Transformações de Tensões

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Teoria

Introdução

No final do tópico anterior, nós definimos para um certo ponto de uma peça, o seguinte estado plano de tensões:

Ainda vimos como, dessa imagem, podemos definir nesse ponto as tensões normais σ x = - 10   M P a e σ y = 0 e a tensão cisalhante τ x y = 25   M P a .

Agora...

Vamos dizer que um exercício da nossa prova pede que a gente determine as tensões nesse ponto, mas em um plano A - A que forma um ângulo de 70 ° com a horizontal, como na imagem abaixo:

Como resolvemos esse exercício?

Transformação de Tensões

A solução para resolver esse exercício está em fazer uma transformação de tensões.

Essa transformação funciona assim:

1. Primeiro, precisamos ter eixos x e y definidos:

2. Depois, precisamos rotacionar esses eixos usando um ângulo θ (positivo no sentido anti-horário), obtendo assim novos eixos x ' e y ' :

Sendo que aqui, o objetivo é fazer com que uma das faces do nosso elemento fique paralela ao plano A - A .

Nesse caso, podemos fazer isso usando um ângulo θ = + 20 ° ou usando um ângulo θ = - 70 ° :

3. Em seguida, devemos calcular as tensões σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' para o nosso elemento rotacionado:

Aí, para calcular essas tensões, devemos usar as fórmulas:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ - τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Sendo que vale para essas fórmulas a dica:

E se alguma dessas fórmulas der um resultado negativo, isso significa que a tensão em questão tem um sentido contrário ao sentido convencional.

No nosso caso, por exemplo, substituindo σ x = - 10   M P a , σ y = 0 e τ x y = 25   M P a , além de θ = 20 ° , vamos encontrar com essas fórmulas que:

σ x ' ≅ 7,2   M P a

σ y ' ≅ - 17,2   M P a

&

τ x ' y ' ≅ 22,4   M P a

E o desenho do nosso elemento rotacionado vai ficar assim:

4. Por fim, vamos obter as tensões no plano A - A observando uma face do nosso elemento que ficou paralela a esse plano:

Nesse caso, vemos que as tensões no plano A - A vão ser uma tensão normal σ = 7,2   M P a de tração e uma tensão cisalhante τ = 22,4   M P a !

Transformação de Tensões

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 30 ° em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Use as equações de transformação de tensão.

Passo 1

O que está acontecendo?

A imagem apresenta um estado plano de tensões em que:

  • σ x = 0 , uma vez que não há nenhuma tensão normal na horizontal;
  • σ y = - 300   k P a , com valor negativo uma vez que a tensão normal na vertical é de compressão;
  • τ x y = 950   k P a , com valor positivo uma vez que as setas da tensão cisalhantes está apontando para o 1° e 3° quadrante:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine o estado de tensão σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' nesse elemento caso os seus eixos sejam rotacionados por um ângulo θ = 30 ° em sentido anti-horário ( + ):

Para tanto, ele quer que a gente use as equações de transformação de tensões:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ - τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Então, para resolver esse exercício...

O primeiro passo é fazer o desenho que acabamos de fazer do elemento rotacionado.

O segundo é aplicar as equações de transformação de tensões.

E o terceiro é colocar os resultados encontrados no desenho do elemento rotacionado.

Com uma observação:

Caso o exercício pedisse somente as tensões σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' , esse terceiro passo poderia ser pulado.

Mas como ele pediu que a gente determine o “estado de tensões equivalente”, imagina-se que ele quer que a gente faça um desenho desse estado de tensões.

Sendo que no geral, é sempre bom fazer esse desenho final mesmo. 😉

Passo 2

Então vamos lá!

Já fizemos no passo anterior um desenho do nosso elemento rotacionado, o que nos ajudou a identificar corretamente o ângulo θ = + 30 ° .

