Círculo de Mohr

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Teoria

O Círculo de Mohr é uma método gráfico para a transformação de tensões e determinação das tensões principais. Ele é bastante cobrado em provas! Então bora aprender tudo sobre ele?! 😉

Como Desenhar o Círculo de Mohr: Passo a Passo

Então... Como é que a gente desenha o Círculo de Mohr!? A gente vai aprender na prática, fazendo um exemplo passo a passo!

Passo 1: Definir as Tensões e

Nesse passo a gente precisa de um quadrado de referência. Nele consideramos um ponto do material onde analisamos as tensões que ocorrem em todos os planos. Assim:

Estado de Tensões
Estado de Tensões

No tópico Esforços Combinados e o Estado Plano de Tensões a gente ensina como fazer isso passo a passo! Aqui eu vou falar mais rapidinho, mas qualquer coisa é só dar uma revisada no link acima! 😉

Passo 2: Definir os Eixos e no Eixo Cartesiano

Definido o seu estado de tensões, você pode agora desenhar dois eixos! Vamos colocar o eixo  na horizontal e um eixo  na vertical:

Eixos
Eixos

O representa as forças normais atuantes, enquanto o representa as tensões cisalhantes.

Passo 3: Definir os Pontos do Centro e das Tensões do Eixo x

O primeiro ponto vai ser o centro do seu círculo, definido como:

é

E o segundo ponto vai representar as tensões no eixo x do seu estado de tensões e é definido como:

õ

Agora a gente vai plotar esses pontos no gráfico e ligar eles, assim:

Centro e Tensões do Eixo x
Centro e Tensões do Eixo x

Passo 4: Desenhar o Gráfico

Essa é a parte mais simples! Você vai pegar o seu compasso, colocar a agulha no centro do círculo e o grafite no ponto de tensões do eixo x. Depois é só girar o compasso formando uma circunferência!

Vai ficar assim:

Círculo de Mohr
Círculo de Mohr

Como Usar o Círculo de Mohr

Agora que sabemos como desenhar o círculo de Mohr temos um mundo de possibilidades! Bora aprender que informações iradosas a gente pode tirar dele?!

Se liga nesse vídeo então! 👇

Tensão Normal no Eixo y

Vimos lá em cima, que a reta que desenhamos indica a tensão normal no eixo e a tensão de cisalhamento no elemento. Mas além disso, sempre que esticarmos essa reta, vamos encontrar também a tensão normal no eixo :

Tensão normal no eixo y
Tensão normal no eixo y

Rotação do Elemento

Caso a gente queria utilizar o Círculo de Mohr para realizar uma transformação de tensões, nós podemos rotacionar o elemento. Digamos que precisamos descobrir as tensões no nosso elemento quando inclinado por um ângulo :

Rotação do elemento
Rotação do elemento

Nesse caso, o que precisamos fazer é rotacionar a nossa reta do círculo por um ângulo :

Círculo de Mohr para o elemento rotacionado
Círculo de Mohr para o elemento rotacionado

Cálculo das Tensões no Elemento Rotacionado

Feita a rotação no Círculo de Mohr, temos duas formas de encontrar os valores das tensões , e no elemento rotacionado:

  • A primeira, caso estejamos utilizando um papel quadriculado, é utilizar o quadriculado para medir essas tensões;
  • A segunda é utilizar trigonometria (seno, cosseno, tangente e até um pouco de pitágoras) para calcular essas tensões.

Tensões Principais

O Círculo de Mohr também pode ser utilizado para encontrar as tensões principais em um elemento.

As tensões principais não são aquelas que acontecem quando a tensão cisalhante é nula. Olhando pro círculo, vemos que dá para rotacionar a reta que desenhamos até que ela fique na horizontal, fazendo com que a tensão cisalhante seja nula:

Círculo de Mohr: Tensão Cisalhante Nula
Círculo de Mohr: Tensão Cisalhante Nula

Então, as tensões que aparecem nesse momento vão ser as nossas tensões principais e :

Tensões Principais
Tensões Principais

Para calcular as tensões principais usando o Círculo de Mohr, podemos calcular o raio R do círculo usando Pitágoras:

Como mostra a imagem abaixo:

Tensões principais: Raio
Tensões principais: Raio

Sendo que esse raio R é o mesmo “R” que calculávamos quando estudamos as tensões principais.
Assim, podemos calcular as tensões principais fazendo:

é

Orientação das Tensões Principais

E se quisermos encontrar as orientações e responsáveis por fazerem as tensões principais aparecerem no nosso elemento?


