °

Daí que, calculando tudo isso, encontramos que:

τ x ' y ' = 2,5 + 0,866 * τ x y

Passo 4

Descrita a tensão de cisalhamento τ x ' y ' no plano da cola, podemos agora igualá-la a zero para encontrar a tensão de cisalhamento τ x y original necessária para satisfazer essa condição.

Fazendo isso, vamos ter:

0 = 2,5 + 0,866 * τ x y

Isolando τ x y , encontramos que:

τ x y = - 2,5 0,866

O que dá:

τ x y = - 2,89   M P a

Que é a nossa resposta para a letra ( a ) .

Passo 5

Agora, para a letra ( b ) , podemos olhar de novo para a rotação que definimos:

Olhando para essa imagem, vemos que:

A tensão normal σ que vai atuar no plano da cola deve ser a mesma tensão normal que atua na face paralela ao plano da cola, que é a tensão σ na direção x ' .

Dessa forma, temos que a tensão normal σ no plano da cola vai ser dada pela fórmula:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

Daí que, substituindo nessa fórmula σ x = 12   M P a , σ y = 2   M P a , τ x y = - 2,89   M P a & θ = - 15 ° , ela fica assim:

σ x ' = 12 + 2 2 + 12 - 2 2 cos ⁡ - 30 ° + - 2,89 sen ⁡ - 30 °

Calculando tudo isso, encontramos que:

σ x ' = 12,8   M P a

Ou seja, a tensão normal no plano da cola é uma tensão de tração de 12,8   M P a .

Resposta

a   τ x y = - 2,89   M P a

&

b   σ p l a n o   d a   c o l a = 12,8   M P a   (Tração)

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Determine o estado de tensões do elemento infinitesimal dado abaixo quando analisamos um plano orientado a 37° no sentido anti-horário.

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Passo 1

Aqui é importante entender o que está ocorrendo, a figura abaixo demonstra o que o enunciado fala

Sabemos então que se trata de uma simples transformação de tensão, que sabemos que devemos usar as seguintes fórmulas para determinar o estado de tensões do elemento que está a 37°

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ

Passo 2

Agora que já sabemos qual o problema e quais fórmulas devemos usar, vamos ir encontrando cada valor do nosso elemento quando orientado a 37°

Sabemos que

σ x = 12

σ y = 13,2

τ x y = 15,7

θ = 37 °

Substituindo os valores em cada uma das equações teremos que

σ ' x = ( 12 + 13,2 ) 2 + 12 - 13,2 2 C o s 2.37 ° + 15,7 S e n 2.37 ° = 27,53

σ ' y = ( 12 + 13,2 ) 2 - 12 - 13,2 2 C o s 2.37 ° - 15,7 S e n 2.37 ° = - 2,33

τ x ' y ' = - 12 - 13,2 2 S e n 2.37 ° + 15,7 C o s 2.37 ° = 4,90

Passo 3

Redesenhando o elemento no novo estado de tensões teremos que

Resposta

σ ' x = 27,53

σ ' y = - 2,33

τ x ' y ' = 4,90

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Determine o estado de tensões de um elemento infinitesimal orientado de 79° no sentido horário.

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Passo 1

Aqui é importante entender o que está ocorrendo, a figura abaixo demonstra o que o enunciado fala

Sabemos então que se trata de uma simples transformação de tensão, que sabemos que devemos usar as seguintes fórmulas para determinar o estado de tensões do elemento que está a 79°. Aqui vale ressaltar um ponto muito importante, todos os ângulos em transformação de tensões que giram no sentido horário entram na fórmula com sinal negativo.

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