Círculo de Mohr

Teoria Completa

Introdução

Hoje em dia, conseguimos calcular fórmulas complicadas como, por exemplo, as equações de transformação de tensões:

...com uma certa facilidade graças à existência das calculadoras.

Mas quando as calculadoras ainda não existiam, os engenheiros e as engenheiras do mundo já conseguiam fazer tudo que fazemos hoje em dia.

Para tanto, eles usavam:

...e uma ferramenta mágica chamada de Círculo de Mohr.

O Círculo de Mohr é uma método gráfico para a transformação de tensões & determinação das tensões principais e é comumente cobrado em provas.

Então...

Como é que a gente desenha e usa ele?

Desenhando o Círculo de Mohr

A primeira coisa que você precisa ter para desenhar um círculo de mohr é um estado de tensões bem definido:

Definido o seu estado de tensões, você pode agora desenhar dois eixos: um eixo σ na horizontal e um eixo τ na vertical:

Agora, entre esses eixos, você vai marcar e ligar dois pontos:

  • O primeiro ponto vai ser o centro do seu círculo, definido como:

CENTRO:     σ m é d , 0 = σ x + σ y 2 , 0

  • E o segundo ponto vai representar as tensões no eixo x do seu estado de tensões e é definido como:

TENSÕES NO EIXO  x :     σ x , τ x y

Fazendo isso para o nosso estado de tensões definido um pouco acima, nosso gráfico fica assim:

Agora, com um compasso, você vai usar esses pontos para desenhar o seu círculo:

Usando o Círculo de Mohr

Beleza!

Desenhamos o círculo.

Mas pra que ele serve?

Tá na hora de decifrar as características de interesse do Círculo de Mohr!

Tensão normal no eixo y

Já vimos que a reta que desenhamos indica a tensão normal σ x no eixo x e a tensão de cisalhamento τ x y no elemento.

Mas além disso, sempre que esticarmos uma reta dessas, vamos encontrar também a tensão normal no eixo y :

Rotação do Elemento

Caso a gente queria utilizar o Círculo de Mohr para realizar uma transformação de tensões, nós podemos fazer isso.

Vamos dizer que precisamos descobrir as tensões no nosso elemento quando inclinado por um ângulo θ = - 15 ° :

Nesse caso, o que precisamos fazer é rotacionar a nossa reta do círculo por um ângulo 2 θ = - 30 ° :

Sendo que, como você pode ver nas imagens acima, devemos prestar atenção em uma coisa:

Um ângulo que gera uma rotação no sentido horário no estado de tensões gera no Círculo de Mohr uma rotação no sentido anti-horário. (E vice-versa!)

Isso só não ocorre caso você desenhe no Círculo de Mohr o eixo τ como positivo para baixo. (Nesse caso, o sentido dos ângulos concordam!)

Cálculo das Tensões no Elemento Rotacionado

Aí...

Feita essa rotação no Círculo de Mohr, temos duas formas de encontrar os valores das tensões σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' no elemento rotacionado:

  • A primeira, caso estejamos utilizando um papel quadriculado, é utilizar o quadriculado para medir essas tensões;
  • A segunda é utilizar trigonometria (seno, cosseno, tangente e até um pouco de pitágoras) para calcular essas tensões.

Tensões Principais

O Círculo de Mohr também pode ser utilizado para encontrar as tensões principais em um elemento.

Mas como?

Pensa aí!

As tensões principais não são aquelas que acontecem quando a tensão cisalhante é nula?

E olhando pro círculo, vemos que dá para rotacionar a reta que desenhamos até que ela fique na horizontal, fazendo com que a tensão cisalhante τ x y seja nula:

Então, as tensões que aparecem nesse momento vão ser as nossas tensões principais σ 1 e σ 2 :

Cálculo das Tensões Principais

Para calcular as tensões principais usando o Círculo de Mohr, podemos calcular o raio R do círculo usando Pitágoras:

R 2 = 20 2 + 5 2

Como mostra a imagem abaixo:

Sendo que esse raio R é o mesmo “ R ” que calculávamos quando estudamos as tensões principais.