Aí, podemos nos lembrar:

  • Que uma rotação no elemento corresponde a uma rotação no Círculo de Mohr;
  • E que enquanto que é positivo no sentido anti-horário no elemento, no Círculo de Mohr os ângulos são positivos no sentido horário.

Lembrando disso e usando um transferidor, conseguimos medir os ângulos e a partir deles encontrar e :

⁍

Tensão de Cisalhamento Máxima

Se quisermos saber a tensão de cisalhamento máxima  no nosso elemento, só precisamos rotacionar ele até fazer essas tensões aparecerem:

Como achar a tensão de cisalhamento máxima
Como achar a tensão de cisalhamento máxima

Fazendo isso, percebemos:

  • Como á é igual ao raio do nosso círculo e pode ser calculado assim:
    á

  • Como as tensões normais e  assumem o valor  quando a tensão de cisalhamento é máxima.

Para encontrarmos o valor desses ângulos á no nosso Círculo de Mohr, podemos:

  • Usar um transferidor;
  • Usar seno/cosseno/tangente e as funções arcsen, arccos ou arctg da nossa calculadora para calcular algum ângulo que nos auxilie a encontrar esses ângulos.

Agora vamos praticar com exercícios?!

Tensão de Cisalhamento Máxima

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Obtenha o círculo de Mohr que descreve cada um dos seguintes estados de tensão:

Passo 1

O exercício quer que a gente desenhe o Círculo de Mohr para cada um dos estados de tensão mostrados.

Então lembra aí!

Para desenhar um Círculo de Mohr, devemos começar definindo as tensões σ x , σ y e τ x y do estado de tensões.

Feito isso, vamos poder calcular a tensão normal média:

σ m é d = σ x + σ y 2

...para, em seguida, marcarmos os pontos ( σ m é d , 0 ) e ( σ x , τ x y ) em um gráfico τ   ×   σ .

Aí, usando o primeiro ponto como o centro do círculo, podemos abrir um compasso até o segundo ponto e desenha o Círculo de Mohr!

Passo 2

Então vamos lá!

Começando pelo item ( a ) :

Nele, temos uma tração na horizontal de 800   k P a , uma compressão na vertical de 600   k P a , e nenhuma tensão de cisalhamento τ x y

Dessa forma, vamos ter que:

σ x = 800   k P a

σ y = - 600   k P a

&

τ x y = 0

Agora, podemos calcular σ m é d :

σ m é d = σ x + σ y 2 = 800 + ( - 600 ) 2 = 200 2 = 1 00   k P a

Desenhar os eixos τ e σ :

E em seguida marcar entre esses eixos os pontos ( σ m é d , 0 ) e ( σ x , τ x y ) , ligar esses pontos e usá-los para desenhar nosso círculo:

E pronto!

Item ( a ) resolvido.

Passo 3

Agora, para o item ( b ) :

Nós vamos ter:

σ x = 0

σ y = - 2   M P a

&

τ x y = 0

Dessa forma, σ m é d vai ser:

σ m é d = σ x + σ y 2 = 0 + ( - 2 ) 2 = - 2 2 = - 1   M P a

Aí, marcando esse ponto e o ponto σ x , τ x y = ( 0,0 ) em um gráfico τ   ×   σ , ligando esses pontos e usando eles para desenhar um círculo, vamos ter o desenho:

Que é a resposta do item ( b ) .

Passo 4

E para o item ( c ) :

Temos:

σ x = 0

σ y = 0

&

τ x y = 20   M P a

De tal forma que:

σ m é d = σ x + σ y 2 = 0 + 0 ) 2 = 0   M P a

Aí, marcando esse ponto e o ponto σ x , τ x y = ( 0,0 ) em um gráfico τ   ×   σ , ligando esses pontos e usando eles para desenhar um círculo, vamos ter:

Que é a resposta do item ( c ) .

E assim finalizamos o exercício!

Resposta

Ver desenhos dos círculos no final dos passos 2, 3 e 4.