Agora, é só uma questão de aplicar as fórmulas da transformação de tensões:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ - τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Substituindo nessas equações os valores:

  • σ x = 0 ;
  • σ y = - 300   k P a ;
  • τ x y = 950   k P a ;
  • & θ = + 30 ° ,

Elas vão ficar assim:

σ x ' = - 300 2 + 300 2 cos ⁡ 60 ° + 950 sen ⁡ 60 °

σ y ' = - 300 2 - 300 2 cos ⁡ 60 ° - 950 sen ⁡ 60 °

τ x ' y ' = - 300 2 sen ⁡ 60 ° + τ x y cos ⁡ 60 °

Aí, calculando essas expressões, vamos encontrar que:

σ x ' = 748   k P a

σ y ' = - 1048   k P a

&

τ x ' y ' = 345   k P a

Passo 3

No passo anterior, já encontramos as respostas do nosso exercício, mas para complementar a nossa solução, podemos desenhar essas tensões no nosso elemento rotacionado.

Para tanto, podemos perceber que:

  • As tensões σ x ' = 748   k P a e τ x ' y ' = 345   k P a , por serem positivas, vão ter seus sentidos convencionais no desenho.
  • Já a tensão σ y ' = - 1048   k P a , negativa, vai ser representada no desenho somente com sua intensidade de 1048   k P a , mas com um sentido oposto do convencional, ou seja, com o sentido de compressão.

Dessa forma, o estado plano de tensões para o nosso elemento rotacionado fica assim:

E pronto!

Está resolvido o exercício.

Resposta

σ x ' = 748   k P a

σ y ' = - 1048   k P a

&

τ x ' y ' = 345   k P a

Exercício Resolvido #2

Para o estado de tensão mostrado, determine: ( a ) o valor de τ x y para o qual a tensão de cisalhamento no plano da cola seja zero e ( b ) a tensão normal correspondente.

Passo 1

O que está acontecendo?

O elemento da figura possui um estado plano de tensões com:

  • σ x = 12   M P a ;
  • σ y = 2   M P a ;
  • & τ x y desconhecido.

E o que é que o exercício quer saber?

Na letra ( a ) , ele quer saber qual deve ser o valor de τ x y para que a tensão de cisalhamento no plano da cola seja zero.

Então devemos tentar descrever a tensão de cisalhamento τ x ' y ' no plano da cola!

Fazendo isso, vamos poder igualar essa tensão a zero e descobrir qual é o valor de τ x y correspondente.

Já na letra ( b ) , o exercício quer saber qual vai ser a tensão normal no plano da cola tendo em mente esse caso proposto no item a .

Então, para resolver o exercício...

Temos que fazer uma transformação de tensões nesse elemento com o objetivo de descrever a tensão de cisalhamento τ x ' y ' no plano da cola.

Isso envolve:

1. Definir um ângulo θ (positivo se for sentido anti-horário) de rotação que faça com que uma face do nosso elemento fique paralela ao plano da cola.

2. Aplicar a fórmula da transformação de tensões para a tensão de cisalhamento, usando esse ângulo θ definido no passo anterior:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

& 3. Igualar essa fórmula a zero, de tal forma que a gente possa isolar τ x y e descobrir qual deve ser seu valor.

Depois que isso tiver sido feito, vamos poder seguir para o item ( b ) , em que devemos:

1. Identificar se a tensão normal no plano da cola vai corresponder à tensão σ x ' ou σ y ' do elemento rotacionado.

(Isso depende do ângulo θ que tivermos escolhido.)

& 2. Aplicar a fórmula correspondente de transformação de tensões para a tensão normal:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

ou…

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ - τ x y sen ⁡ 2 θ

Passo 2

Então vamos começar definindo a rotação do nosso elemento.

Uma opção é rotacionar ele com um ângulo θ = - 15 ° , fazendo com que sua face direita fique paralela ao plano da cola:

E assim está definida a nossa rotação!

Passo 3

Agora que já definimos a rotação θ = - 15 ° , podemos aplicar a fórmula da transformação de tensões para a tensão de cisalhamento:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Aí, substituindo σ x = 12   M P a , σ y = 2   M P a & θ = - 15 ° , essa fórmula fica assim:

τ x ' y ' = - 12 - 2 2 sen ⁡ - 30 ° + τ x y cos ⁡ - 30 °

Daí que, calculando tudo isso, encontramos que:

τ x ' y ' = 2,5 + 0,866 * τ x y

Passo 4

Descrita a tensão de cisalhamento τ x ' y ' no plano da cola, podemos agora igualá-la a zero para encontrar a tensão de cisalhamento τ x y original necessária para satisfazer essa condição.

