Transformações de Tensões
Teoria
Introdução
No final do tópico anterior, nós definimos para um certo ponto de uma peça, o seguinte estado plano de tensões:
Ainda vimos como, dessa imagem, podemos definir nesse ponto as tensões normais e e a tensão cisalhante .
Agora...
Vamos dizer que um exercício da nossa prova pede que a gente determine as tensões nesse ponto, mas em um plano que forma um ângulo de com a horizontal, como na imagem abaixo:
Como resolvemos esse exercício?
Transformação de Tensões
A solução para resolver esse exercício está em fazer uma transformação de tensões.
Essa transformação funciona assim:
1. Primeiro, precisamos ter eixos e definidos:
2. Depois, precisamos rotacionar esses eixos usando um ângulo (positivo no sentido anti-horário), obtendo assim novos eixos e :
Sendo que aqui, o objetivo é fazer com que uma das faces do nosso elemento fique paralela ao plano .
Nesse caso, podemos fazer isso usando um ângulo ou usando um ângulo :
3. Em seguida, devemos calcular as tensões , e para o nosso elemento rotacionado:
Aí, para calcular essas tensões, devemos usar as fórmulas:
Sendo que vale para essas fórmulas a dica:
E se alguma dessas fórmulas der um resultado negativo, isso significa que a tensão em questão tem um sentido contrário ao sentido convencional.
No nosso caso, por exemplo, substituindo , e , além de , vamos encontrar com essas fórmulas que:
E o desenho do nosso elemento rotacionado vai ficar assim:
4. Por fim, vamos obter as tensões no plano observando uma face do nosso elemento que ficou paralela a esse plano:
Nesse caso, vemos que as tensões no plano vão ser uma tensão normal de tração e uma tensão cisalhante !
Transformação de Tensões
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 333-9.10.
Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Use as equações de transformação de tensão.
Passo 1
O que está acontecendo?
A imagem apresenta um estado plano de tensões em que:
- , uma vez que não há nenhuma tensão normal na horizontal;
- , com valor negativo uma vez que a tensão normal na vertical é de compressão;
- , com valor positivo uma vez que as setas da tensão cisalhantes está apontando para o 1° e 3° quadrante:
E o que é que o exercício quer?
Ele quer que a gente determine o estado de tensão , e nesse elemento caso os seus eixos sejam rotacionados por um ângulo em sentido anti-horário ():
Para tanto, ele quer que a gente use as equações de transformação de tensões:
Então, para resolver esse exercício...
O primeiro passo é fazer o desenho que acabamos de fazer do elemento rotacionado.
O segundo é aplicar as equações de transformação de tensões.
E o terceiro é colocar os resultados encontrados no desenho do elemento rotacionado.
Com uma observação:
Caso o exercício pedisse somente as tensões , e , esse terceiro passo poderia ser pulado.
Mas como ele pediu que a gente determine o “estado de tensões equivalente”, imagina-se que ele quer que a gente faça um desenho desse estado de tensões.
Sendo que no geral, é sempre bom fazer esse desenho final mesmo. 😉
Passo 2
Então vamos lá!
Já fizemos no passo anterior um desenho do nosso elemento rotacionado, o que nos ajudou a identificar corretamente o ângulo .
Agora, é só uma questão de aplicar as fórmulas da transformação de tensões:
Substituindo nessas equações os valores:
- ;
- ;
- ;
- & ,
Elas vão ficar assim:
Aí, calculando essas expressões, vamos encontrar que:
Passo 3
No passo anterior, já encontramos as respostas do nosso exercício, mas para complementar a nossa solução, podemos desenhar essas tensões no nosso elemento rotacionado.
Para tanto, podemos perceber que:
- As tensões e , por serem positivas, vão ter seus sentidos convencionais no desenho.
- Já a tensão , negativa, vai ser representada no desenho somente com sua intensidade de , mas com um sentido oposto do convencional, ou seja, com o sentido de compressão.
Dessa forma, o estado plano de tensões para o nosso elemento rotacionado fica assim:
E pronto!
Está resolvido o exercício.
Resposta
Exercício Resolvido #2
Questão 1 da 2ª Prova Mecânica dos Materiais 1 - 2012.2 - Professores Alex e Éder - UnB. (Adaptado de Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 456-7.29.)
Para o estado de tensão mostrado, determine: o valor de para o qual a tensão de cisalhamento no plano da cola seja zero e a tensão normal correspondente.
Passo 1
O que está acontecendo?
O elemento da figura possui um estado plano de tensões com:
- ;
- ;
- & desconhecido.
E o que é que o exercício quer saber?
Na letra , ele quer saber qual deve ser o valor de para que a tensão de cisalhamento no plano da cola seja zero.
Então devemos tentar descrever a tensão de cisalhamento no plano da cola!
Fazendo isso, vamos poder igualar essa tensão a zero e descobrir qual é o valor de correspondente.