Exercício Resolvido #2

Utilizando o círculo de Mohr, determine ( a ) as tensões principais e ( b ) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Passo 1

O que está acontecendo?

O exercício nos forneceu pela imagem um estado plano de tensões onde:

  • Não existe tensão normal na horizontal, de tal forma que:

σ x = 0

  • Existe na vertical uma tração de 50   M P a , de tal forma que:

σ y = 50   M P a

  • E existe uma tensão de cisalhamento de 30   M P a , mas que está no sentido oposto de sua convenção usual, de tal forma que:

τ x y = - 30   M P a

E o que é que ele quer?

Ele quer que a gente use o círculo de Mohr para determinar:

( a ) as tensões principais σ 1 e σ 2 e suas orientações θ p 1 e θ p 2 ;

& ( b ) a tensão de cisalhamento máxima no plano τ m á x , a tensão normal média σ m é d que acompanha essa tensão de cisalhamento máxima e as orientações θ τ m á x que causam essas tensões.

Então, para resolver esse exercício, vamos:

1. Calcular σ m é d = ( σ x + σ y ) / 2 e utilizar esse ponto e o ponto ( σ x , τ x y ) para desenhar o Círculo de Mohr para esse estado de tensões.

2. Usar o teorema de Pitágoras para encontrar o raio R do círculo de Mohr e, em seguida, calcular as tensões principais σ 1,2 = σ m é d ± R nele.

3. Usar seno, cosseno ou tangente no círculo de Mohr e a função a r c s e n , a r c c o s ou a r c t g na calculadora para descobrir o valor dos ângulos θ p 1 e θ p 2 .

4. Aplicar τ m á x = R e aproveitar o valor já calculado de σ m é d para definir as tensões pedidas pelo item ( b ) .

& 5. Aproveitar o ângulo encontrado no terceiro passo para estudar os ângulos no círculo de Mohr e reconhecer os ângulos θ τ m á x que levam o elemento à orientação em que a tensão de cisalhamento é máxima.

Passo 2

Então vamos lá!

Como já definimos no passo anterior as tensões σ x , σ y e τ x y no nosso estado plano de tensões, já podemos agora calcular σ m é d :

σ m é d = σ x + σ y 2 = 0 + 50 2 = 25   M P a

Desenhar os eixos τ e σ :

E em seguida marcar entre esses eixos os pontos:

  • σ m é d , 0 = ( 25 ,   0 ) ;
  • & σ x , τ x y = ( 0 , - 30 ) ,

...para depois ligar esses pontos e usá-los para desenhar nosso círculo:

E pronto!

Nosso círculo de Mohr está desenhado.

Agora, devemos usar ele para determinar o que foi pedido pelo exercício.

Passo 3

Primeiro, para descobrirmos as tensões principais usando o círculo de Mohr, precisamos calcular o raio do círculo.

Para tanto, podemos olhar para o desenho do círculo um pouco acima e utilizar o teorema de Pitágoras:

R 2 = 30 2 + 25 2

Calculando R , encontramos que:

R = 30 2 + 25 2 = 39,1   M P a

Com isso, podemos calcular as nossas tensões principais σ 1 e σ 2 :

σ 1 = σ m é d + R

&

σ 2 = σ m é d - R

Substituindo σ m é d = 25   M P a e R = 39,1   M P a , encontramos que:

σ 1 = 64,1   M P a

&

σ 2 = - 14,1   M P a

Passo 4

Agora, vamos observar no nosso círculo de Mohr os ângulos 2 θ p que fazem essas tensões principais aparecerem:

Sendo que aqui, precisamos nos lembrar que:

  • Lá no estado de tensões, um ângulo θ é positivo no sentido anti-horário;
  • Então, como desenhamos no nosso círculo de Mohr o eixo τ apontando para cima, os ângulos 2 θ no círculo vão ser positivos no sentido horário.

Assim, concluímos que 2 θ p 21 é um ângulo negativo, por estar no sentido anti-horário no círculo de Mohr, enquanto que 2 θ p 2 é um ângulo positivo.

Tendo isso em mente, podemos calcular o valor desses ângulos.