Fazendo isso, vamos ter:

0 = 2,5 + 0,866 * τ x y

Isolando τ x y , encontramos que:

τ x y = - 2,5 0,866

O que dá:

τ x y = - 2,89   M P a

Que é a nossa resposta para a letra ( a ) .

Passo 5

Agora, para a letra ( b ) , podemos olhar de novo para a rotação que definimos:

Olhando para essa imagem, vemos que:

A tensão normal σ que vai atuar no plano da cola deve ser a mesma tensão normal que atua na face paralela ao plano da cola, que é a tensão σ na direção x ' .

Dessa forma, temos que a tensão normal σ no plano da cola vai ser dada pela fórmula:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

Daí que, substituindo nessa fórmula σ x = 12   M P a , σ y = 2   M P a , τ x y = - 2,89   M P a & θ = - 15 ° , ela fica assim:

σ x ' = 12 + 2 2 + 12 - 2 2 cos ⁡ - 30 ° + - 2,89 sen ⁡ - 30 °

Calculando tudo isso, encontramos que:

σ x ' = 12,8   M P a

Ou seja, a tensão normal no plano da cola é uma tensão de tração de 12,8   M P a .

Resposta

a   τ x y = - 2,89   M P a

&

b   σ p l a n o   d a   c o l a = 12,8   M P a   (Tração)

Exercício Resolvido #3

Determine o estado de tensões do elemento infinitesimal dado abaixo quando analisamos um plano orientado a 37° no sentido anti-horário.

Passo 1

Aqui é importante entender o que está ocorrendo, a figura abaixo demonstra o que o enunciado fala

Sabemos então que se trata de uma simples transformação de tensão, que sabemos que devemos usar as seguintes fórmulas para determinar o estado de tensões do elemento que está a 37°

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ

Passo 2

Agora que já sabemos qual o problema e quais fórmulas devemos usar, vamos ir encontrando cada valor do nosso elemento quando orientado a 37°

Sabemos que

σ x = 12

σ y = 13,2

τ x y = 15,7

θ = 37 °

Substituindo os valores em cada uma das equações teremos que

σ ' x = ( 12 + 13,2 ) 2 + 12 - 13,2 2 C o s 2.37 ° + 15,7 S e n 2.37 ° = 27,53

σ ' y = ( 12 + 13,2 ) 2 - 12 - 13,2 2 C o s 2.37 ° - 15,7 S e n 2.37 ° = - 2,33

τ x ' y ' = - 12 - 13,2 2 S e n 2.37 ° + 15,7 C o s 2.37 ° = 4,90

Passo 3

Redesenhando o elemento no novo estado de tensões teremos que

Resposta

σ ' x = 27,53

σ ' y = - 2,33

τ x ' y ' = 4,90

Exercício Resolvido #4

Determine o estado de tensões de um elemento infinitesimal orientado de 79° no sentido horário.

Passo 1

Aqui é importante entender o que está ocorrendo, a figura abaixo demonstra o que o enunciado fala

Sabemos então que se trata de uma simples transformação de tensão, que sabemos que devemos usar as seguintes fórmulas para determinar o estado de tensões do elemento que está a 79°. Aqui vale ressaltar um ponto muito importante, todos os ângulos em transformação de tensões que giram no sentido horário entram na fórmula com sinal negativo.

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ

Passo 2

Agora que já sabemos qual o problema e quais fórmulas devemos usar, vamos ir encontrando cada valor do nosso elemento quando orientado a 79°

Sabemos que

σ x = - 120

σ y = - 80

τ x y = 90

θ = - 79 °

Substituindo os valores em cada uma das equações teremos que

σ ' x = ( - 120 - 80 ) 2 + - 120 - - 80 2 C o s 2 . - 79 ° + 90 S e n 2 . - 79 ° = - 115,17

σ ' y = ( - 120 - 80 ) 2 - - 120 - - 80 2 C o s ( 2 . - 79 ° ) - 90 S e n 2 . - 79 ° = - 84,83

τ x ' y ' = - - 120 - - 80 2 S e n 2 . - 79 ° + 90 C o s 2 . - 79 ° = - 90,94

Passo 3

Redesenhando o elemento no novo estado de tensões teremos que

Resposta

σ ' x = - 115,17

σ ' y = - 84,83

τ x ' y ' = - 90,94

Exercício Resolvido #5

Uma barra de ferro foi remendada segundo o ângulo mostrado na figura. Sabendo que ela será submetida aos esforços mostrados determine quais tensões apareceram no plano da emenda.

