Teoria Completa
Introdução
Hoje em dia, conseguimos calcular fórmulas complicadas como, por exemplo, as equações de transformação de tensões:
...com uma certa facilidade graças à existência das calculadoras.
Mas quando as calculadoras ainda não existiam, os engenheiros e as engenheiras do mundo já conseguiam fazer tudo que fazemos hoje em dia.
Para tanto, eles usavam:
...e uma ferramenta mágica chamada de Círculo de Mohr.
O Círculo de Mohr é uma método gráfico para a transformação de tensões & determinação das tensões principais e é comumente cobrado em provas.
Então...
Como é que a gente desenha e usa ele?
Desenhando o Círculo de Mohr
A primeira coisa que você precisa ter para desenhar um círculo de mohr é um estado de tensões bem definido:
Definido o seu estado de tensões, você pode agora desenhar dois eixos: um eixo na horizontal e um eixo na vertical:
Agora, entre esses eixos, você vai marcar e ligar dois pontos:
- O primeiro ponto vai ser o centro do seu círculo, definido como:
- E o segundo ponto vai representar as tensões no eixo do seu estado de tensões e é definido como:
Fazendo isso para o nosso estado de tensões definido um pouco acima, nosso gráfico fica assim:
Agora, com um compasso, você vai usar esses pontos para desenhar o seu círculo:
Usando o Círculo de Mohr
Beleza!
Desenhamos o círculo.
Mas pra que ele serve?
Tá na hora de decifrar as características de interesse do Círculo de Mohr!
Tensão normal no eixo y
Já vimos que a reta que desenhamos indica a tensão normal no eixo e a tensão de cisalhamento no elemento.
Mas além disso, sempre que esticarmos uma reta dessas, vamos encontrar também a tensão normal no eixo :
Rotação do Elemento
Caso a gente queria utilizar o Círculo de Mohr para realizar uma transformação de tensões, nós podemos fazer isso.
Vamos dizer que precisamos descobrir as tensões no nosso elemento quando inclinado por um ângulo :
Nesse caso, o que precisamos fazer é rotacionar a nossa reta do círculo por um ângulo :
Sendo que, como você pode ver nas imagens acima, devemos prestar atenção em uma coisa:
Um ângulo que gera uma rotação no sentido horário no estado de tensões gera no Círculo de Mohr uma rotação no sentido anti-horário. (E vice-versa!)
Isso só não ocorre caso você desenhe no Círculo de Mohr o eixo como positivo para baixo. (Nesse caso, o sentido dos ângulos concordam!)
Cálculo das Tensões no Elemento Rotacionado
Aí...
Feita essa rotação no Círculo de Mohr, temos duas formas de encontrar os valores das tensões , e no elemento rotacionado:
- A primeira, caso estejamos utilizando um papel quadriculado, é utilizar o quadriculado para medir essas tensões;
- A segunda é utilizar trigonometria (seno, cosseno, tangente e até um pouco de pitágoras) para calcular essas tensões.
Tensões Principais
O Círculo de Mohr também pode ser utilizado para encontrar as tensões principais em um elemento.
Mas como?
Pensa aí!
As tensões principais não são aquelas que acontecem quando a tensão cisalhante é nula?
E olhando pro círculo, vemos que dá para rotacionar a reta que desenhamos até que ela fique na horizontal, fazendo com que a tensão cisalhante seja nula:
Então, as tensões que aparecem nesse momento vão ser as nossas tensões principais e :
Cálculo das Tensões Principais
Para calcular as tensões principais usando o Círculo de Mohr, podemos calcular o raio do círculo usando Pitágoras:
Como mostra a imagem abaixo:
Sendo que esse raio é o mesmo “” que calculávamos quando estudamos as tensões principais.
Assim, podemos calcular as tensões principais fazendo:
Como mostra a imagem abaixo:
Orientação das Tensões Principais
E se quiseremos encontrar as orientações e responsáveis por fazerem as tensões principais aparecerem no nosso elemento?