Uma forma de fazer isso é vendo que:

tg ⁡ 2 θ p 2 = 30 25 = 1,2

Aí, usando a função a r c t g da nossa calculadora, e se lembrando de verificar se a calculadora está fornecendo resultados em graus, encontramos que:

2 θ p 2 = 50,2 °

O que significa que:

θ p 2 = 25,1 °

E aí agora, nós sabemos que quando conhecemos um ângulo θ p (nesse caso θ p 2 = 25,1 ° ), o outro (nesse caso θ p 1 ) pode ser encontrado adicionando ou subtraindo 90 ° do primeiro.

Dessa forma, temos que:

θ p 1 = 25,1 ° - 90 °

O que dá:

θ p 1 = - 64,9 °

E assim terminamos o item a !

Passo 5

Agora, para resolver o item ( b ) , nós podemos aproveitar o que calculamos para o item ( a ) .

Sabemos que a tensão de cisalhamento máxima τ m á x no plano é sempre igual ao raio R do círculo de Mohr, então temos que:

τ m á x = R

E lá no passo 3, calculamos que R = 39,1   M P a , então:

τ m á x = 39,1   M P a

Além disso, sabemos que quando a tensão de cisalhamento no plano é máxima, as tensões normais assumem o valor médio σ m é d , que já calculamos no passo 2 como:

σ m é d = 25   M P a

E assim, em alguns segundos, encontramos as tensões pedidas pelo item ( b ) .

Passo 6

Mas ainda precisamos encontrar as orientações θ τ m á x do elemento que fazem aparecer essas tensões de cisalhamento máximas e normais médias do item ( b ) .

Para tanto, vamos olhar para os possíveis ângulos 2 θ τ m á x no círculo de Mohr que causam essas tensões:

A primeira opção, 2 θ τ m á x , está no sentido horário no círculo de Mohr e é portanto positiva (seria negativa caso tivéssemos usado desde o começo um eixo τ apontando para baixo).

Olhando para o círculo, ainda vemos que ela é 90 ° maior que o ângulo 2 θ p 2 = 50,2 ° .

Então, temos que:

2 θ τ m á x = 50,2 ° + 90 °

Realizando essa soma e dividindo por 2, encontramos que:

θ τ m á x = 70,1 °

Já a segunda opção, 2 θ τ m á x ' :

  • é negativa;
  • & é 90 ° “maior” que o ângulo 2 θ p 1

E no passo passo 4, encontramos que θ p 1 = - 64,9 ° , o que significa que 2 θ p 1 = 2 - 64,9 ° = - 129,8 ° .

Ou seja:

2 θ τ m á x ' = - 129,8 ° + 90 ° = - 39,8 °

Finalmente, dividindo isso por 2, temos:

θ τ m á x ' = - 19,9 °

Ou seja, o ângulo θ τ m á x que podemos usar para rotacionar o nosso elemento e fazer aparecer a tensão de cisalhamento τ m á x pode ser um ângulo de 70,1 ° ou um ângulo de - 19,9 ° .

E assim finalizamos o nosso exercício!

Resposta

a     σ 1 = 64,1   M P a ;     σ 2 = - 14,1   M P a ;     θ p 1 = - 64,9 ° ;     θ p 2 = 25,1 ° .

b     τ m á x = 39,1   M P a ;     σ m é d = 25   M P a ;     θ τ m á x = 70,1 °   ou - 19,9 ° .

Exercício Resolvido #3

Para o estado de tensão mostrado na figura, determine, usando Círculo de Mohr, a tensão normal e a tensão de cisalhamento atuantes no plano A B .

Passo 1

O que está acontendo?

O exercício nos forneceu um estado plano de tensões, para o qual podemos definir eixos x e y :

Fazendo isso, conseguimos definir as tensões:

σ x = - 100   M P a

σ y = - 50   M P a

&

τ x y = 28   M P a

E o que é que o exercício quer?

Basicamente, ele quer que a gente faça uma transformação de tensões.

Ele quer que a gente rotacione o elemento por um ângulo θ = + 30 ° :

Ao fazemos isso, as novas tensões σ x ' e τ x ' y ' que vão surgir vão corresponder (ser iguais) às tensões normal σ e cisalhante τ no plano A B , que é o que o exercício quer saber.

O exercício ainda quer que a gente resolve ele usando o Círculo de Mohr.

Então para resolver o exercício...

Devemos usar as tensões σ x = - 100   M P a , σ y = - 50   M P a & τ x y = 28   M P a para desenhar um círculo de Mohr para esse elemento.