Passo 1

Vamos representar o nosso elemento infinitesimal de forma a trocar a nossa barra por um elemento que simbolize a ação do carregamento. Dessa forma teremos que o nosso elemento infinitesimal será

Também devemos rotacionar o nosso elemento de forma que a parede lateral do quadrado fique paralela a emenda da barra, que é exatamente o nosso plano orientado a 60°, logo as possíveis posições do nosso elemento serão

Passo 2

Sabemos também que as fórmulas que nos permitem calcular as tensões nesse plano são dadas por

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ

Em que o nosso elemento apresenta apenas σ x e θ .

Passo 3

Olhando novamente a nossa barra, teremos que

Sabemos que

σ x = N A

Em que

N = 40 K N = 40000 N

A = 20 x 40 = 800 c m 2 = 800.10 - 4 m 2 = 0,08 m 2

Substituindo teremos que

σ x = 40000 0,08 = 500000 P a = 500 K P a

Agora que temos todos os valores, vamos substituir na nossa fórmula.

Passo 4

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ

σ x = 500 K P a

E vamos testar para dois ângulos, primeiro com θ = - 60 ° e depois com θ = + 30 °

Passo 5

Primeiro com θ = + 30 °

σ ' x = ( 500 + 0 ) 2 + 500 - 0 2 C o s 2.30 ° + 0 . S e n 2.30 ° = 375 K P a

σ ' y = ( 500 + 0 ) 2 - 500 - 0 2 C o s 2.30 ° - 0 . S e n 2.30 ° = 125 K P a

τ x ' y ' = - 500 - 0 2 S e n 2.30 ° + 0 . C o s 2.30 ° = - 216,5 K P a

Primeiro com θ = - 60 °

σ ' x = ( 500 + 0 ) 2 + 500 - 0 2 C o s 2 . ( - 60 ° ) + 0 . S e n 2 . ( - 60 ° ) = 125 K P a

σ ' y = ( 500 + 0 ) 2 - 500 - 0 2 C o s 2 . ( - 60 ° ) - 0 . S e n 2 . ( - 60 ° ) = 375 K P a

τ x ' y ' = - 500 - 0 2 S e n 2 . ( - 60 ° ) + 0 . C o s 2 . ( - 60 ° ) = 216,5 K P a

Redesenhando o nosso elemento com as tensões encontradas teremos o seguinte estado de tensões

Marcando no desenho o plano que nos interessa teremos que

Podemos ver que a tensão que age no plano da emenda é dada pelas tensões que agem no plano azul do nosso desenho, assim podemos dizer que

σ ' x ( 30 ° ) = σ ' y ( - 60 ° ) = 375 K P a

τ x ' y ' = 216,5 K P a

Resposta

σ ' x ( 30 ° ) = σ ' y ( - 60 ° ) = 375 K P a

τ x ' y ' = 216,5 K P a

Exercício Resolvido #6

um garoto sofreu um acidente em que o osso do seu braço teve quer ser colado segundo o ângulo mostrado na figura. Sabendo que esse garoto foi jogar bola e sofreu uma entrada em que o osso do seu braço foi submetido aos esforços mostrados na figura. Sabendo que a tensão máxima cisalhante suportada no plano de rompimento é de 50KPa, determine se a entrada sofrida pelo garoto será suficiente para causar novamente o rompimento do seu osso.

Passo 1

Vamos representar o nosso elemento infinitesimal de forma a trocar o nosso braço por um elemento que simbolize a ação da entrada no jogo de futebol. Dessa forma teremos que o nosso elemento infinitesimal será

Também devemos rotacionar o nosso elemento de forma que a parede lateral do quadrado fique paralela a colagem do osso, que é exatamente o nosso plano orientado a 45°, logo as possíveis posições do nosso elemento serão

Passo 2

Sabemos também que as fórmulas que nos permitem calcular as tensões nesse plano são dadas por

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ

Em que o nosso elemento apresenta apenas σ x e θ .

Passo 3

Olhando novamente o nosso braço, teremos que

Sabemos que

σ x = + 80 K P a

Agora que temos todos os valores, vamos substituir na nossa fórmula.

