Transformações de Tensões

Teoria Completa

Introdução

No final do tópico anterior, nós definimos para um certo ponto de uma peça, o seguinte estado plano de tensões:

Ainda vimos como, dessa imagem, podemos definir nesse ponto as tensões normais σ x = - 10   M P a e σ y = 0 e a tensão cisalhante τ x y = 25   M P a .

Agora...

Vamos dizer que um exercício da nossa prova pede que a gente determine as tensões nesse ponto, mas em um plano A - A que forma um ângulo de 70 ° com a horizontal, como na imagem abaixo:

Como resolvemos esse exercício?

Transformação de Tensões

A solução para resolver esse exercício está em fazer uma transformação de tensões.

Essa transformação funciona assim:

1. Primeiro, precisamos ter eixos x e y definidos:

2. Depois, precisamos rotacionar esses eixos usando um ângulo θ (positivo no sentido anti-horário), obtendo assim novos eixos x ' e y ' :

Sendo que aqui, o objetivo é fazer com que uma das faces do nosso elemento fique paralela ao plano A - A .

Nesse caso, podemos fazer isso usando um ângulo θ = + 20 ° ou usando um ângulo θ = - 70 ° :

3. Em seguida, devemos calcular as tensões σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' para o nosso elemento rotacionado:

Aí, para calcular essas tensões, devemos usar as fórmulas:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ - τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Sendo que vale para essas fórmulas a dica:

E se alguma dessas fórmulas der um resultado negativo, isso significa que a tensão em questão tem um sentido contrário ao sentido convencional.

No nosso caso, por exemplo, substituindo σ x = - 10   M P a , σ y = 0 e τ x y = 25   M P a , além de θ = 20 ° , vamos encontrar com essas fórmulas que:

σ x ' ≅ 7,2   M P a

σ y ' ≅ - 17,2   M P a

&

τ x ' y ' ≅ 22,4   M P a

E o desenho do nosso elemento rotacionado vai ficar assim:

4. Por fim, vamos obter as tensões no plano A - A observando uma face do nosso elemento que ficou paralela a esse plano:

Nesse caso, vemos que as tensões no plano A - A vão ser uma tensão normal σ = 7,2   M P a de tração e uma tensão cisalhante τ = 22,4   M P a !

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 333-9.10.

Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 30 ° em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Use as equações de transformação de tensão.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

A imagem apresenta um estado plano de tensões em que:

  • σ x = 0 , uma vez que não há nenhuma tensão normal na horizontal;
  • σ y = - 300   k P a , com valor negativo uma vez que a tensão normal na vertical é de compressão;
  • τ x y = 950   k P a , com valor positivo uma vez que as setas da tensão cisalhantes está apontando para o 1° e 3° quadrante:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine o estado de tensão σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' nesse elemento caso os seus eixos sejam rotacionados por um ângulo θ = 30 ° em sentido anti-horário ( + ):

Para tanto, ele quer que a gente use as equações de transformação de tensões:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ - τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Então, para resolver esse exercício...

O primeiro passo é fazer o desenho que acabamos de fazer do elemento rotacionado.

O segundo é aplicar as equações de transformação de tensões.

E o terceiro é colocar os resultados encontrados no desenho do elemento rotacionado.

Com uma observação:

Caso o exercício pedisse somente as tensões σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' , esse terceiro passo poderia ser pulado.

Mas como ele pediu que a gente determine o “estado de tensões equivalente”, imagina-se que ele quer que a gente faça um desenho desse estado de tensões.

Sendo que no geral, é sempre bom fazer esse desenho final mesmo. 😉

Passo 2

Então vamos lá!

Já fizemos no passo anterior um desenho do nosso elemento rotacionado, o que nos ajudou a identificar corretamente o ângulo θ = + 30 ° .

Agora, é só uma questão de aplicar as fórmulas da transformação de tensões:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ - τ x y sen ⁡ 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ

Substituindo nessas equações os valores:

  • σ x = 0 ;
  • σ y = - 300   k P a ;
  • τ x y = 950   k P a ;
  • & θ = + 30 ° ,

Elas vão ficar assim:

σ x ' = - 300 2 + 300 2 cos ⁡ 60 ° + 950 sen ⁡ 60 °

σ y ' = - 300 2 - 300 2 cos ⁡ 60 ° - 950 sen ⁡ 60 °

τ x ' y ' = - 300 2 sen ⁡ 60 ° + τ x y cos ⁡ 60 °

Aí, calculando essas expressões, vamos encontrar que:

σ x ' = 748   k P a

σ y ' = - 1048