Feito isso, vamos rotacionar a reta do círculo de Mohr que diz as tensões no nosso eixo x ( σ x e τ x y ) por um ângulo 2 θ , definindo assim as tensões num eixo x ' ( σ x ' e τ x ' y ' ).

Em seguida, vamos usar trigonometria (seno, cosseno, etc.) para decifrar os valores de σ x ' e τ x ' y ' .

Por fim, esses valores vão corresponder às tensões σ e τ no plano A B pedidas pelo exercício, sendo assim as nossas respostas para o exercício.

Passo 2

Então vamos começar desenhando o nosso círculo de Mohr!

Lembra aí!

Já definimos as σ x = - 100   M P a , σ y = - 50   M P a & τ x y = 28   M P a , então o próximo passo para desenhar o círculo de Mohr é calcular o valor de σ m é d :

σ m é d = σ x + σ y 2 = - 100 + ( - 50 ) 2 = - 150 2 = - 75   M P a

Agora, podemos desenhar os eixos τ e σ :

E marcar nele os pontos:

  • σ m é d , 0 = ( - 75,0 ) ;
  • & σ x , τ x y = ( - 100,28 ) .

Marcados esses pontos, ligamos ele com uma reta e desenhamos o nosso círculo:

Passo 3

Agora, vamos rotacionar a reta do nosso círculo de Mohr usando um ângulo 2 θ = + 60 ° .

Aqui, devemos nos lembrar que:

  • Enquanto que o ângulo θ no estado de tensões é positivo no sentido anti-horário;
  • O ângulo 2 θ no círculo de Mohr é positivo no sentido horário.

(Isso só não ocorre caso a gente opte por desenhar desde o começo o gráfico do Círculo de Mohr com o eixo τ apontando para baixo.)

Se lembrando disso, percebemos que essa rotação 2 θ = + 60 ° vai ser então uma rotação de 60 ° no sentido horário:

Aí, enquanto que a reta antiga definia as tensões antigas ( σ x e τ x y ) no eixo x , a reta nova vai definir as tensões novas ( σ x ' e τ x ' y ' ) no eixo rotacionado x ' :

Passo 4

Definidas as tensões σ x ' e τ x ' y ' no gráfico, precisamos agora usar trigonometria para encontra-las.

Para tanto, vamos focar no desenho abaixo, montado a partir dos dados do círculo de Mohr acima:

Primeiro, fazendo Pitágoras no triângulo esquerdo, temos:

R 2 = 28 2 + 25 2

O que significa que:

R = 28 2 + 25 2 = 37,54   M P a

Além disso, podemos ver que a tangente do ângulo α é:

tg ⁡ α = 28 25 = 1,12

Aí, colocando esse valor na função a r c t g da nossa calculadora, encontramos que:

α = 48,24 °

Em seguida, podemos perceber que:

α + β + 60 ° = 180 °

Aí, isolando β e substituindo α = 48,24 ° , encontramos que:

β = 180 ° - 60 ° - α = 120 ° - ( 48,24 ° ) = 71 , 76 °

Agora, podemos usar seno de β para encontrarmos o valor de τ x ' y ' :

sen ⁡ β = τ x ' y ' R

Isolando τ x ' y ' e substituindo β = 71 , 76 ° e R = 37,54   M P a , encontramos que:

τ x ' y ' = R sen ⁡ β = 37,54 sen ⁡ 71 , 76 °

Calculando, isso dá:

τ x ' y ' ≅ 35,7   M P a

Além disso, ainda podemos usar o cosseno de β para encontrarmos o valor de ( 75 - σ x ' ) :

cos ⁡ β = ( 75 - σ x ' ) R

Aí, isolando ( 75 - σ x ' ) e substituindo β = 71 , 76 ° e R = 37,54   M P a , encontramos:

( 75 - σ x ' ) = R cos ⁡ β = 37,54 cos ⁡ 71 , 76 °

O que dá:

( 75 - σ x ' ) ≅ 11,7   M P a

Em seguida, isolando σ x ' , encontramos que:

σ x ' = 75   M P a - 11,7   M P a ≅ 63,3   M P a

E por fim, como no gráfico σ x ' é negativo, isso significa que:

σ x ' ≅ - 63,3   M P a