Passo 4

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ

σ x = 8 0   K P a

E vamos testar para um único ângulo de θ = 45 °

Passo 5

Com θ = + 45 °

σ ' x = ( 80 + 0 ) 2 + 80 - 0 2 C o s 2.45 ° + 0 . S e n 2.45 ° = 40 K P a

σ ' y = ( 80 + 0 ) 2 - 80 - 0 2 C o s 2.45 ° - 0 . S e n 2.45 ° = 40 K P a

τ x ' y ' = - 80 - 0 2 S e n 2.45 ° + 0 . C o s 2.45 ° = - 40 K P a

Redesenhando o nosso elemento com as tensões encontradas teremos o seguinte estado de tensões

Marcando no desenho o plano que nos interessa teremos que

Podemos ver que a tensão que age no plano da emenda é dada pelas tensões que agem no plano azul do nosso desenho, assim podemos dizer que

σ ' x = 40 K P a

τ x ' y ' = 40 K P a

Mas o objetivo da questão era saber se a entrada sofrida pelo garoto seria o suficiente para que novamente o braço do menino voltasse a quebrar-se.

Como foi dito no enunciado a resistência no plano era de 50KPa, como a tensão cisalhante no plano é de 40KPa podemos afirmar que não ocorrerá ruptura no braço do menino.

Resposta

A entrada sofrida pelo garoto não será suficiente para romper novamente o osso de seu braço, isso pois a resistência no plano de emenda é de 50KPa, enquanto que a máxima tensão cisalhante ocorrida no plano é de 40KPa.

Exercício Resolvido #7

Abaixo é dado um elemento infinitesimal sujeito aos esforços mostrados. Usando seus conhecimentos de transformação de tensões, mostre que as tensões no plano a 75° no sentido anti-horário são as mesmas das do plano a 15° no sentido horário.

Passo 1

Aqui é importante entender o que está ocorrendo, a figura abaixo demonstra o que o enunciado fala

Sabemos então que se trata de uma simples transformação de tensão, que sabemos que devemos usar as seguintes fórmulas para determinar o estado de tensões do elemento que está a 75° e a 15°

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ

Passo 2

Agora que já sabemos qual o problema e quais fórmulas devemos usar, vamos ir encontrando cada valor do nosso elemento quando orientado a 75° e a 15°

Sabemos que

σ x = a

σ y = 3 a

τ x y = 3 4 a

θ a n t i - h o r a r i o = 75 °

θ h o r a r i o = - 15 °

Substituindo os valores em cada uma das equações teremos que

Primeiro usando θ h o r a r i o = - 15 °

σ ' x = ( a + 3 a ) 2 + a - 3 a 2 C o s 2 . - 15 ° + 3 4 a . S e n ( 2 . ( - 15 ° ) )

σ ' x = 2 a - a C o s - 30 + 3 4 a . S e n ( - 30 )

σ ' x = 2 a - a 3 2 + 3 4 a . ( - 1 2 )

σ ' x = 13 a 8 - a 3 2

σ ' y = ( a + 3 a ) 2 - a - 3 a 2 C o s 2 . - 15 ° - 3 4 a . S e n ( 2 . ( - 15 ° ) )

σ ' y = 2 a + a C o s - 30 - 3 4 a . S e n ( - 30 )

σ ' y = 2 a + a 3 2 - 3 4 a . ( - 1 2 )

σ ' y = 19 a 8 + a 3 2

τ x ' y ' = - a - 3 a 2 S e n 2 . - 15 ° + 3 4 a . C o s 2 . - 15 °

τ x ' y ' = a . S e n - 30 ° + 3 4 a . C o s - 30 °

τ x ' y ' = - a 2 + 3 4 a . 3 2

τ x ' y ' = - a 2 + 3 a 3 8

Agora usando θ h o r a r i o = 75 °

σ ' x = ( a + 3 a ) 2 + a - 3 a 2 C o s 2 . 75 ° + 3 4 a . S e n ( 2 . ( 7 5 ° ) )

σ ' x = 2 a - a C o s 150 ° + 3 4 a . S e n ( 150 ° )

σ ' x = 2 a - a - 3 2 + 3 4 a . ( + 1 2 )