Já na letra , o exercício quer saber qual vai ser a tensão normal no plano da cola tendo em mente esse caso proposto no item .
Então, para resolver o exercício...
Temos que fazer uma transformação de tensões nesse elemento com o objetivo de descrever a tensão de cisalhamento no plano da cola.
Isso envolve:
1. Definir um ângulo (positivo se for sentido anti-horário) de rotação que faça com que uma face do nosso elemento fique paralela ao plano da cola.
2. Aplicar a fórmula da transformação de tensões para a tensão de cisalhamento, usando esse ângulo definido no passo anterior:
& 3. Igualar essa fórmula a zero, de tal forma que a gente possa isolar e descobrir qual deve ser seu valor.
Depois que isso tiver sido feito, vamos poder seguir para o item , em que devemos:
1. Identificar se a tensão normal no plano da cola vai corresponder à tensão ou do elemento rotacionado.
(Isso depende do ângulo que tivermos escolhido.)
& 2. Aplicar a fórmula correspondente de transformação de tensões para a tensão normal:
Passo 2
Então vamos começar definindo a rotação do nosso elemento.
Uma opção é rotacionar ele com um ângulo , fazendo com que sua face direita fique paralela ao plano da cola:
E assim está definida a nossa rotação!
Passo 3
Agora que já definimos a rotação , podemos aplicar a fórmula da transformação de tensões para a tensão de cisalhamento:
Aí, substituindo , & , essa fórmula fica assim:
Daí que, calculando tudo isso, encontramos que:
Passo 4
Descrita a tensão de cisalhamento no plano da cola, podemos agora igualá-la a zero para encontrar a tensão de cisalhamento original necessária para satisfazer essa condição.
Fazendo isso, vamos ter:
Isolando , encontramos que:
O que dá:
Que é a nossa resposta para a letra .
Passo 5
Agora, para a letra , podemos olhar de novo para a rotação que definimos:
Olhando para essa imagem, vemos que:
A tensão normal que vai atuar no plano da cola deve ser a mesma tensão normal que atua na face paralela ao plano da cola, que é a tensão na direção .
Dessa forma, temos que a tensão normal no plano da cola vai ser dada pela fórmula:
Daí que, substituindo nessa fórmula , , & , ela fica assim:
Calculando tudo isso, encontramos que:
Ou seja, a tensão normal no plano da cola é uma tensão de tração de .
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria
Determine o estado de tensões do elemento infinitesimal dado abaixo quando analisamos um plano orientado a 37° no sentido anti-horário.
Passo 1
Aqui é importante entender o que está ocorrendo, a figura abaixo demonstra o que o enunciado fala
Sabemos então que se trata de uma simples transformação de tensão, que sabemos que devemos usar as seguintes fórmulas para determinar o estado de tensões do elemento que está a 37°
Passo 2
Agora que já sabemos qual o problema e quais fórmulas devemos usar, vamos ir encontrando cada valor do nosso elemento quando orientado a 37°
Sabemos que
Substituindo os valores em cada uma das equações teremos que
Passo 3
Redesenhando o elemento no novo estado de tensões teremos que
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração própria
Determine o estado de tensões de um elemento infinitesimal orientado de 79° no sentido horário.
Passo 1
Aqui é importante entender o que está ocorrendo, a figura abaixo demonstra o que o enunciado fala
Sabemos então que se trata de uma simples transformação de tensão, que sabemos que devemos usar as seguintes fórmulas para determinar o estado de tensões do elemento que está a 79°. Aqui vale ressaltar um ponto muito importante, todos os ângulos em transformação de tensões que giram no sentido horário entram na fórmula com sinal negativo.
Passo 2
Agora que já sabemos qual o problema e quais fórmulas devemos usar, vamos ir encontrando cada valor do nosso elemento quando orientado a 79°
Sabemos que
Substituindo os valores em cada uma das equações teremos que
Passo 3
Redesenhando o elemento no novo estado de tensões teremos que
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração própria
Uma barra de ferro foi remendada segundo o ângulo mostrado na figura. Sabendo que ela será submetida aos esforços mostrados determine quais tensões apareceram no plano da emenda.
Passo 1
Vamos representar o nosso elemento infinitesimal de forma a trocar a nossa barra por um elemento que simbolize a ação do carregamento. Dessa forma teremos que o nosso elemento infinitesimal será
Também devemos rotacionar o nosso elemento de forma que a parede lateral do quadrado fique paralela a emenda da barra, que é exatamente o nosso plano orientado a 60°, logo as possíveis posições do nosso elemento serão
Passo 2
Sabemos também que as fórmulas que nos permitem calcular as tensões nesse plano são dadas por
Em que o nosso elemento apresenta apenas e .
Passo 3
Olhando novamente a nossa barra, teremos que
Sabemos que
Em que
Substituindo teremos que
Agora que temos todos os valores, vamos substituir na nossa fórmula.
Passo 4
E vamos testar para dois ângulos, primeiro com e depois com
Passo 5
Primeiro com