Aí, podemos nos lembrar:
- Que uma rotação no elemento corresponde a uma rotação no Círculo de Mohr;
- E que enquanto que é positivo no sentido anti-horário no elemento, no Círculo de Mohr os ângulos são positivos no sentido horário.
Lembrando disso e usando um transferidor, conseguimos medir os ângulos :
...e a partir deles encontrar e .
Agora, nas provas, os professores normalmente querem que você calcule esses ângulos, e não que você use um transferidor.
Mas não tem problema!
Para calcular os ângulos sem transferidor, é só:
- Calcular o seno, o cosseno ou a tangente de um desse ângulos no Círculo de Mohr;
- E depois usar as funções , ou da sua calculadora.
Tensão de Cisalhamento Máxima
E se quisermos saber a tensão de cisalhamento máxima no nosso elemento?
É só rotacionar ele até fazer essas tensões aparecerem:
Fazendo isso, percebemos:
- Como é igual ao raio do nosso círculo e pode ser calculado assim:
- E como as tensões normais e assumem o valor quando a tensão de cisalhamento é máxima.
E aqui, para encontrarmos o valor desses ângulos no nosso Círculo de Mohr, podemos:
- Ou usar um transferidor;
- Ou usar seno/cosseno/tangente e as funções , ou da nossa calculadora para calcular algum ângulo que nos auxilie a encontrar esses ângulos.
Uma Dica Final
Desenhar o círculo bonito da primeira vez é muito difícil.
Então uma dica é desenhar tudo no Círculo de Mohr (os eixos, o círculo, os ângulos) primeiro de lápis.
Aí, quando você tiver terminado de calcular tudo que precisa com o círculo, você pode passar a caneta por cima dele.
Exercício Resolvido #1
Obtenha o círculo de Mohr que descreve cada um dos seguintes estados de tensão:
Passo 1
O exercício quer que a gente desenhe o Círculo de Mohr para cada um dos estados de tensão mostrados.
Então lembra aí!
Para desenhar um Círculo de Mohr, devemos começar definindo as tensões , e do estado de tensões.
Feito isso, vamos poder calcular a tensão normal média:
...para, em seguida, marcarmos os pontos e em um gráfico .
Aí, usando o primeiro ponto como o centro do círculo, podemos abrir um compasso até o segundo ponto e desenha o Círculo de Mohr!
Passo 2
Então vamos lá!
Começando pelo item :
Nele, temos uma tração na horizontal de , uma compressão na vertical de , e nenhuma tensão de cisalhamento
Dessa forma, vamos ter que:
Agora, podemos calcular :
Desenhar os eixos e :
E em seguida marcar entre esses eixos os pontos e , ligar esses pontos e usá-los para desenhar nosso círculo:
E pronto!
Item resolvido.
Passo 3
Agora, para o item :
Nós vamos ter:
Dessa forma, vai ser:
Aí, marcando esse ponto e o ponto em um gráfico , ligando esses pontos e usando eles para desenhar um círculo, vamos ter o desenho:
Que é a resposta do item .
Passo 4
E para o item :
Temos:
De tal forma que:
Aí, marcando esse ponto e o ponto em um gráfico , ligando esses pontos e usando eles para desenhar um círculo, vamos ter:
Que é a resposta do item .
E assim finalizamos o exercício!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Utilizando o círculo de Mohr, determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.
Passo 1
O que está acontecendo?
O exercício nos forneceu pela imagem um estado plano de tensões onde:
- Não existe tensão normal na horizontal, de tal forma que:
- Existe na vertical uma tração de , de tal forma que:
- E existe uma tensão de cisalhamento de , mas que está no sentido oposto de sua convenção usual, de tal forma que:
E o que é que ele quer?
Ele quer que a gente use o círculo de Mohr para determinar:
as tensões principais e e suas orientações e ;
& a tensão de cisalhamento máxima no plano , a tensão normal média que acompanha essa tensão de cisalhamento máxima e as orientações que causam essas tensões.
Então, para resolver esse exercício, vamos:
1. Calcular e utilizar esse ponto e o ponto para desenhar o Círculo de Mohr para esse estado de tensões.
2. Usar o teorema de Pitágoras para encontrar o raio do círculo de Mohr e, em seguida, calcular as tensões principais nele.