σ ' x = 1 9 a 8 + a 3 2

σ ' y = ( a + 3 a ) 2 - a - 3 a 2 C o s 2 . 75 ° - 3 4 a . S e n ( 2 . ( 75 ° ) )

σ ' y = 2 a + a C o s 150 ° - 3 4 a . S e n ( 150 ° )

σ ' y = 2 a + a - 3 2 - 3 4 a . ( + 1 2 )

σ ' y = 1 3 a 8 - a 3 2

τ x ' y ' = - a - 3 a 2 S e n 2 . 75 ° + 3 4 a . C o s 2 . 75 °

τ x ' y ' = a . S e n 15 0 ° + 3 4 a . C o s 15 0 °

τ x ' y ' = + a 2 - 3 4 a . 3 2

τ x ' y ' = + a 2 - 3 a 3 8

Passo 3

Redesenhando o elemento no novo estado de tensões teremos que

Agora pelo desenho podemos ver que esforços na mesma direção possuem o mesmo valor, logo temos que

σ ' x ( - 15 ° ) = σ ' y ( 75 ° ) = 13 a 8 - a 3 2

σ ' y ( - 15 ° ) = σ ' x ( 75 ° ) = 19 a 8 + a 3 2

τ x ' y ' ( 75 ° ) = - τ x ' y ' ( - 1 5 ° ) = + a 2 - 3 a 3 8

Resposta

σ ' x ( - 15 ° ) = σ ' y ( 75 ° ) = 13 a 8 - a 3 2

σ ' y ( - 15 ° ) = σ ' x ( 75 ° ) = 19 a 8 + a 3 2

τ x ' y ' ( 75 ° ) = - τ x ' y ' ( - 15 ° ) = + a 2 - 3 a 3 8

Exercício Resolvido #8

O elemento infinitesimal abaixo está sujeito aos esforços mostrados. Determine quanto deve valer a tensão no eixo x para que a tensão em x e em y sejam iguais quando o elemento estiver rotacionado de 22,5° no sentido anti-hor��rio.

Passo 1

Aqui é importante entender o que está ocorrendo

Sabemos que devemos garantir que as tensões no estado transformado sejam iguais, como sabemos que as fórmulas são

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

Basta que igualemos essas tensões para sabermos o que deveremos fazer, fazendo isso teremos que

σ ' x = σ ' y

( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

Cortando a média das tensões teremos que

σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ = - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

Isolando teremos que

2 σ x - σ y 2 C o s 2 θ + 2 τ x y S e n 2 θ = 0

Como queremos isolar o valor de x teremos que

σ x - σ y C o s 2 θ + 2 τ x y S e n 2 θ = 0

σ x = - 2 τ x y   .     t g 2 θ + σ y  

Passo 2

Agora que já temos a nossa fórmula basta que substituamos os valores, com isso teremos que

σ x = - a

σ y = + 240

τ x y = + 90

θ a n t i - h o r a r i o = 22,5 °

Vamos substituir na equação que encontramos antes

σ x = - 2 τ x y   .     t g 2 θ + σ y  

- a = - 2   .   90 .     t g ( 2   .     22,5 ) + 240

a = - 60   M p a

Agora vamos testar para ver se de fato fizemos correto.

Passo 3

Usando a nossa fórmula teremos que

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

σ x = - a = - - 60 = + 60

σ y = + 240

τ x y = + 90

θ a n t i - h o r a r i o = 22,5 °

σ ' x = ( 60 + 240 ) 2 + 60 - 240 2 C o s 2 . 22,5 ° + 90 . S e n 2 . 22,5 ° = 150   M p a

σ ' y = ( 60 + 240 ) 2 - 60 - 240 2 C o s 2 . 22,5 ° - 90 . S e n 2 . 22,5 ° = 150   M p a

Logo de fato fizemos o cálculo correto e de fato na orientação 22,5° temos que a tensão no eixo x seria

σ x = 60   M p a

Que quando orientado terá

σ ' x = σ ' y = 150   M p a

Resposta

σ x = 60   M p a

Exercício Resolvido #9

O elemento infinitesimal abaixo está sujeito aos esforços mostrados. Determine quanto deve valer a tensão cisalhante para que a tensão em x seja o dobro da tensão em y quando o elemento estiver rotacionado de 45°no sentido anti-horário.

