Círculo de Mohr

Teoria Completa

Introdução

Hoje em dia, conseguimos calcular fórmulas complicadas como, por exemplo, as equações de transformação de tensões:

...com uma certa facilidade graças à existência das calculadoras.

Mas quando as calculadoras ainda não existiam, os engenheiros e as engenheiras do mundo já conseguiam fazer tudo que fazemos hoje em dia.

Para tanto, eles usavam:

...e uma ferramenta mágica chamada de Círculo de Mohr.

O Círculo de Mohr é uma método gráfico para a transformação de tensões & determinação das tensões principais e é comumente cobrado em provas.

Então...

Como é que a gente desenha e usa ele?

Desenhando o Círculo de Mohr

A primeira coisa que você precisa ter para desenhar um círculo de mohr é um estado de tensões bem definido:

Definido o seu estado de tensões, você pode agora desenhar dois eixos: um eixo σ na horizontal e um eixo τ na vertical:

Agora, entre esses eixos, você vai marcar e ligar dois pontos:

  • O primeiro ponto vai ser o centro do seu círculo, definido como:

CENTRO:     σ m é d , 0 = σ x + σ y 2 , 0

  • E o segundo ponto vai representar as tensões no eixo x do seu estado de tensões e é definido como:

TENSÕES NO EIXO  x :     σ x , τ x y

Fazendo isso para o nosso estado de tensões definido um pouco acima, nosso gráfico fica assim:

Agora, com um compasso, você vai usar esses pontos para desenhar o seu círculo:

Usando o Círculo de Mohr

Beleza!

Desenhamos o círculo.

Mas pra que ele serve?

Tá na hora de decifrar as características de interesse do Círculo de Mohr!

Tensão normal no eixo y

Já vimos que a reta que desenhamos indica a tensão normal σ x no eixo x e a tensão de cisalhamento τ x y no elemento.

Mas além disso, sempre que esticarmos uma reta dessas, vamos encontrar também a tensão normal no eixo y :

Rotação do Elemento

Caso a gente queria utilizar o Círculo de Mohr para realizar uma transformação de tensões, nós podemos fazer isso.

Vamos dizer que precisamos descobrir as tensões no nosso elemento quando inclinado por um ângulo θ = - 15 ° :

Nesse caso, o que precisamos fazer é rotacionar a nossa reta do círculo por um ângulo 2 θ = - 30 ° :

Sendo que, como você pode ver nas imagens acima, devemos prestar atenção em uma coisa:

Um ângulo que gera uma rotação no sentido horário no estado de tensões gera no Círculo de Mohr uma rotação no sentido anti-horário. (E vice-versa!)

Isso só não ocorre caso você desenhe no Círculo de Mohr o eixo τ como positivo para baixo. (Nesse caso, o sentido dos ângulos concordam!)

Cálculo das Tensões no Elemento Rotacionado

Aí...

Feita essa rotação no Círculo de Mohr, temos duas formas de encontrar os valores das tensões σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' no elemento rotacionado:

  • A primeira, caso estejamos utilizando um papel quadriculado, é utilizar o quadriculado para medir essas tensões;
  • A segunda é utilizar trigonometria (seno, cosseno, tangente e até um pouco de pitágoras) para calcular essas tensões.

Tensões Principais

O Círculo de Mohr também pode ser utilizado para encontrar as tensões principais em um elemento.

Mas como?

Pensa aí!

As tensões principais não são aquelas que acontecem quando a tensão cisalhante é nula?

E olhando pro círculo, vemos que dá para rotacionar a reta que desenhamos até que ela fique na horizontal, fazendo com que a tensão cisalhante τ x y seja nula:

Então, as tensões que aparecem nesse momento vão ser as nossas tensões principais σ 1 e σ 2 :

Cálculo das Tensões Principais

Para calcular as tensões principais usando o Círculo de Mohr, podemos calcular o raio R do círculo usando Pitágoras:

R 2 = 20 2 + 5 2

Como mostra a imagem abaixo:

Sendo que esse raio R é o mesmo “ R ” que calculávamos quando estudamos as tensões principais.