Assim, podemos calcular as tensões principais fazendo:

Como mostra a imagem abaixo:

Orientação das Tensões Principais

E se quiseremos encontrar as orientações θ p 1 e θ p 2 responsáveis por fazerem as tensões principais aparecerem no nosso elemento?

Aí, podemos nos lembrar:

  • Que uma rotação θ no elemento corresponde a uma rotação 2 θ no Círculo de Mohr;
  • E que enquanto que θ é positivo no sentido anti-horário no elemento, no Círculo de Mohr os ângulos são positivos no sentido horário.

Lembrando disso e usando um transferidor, conseguimos medir os ângulos 2 θ p :

...e a partir deles encontrar θ p 1 e θ p 2 .

Agora, nas provas, os professores normalmente querem que você calcule esses ângulos, e não que você use um transferidor.

Mas não tem problema!

Para calcular os ângulos 2 θ p sem transferidor, é só:

  • Calcular o seno, o cosseno ou a tangente de um desse ângulos 2 θ p no Círculo de Mohr;
  • E depois usar as funções a r c s e n , a r c c o s ou a r c t g da sua calculadora.

Tensão de Cisalhamento Máxima

E se quisermos saber a tensão de cisalhamento máxima τ m á x no nosso elemento?

É só rotacionar ele até fazer essas tensões aparecerem:

Fazendo isso, percebemos:

  • Como τ m á x é igual ao raio R do nosso círculo e pode ser calculado assim:

  • E como as tensões normais σ x ' e σ y ' assumem o valor σ m é d quando a tensão de cisalhamento é máxima.

E aqui, para encontrarmos o valor desses ângulos 2 θ τ m á x no nosso Círculo de Mohr, podemos:

  • Ou usar um transferidor;
  • Ou usar seno/cosseno/tangente e as funções a r c s e n , a r c c o s ou a r c t g da nossa calculadora para calcular algum ângulo que nos auxilie a encontrar esses ângulos.

Uma Dica Final

Desenhar o círculo bonito da primeira vez é muito difícil.

Então uma dica é desenhar tudo no Círculo de Mohr (os eixos, o círculo, os ângulos) primeiro de lápis.

Aí, quando você tiver terminado de calcular tudo que precisa com o círculo, você pode passar a caneta por cima dele.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 349-9.78.

Obtenha o círculo de Mohr que descreve cada um dos seguintes estados de tensão:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O exercício quer que a gente desenhe o Círculo de Mohr para cada um dos estados de tensão mostrados.

Então lembra aí!

Para desenhar um Círculo de Mohr, devemos começar definindo as tensões σ x , σ y e τ x y do estado de tensões.

Feito isso, vamos poder calcular a tensão normal média:

σ m é d = σ x + σ y 2

...para, em seguida, marcarmos os pontos ( σ m é d , 0 ) e ( σ x , τ x y ) em um gráfico τ   ×   σ .

Aí, usando o primeiro ponto como o centro do círculo, podemos abrir um compasso até o segundo ponto e desenha o Círculo de Mohr!

Passo 2

Então vamos lá!

Começando pelo item ( a ) :

Nele, temos uma tração na horizontal de 800   k P a , uma compressão na vertical de 600   k P a , e nenhuma tensão de cisalhamento τ x y

Dessa forma, vamos ter que:

σ x = 800   k P a

σ y = - 600   k P a

&

τ x y = 0

Agora, podemos calcular σ m é d :

σ m é d = σ x + σ y 2 = 800 + ( - 600 ) 2 = 200 2 = 1 00   k P a

Desenhar os eixos τ e σ :

E em seguida marcar entre esses eixos os pontos ( σ m é d , 0 ) e ( σ x , τ x y ) , ligar esses pontos e usá-los para desenhar nosso círculo:

E pronto!

Item ( a ) resolvido.

Passo 3

Agora, para o item ( b ) :

Nós vamos ter:

σ x = 0

σ y = - 2   M P a