Passo 1

Aqui é importante entender o que está ocorrendo

Sabemos que devemos garantir que as tensões no estado transformado e no eixo x sejam iguais ao dobro das tensões no eixo y, como sabemos que as fórmulas são

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

Basta fazermos a igualdade que foi mencionada afim de que essas tensões sejam iguais, para isso faremos

σ ' x = 2 σ ' y

( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ = 2 σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ = σ x + σ y - σ x - σ y C o s 2 θ - 2 τ x y S e n 2 θ

Isolando tudo em um lado teremos que

- ( σ x + σ y ) 2 + 3 σ x - σ y 2 C o s 2 θ + 3 τ x y S e n 2 θ = 0

Isolando as tensões teremos que

- σ x 2 - σ y 2 + 3 2 σ x C o s 2 θ - 3 2 σ y C o s 2 θ + 3 τ x y S e n 2 θ = 0

σ x - 1 2 + 3 2 C o s 2 θ + σ y - 1 2 - 3 2 C o s 2 θ = - 3 τ x y S e n 2 θ

σ x = - 3 τ x y S e n 2 θ - σ y - 1 2 - 3 2 C o s 2 θ - 1 2 + 3 2 C o s 2 θ

Com isso teremos que a fórmula será

σ x = - 3 τ x y S e n 2 θ + σ y 1 2 + 3 2 C o s 2 θ - 1 2 + 3 2 C o s 2 θ

Passo 2

Agora que já temos a nossa fórmula basta que substituamos os valores, com isso teremos que

σ x = 5 a

σ y = 13 a

τ x y = b

θ a n t i - h o r a r i o = 45 °

Vamos substituir na equação que encontramos antes

σ x = - 3 τ x y S e n 2 θ + σ y 1 2 + 3 2 C o s 2 θ - 1 2 + 3 2 C o s 2 θ  

5 a = - 3 . b . S e n 2   .   45 ° + 13 . a . 1 2 + 3 2 C o s ( 2   .     45 ° ) - 1 2 + 3 2 C o s ( 2   .     45 ° )

5 a = - 3 . b . S e n 90 ° + 13 . a . 1 2 + 3 2 C o s ( 90 ° ) - 1 2 + 3 2 C o s ( 90 ° )

5 a = - 3 . b . 1 + 13 . a . 1 2 + 3 2 . 0 - 1 2 + 3 2 . 0

5 a = - 3 . b . 1 + 13 . a . 1 2 - 1 2

5 a = - 3 . b . 1 + 13 . a 2 - 1 2

- 5 a 2 = - 3 . b . 1 + 13 . a 2

- 5 a 2 - 13 . a 2 = - 3 . b

- 18 a 2 = - 3 . b

- 9 a = - 3 . b

b = 3 a

Logo teremos que

τ x y = 3 a

Agora vamos testar para ver se de fato fizemos correto.

Passo 3

Usando a nossa fórmula teremos que

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

σ x = 5 a

σ y = 13 a

τ x y = 3 a

θ a n t i - h o r a r i o = 45 °

σ ' x = ( 5 a + 13 a ) 2 + 5 a - 13 a 2 C o s 2 . 4 5 ° + 3 a . S e n 2 . 4 5 °

σ ' x = 9 a + 5 a - 13 a 2 C o s 90 ° + 3 a . S e n 90 °

σ ' x = 9 a + 5 a - 13 a 2 . 0 + 3 a . 1

σ ' x = 9 a + 3 a

σ ' x = 12 a

Se achamos que a tensão em x é de 12 a , sabemos que para estar correto a tensão em y deverá ser de 6 a , vamos testar então

σ ' y = ( 5 a + 13 a ) 2 - 5 a - 13 a 2 C o s 2 . 4 5 ° - 3 a . S e n 2 . 4 5 °

σ ' y = 9 a - 5 a - 13 a 2 C o s 90 ° - 3 a . S e n 90 °

σ ' y = 9 a - 5 a - 13 a 2 . 0 - 3 a . 1

σ ' y = 9 a - 3 a

σ ' y = 6 a

Logo de fato a conta que fizemos está correta, como o objetivo era determinar o valor do cisalhante, teremos que o nosso cisalhante deverá valer

τ x y = 3 a

Para que a nossa tensão no eixo x seja o dobro da tensão no eixo y quando girarmos o nosso elemento em 45° no sentido anti-horário.