3. Usar seno, cosseno ou tangente no círculo de Mohr e a função , ou na calculadora para descobrir o valor dos ângulos e .
4. Aplicar e aproveitar o valor já calculado de para definir as tensões pedidas pelo item .
& 5. Aproveitar o ângulo encontrado no terceiro passo para estudar os ângulos no círculo de Mohr e reconhecer os ângulos que levam o elemento à orientação em que a tensão de cisalhamento é máxima.
Passo 2
Então vamos lá!
Como já definimos no passo anterior as tensões , e no nosso estado plano de tensões, já podemos agora calcular :
Desenhar os eixos e :
E em seguida marcar entre esses eixos os pontos:
- ;
- & ,
...para depois ligar esses pontos e usá-los para desenhar nosso círculo:
E pronto!
Nosso círculo de Mohr está desenhado.
Agora, devemos usar ele para determinar o que foi pedido pelo exercício.
Passo 3
Primeiro, para descobrirmos as tensões principais usando o círculo de Mohr, precisamos calcular o raio do círculo.
Para tanto, podemos olhar para o desenho do círculo um pouco acima e utilizar o teorema de Pitágoras:
Calculando , encontramos que:
Com isso, podemos calcular as nossas tensões principais e :
Substituindo e , encontramos que:
Passo 4
Agora, vamos observar no nosso círculo de Mohr os ângulos que fazem essas tensões principais aparecerem:
Sendo que aqui, precisamos nos lembrar que:
- Lá no estado de tensões, um ângulo é positivo no sentido anti-horário;
- Então, como desenhamos no nosso círculo de Mohr o eixo apontando para cima, os ângulos no círculo vão ser positivos no sentido horário.
Assim, concluímos que é um ângulo negativo, por estar no sentido anti-horário no círculo de Mohr, enquanto que é um ângulo positivo.
Tendo isso em mente, podemos calcular o valor desses ângulos.
Uma forma de fazer isso é vendo que:
Aí, usando a função da nossa calculadora, e se lembrando de verificar se a calculadora está fornecendo resultados em graus, encontramos que:
O que significa que:
E aí agora, nós sabemos que quando conhecemos um ângulo (nesse caso ), o outro (nesse caso ) pode ser encontrado adicionando ou subtraindo do primeiro.
Dessa forma, temos que:
O que dá:
E assim terminamos o item !
Passo 5
Agora, para resolver o item , nós podemos aproveitar o que calculamos para o item .
Sabemos que a tensão de cisalhamento máxima no plano é sempre igual ao raio do círculo de Mohr, então temos que:
E lá no passo 3, calculamos que , então:
Além disso, sabemos que quando a tensão de cisalhamento no plano é máxima, as tensões normais assumem o valor médio , que já calculamos no passo 2 como:
E assim, em alguns segundos, encontramos as tensões pedidas pelo item .
Passo 6
Mas ainda precisamos encontrar as orientações do elemento que fazem aparecer essas tensões de cisalhamento máximas e normais médias do item .
Para tanto, vamos olhar para os possíveis ângulos no círculo de Mohr que causam essas tensões:
A primeira opção, , está no sentido horário no círculo de Mohr e é portanto positiva (seria negativa caso tivéssemos usado desde o começo um eixo apontando para baixo).
Olhando para o círculo, ainda vemos que ela é maior que o ângulo .
Então, temos que:
Realizando essa soma e dividindo por 2, encontramos que:
Já a segunda opção, :
- é negativa;
- & é “maior” que o ângulo
E no passo passo 4, encontramos que , o que significa que .
Ou seja:
Finalmente, dividindo isso por 2, temos:
Ou seja, o ângulo que podemos usar para rotacionar o nosso elemento e fazer aparecer a tensão de cisalhamento pode ser um ângulo de ou um ângulo de .
E assim finalizamos o nosso exercício!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Para o estado de tensão mostrado na figura, determine, usando Círculo de Mohr, a tensão normal e a tensão de cisalhamento atuantes no plano