Resposta

τ x y = 3 a

Exercício Resolvido #10

Dado o elemento infinitesimal abaixo, determine o ângulo em que a tensão no eixo x será o quíntuplo da tensão cisalhante somado a tensão no eixo y.

Passo 1

Aqui é importante entender o que está ocorrendo

Sabemos que devemos garantir que as tensões no estado transformado e no eixo x sejam iguais ao quíntuplo das tensões cisalhantes somado a tensão no eixo y, como sabemos que as fórmulas são

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ

Passo 2

Basta fazermos a igualdade que foi mencionada afim de que essas tensões sejam iguais, para isso faremos

σ ' x = 5 τ x ' y ' + σ ' y

σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

=

5 - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ + ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

=

- 5 σ x - σ y 2 S e n 2 θ + 5 . τ x y C o s 2 θ + ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

Cortando as médias de ambos os lados teremos que

σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

=

- 5 σ x - σ y 2 S e n 2 θ + 5 . τ x y C o s 2 θ - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

Isolando tudo de um lado teremos que

σ x - σ y C o s 2 θ + 2 τ x y S e n 2 θ + 5 σ x - σ y 2 S e n 2 θ - 5 . τ x y C o s 2 θ = 0

Além da fórmula sabemos que

σ x = 7 a

σ y = 3 a

τ x y = 4 a

Substituindo na nossa equação teremos que

7 a - 3 a C o s 2 θ + 2 . 4 a . S e n 2 θ + 5 7 a - 3 a 2 S e n 2 θ - 5.4 a . C o s 2 θ = 0

4 a . C o s 2 θ + 8 a . S e n 2 θ + 10 a . S e n 2 θ - 20 a . C o s 2 θ = 0

1 8 a . S e n 2 θ - 16 a . C o s 2 θ = 0

Isolando a tangente teremos que

18 a . S e n 2 θ = 16 a . C o s 2 θ

T g 2 θ = 16 a 18 a = 16 18 = 8 9

Isolando o valor dos ângulos teremos que

T g 2 θ = 8 9

2 θ = 41,63 °

θ = 20,82 °

Agora que já determinamos o nosso ângulo, vamos testar na nossa fórmula para vermos se fizemos os cálculos corretamente.

Passo 3

Usando a nossa fórmula teremos que

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ

σ x = 7 a

σ y = 3 a

τ x y = 4 a

θ a n t i - h o r a r i o = 20,82 °

σ ' x = ( 7 a + 3 a ) 2 + 7 a - 3 a 2 C o s 2 . 20,82 ° + 4 a . S e n 2 . 20,82 °

σ ' x = 5 a + 2 a . C o s 41,63 ° + 4 a . S e n 41,63 °

σ ' x = 5 a + 1,4949 a + 2,6573 a

σ ' x = 9,1522 a

σ ' y = ( 7 a + 3 a ) 2 - 7 a - 3 a 2 C o s 2 . 20,82 ° - 4 a . S e n 2 . 20,82 °

σ ' y = 5 a - 2 a . C o s 41,63 ° - 4 a . S e n 41,63 °

σ ' y = 5 a - 1,4949 a - 2,6573 a

σ ' y = 0,8478 a

τ x ' y ' = - 7 a - 3 a 2 S e n 2 . 20,82 ° + 4 a . C o s 2 . 20,82 °

τ x ' y ' = - 2 a . S e n 41,63 ° + 4 a . C o s 41,63 °

τ x ' y ' = 1,6612 a

Vamos testar os valores na nossa fórmula para sabermos se os cálculos estão ok

σ ' x = 5 τ x ' y ' + σ ' y

σ ' x = 5   .     ( 1,6612 a ) + 0,8478 a

σ ' x = 5   .     1,6612 a + 0,8478 a = 9,1538 a

Como o valor que calculamos foi

σ ' x = 9,1522 a

Vemos que a pequena diferença acontece pelas aproximações que fizemos, como conseguimos provar que de fato os nossos cálculos estão corretos, conseguimos determinar o ângulo que satisfaz a nossa equação que nesse caso é

θ = 20,82 °

Resposta

θ = 20,82 °

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