Assim, podemos calcular as tensões principais fazendo:

Como mostra a imagem abaixo:

Orientação das Tensões Principais

E se quiseremos encontrar as orientações θ p 1 e θ p 2 responsáveis por fazerem as tensões principais aparecerem no nosso elemento?

Aí, podemos nos lembrar:

  • Que uma rotação θ no elemento corresponde a uma rotação 2 θ no Círculo de Mohr;
  • E que enquanto que θ é positivo no sentido anti-horário no elemento, no Círculo de Mohr os ângulos são positivos no sentido horário.

Lembrando disso e usando um transferidor, conseguimos medir os ângulos 2 θ p :

...e a partir deles encontrar θ p 1 e θ p 2 .

Agora, nas provas, os professores normalmente querem que você calcule esses ângulos, e não que você use um transferidor.

Mas não tem problema!

Para calcular os ângulos 2 θ p sem transferidor, é só:

  • Calcular o seno, o cosseno ou a tangente de um desse ângulos 2 θ p no Círculo de Mohr;
  • E depois usar as funções a r c s e n , a r c c o s ou a r c t g da sua calculadora.

Tensão de Cisalhamento Máxima

E se quisermos saber a tensão de cisalhamento máxima τ m á x no nosso elemento?

É só rotacionar ele até fazer essas tensões aparecerem:

Fazendo isso, percebemos:

  • Como τ m á x é igual ao raio R do nosso círculo e pode ser calculado assim:

  • E como as tensões normais σ x ' e σ y ' assumem o valor σ m é d quando a tensão de cisalhamento é máxima.

E aqui, para encontrarmos o valor desses ângulos 2 θ τ m á x no nosso Círculo de Mohr, podemos:

  • Ou usar um transferidor;
  • Ou usar seno/cosseno/tangente e as funções a r c s e n , a r c c o s ou a r c t g da nossa calculadora para calcular algum ângulo que nos auxilie a encontrar esses ângulos.

Uma Dica Final

Desenhar o círculo bonito da primeira vez é muito difícil.

Então uma dica é desenhar tudo no Círculo de Mohr (os eixos, o círculo, os ângulos) primeiro de lápis.

Aí, quando você tiver terminado de calcular tudo que precisa com o círculo, você pode passar a caneta por cima dele.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 349-9.78.

Obtenha o círculo de Mohr que descreve cada um dos seguintes estados de tensão:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O exercício quer que a gente desenhe o Círculo de Mohr para cada um dos estados de tensão mostrados.

Então lembra aí!

Para desenhar um Círculo de Mohr, devemos começar definindo as tensões σ x , σ y e τ x y do estado de tensões.

Feito isso, vamos poder calcular a tensão normal média:

σ m é d = σ x + σ y 2

...para, em seguida, marcarmos os pontos ( σ m é d , 0 ) e ( σ x , τ x y ) em um gráfico τ   ×   σ .

Aí, usando o primeiro ponto como o centro do círculo, podemos abrir um compasso até o segundo ponto e desenha o Círculo de Mohr!

Passo 2

Então vamos lá!

Começando pelo item ( a ) :

Nele, temos uma tração na horizontal de 800   k P a , uma compressão na vertical de 600   k P a , e nenhuma tensão de cisalhamento τ x y

Dessa forma, vamos ter que:

σ x = 800   k P a

σ y = - 600   k P a

&

τ x y = 0

Agora, podemos calcular σ m é d :

σ m é d = σ x + σ y 2 = 800 + ( - 600 ) 2 = 200 2 = 1 00   k P a

Desenhar os eixos τ e σ :

E em seguida marcar entre esses eixos os pontos ( σ m é d , 0 ) e ( σ x , τ x y ) , ligar esses pontos e usá-los para desenhar nosso círculo:

E pronto!

Item ( a ) resolvido.

Passo 3

Agora, para o item ( b ) :

Nós vamos ter:

σ x = 0

σ y = - 2   M P a

&

τ x y = 0

Dessa forma, σ m é d vai ser:

σ m é d = σ x + σ y 2 = 0 + ( - 2 ) 2 = - 2 2 = - 1   M P a

Aí, marcando esse ponto e o ponto σ x , τ x y = ( 0,0 ) em um gráfico τ   ×   σ , ligando esses pontos e usando eles para desenhar um círculo, vamos ter o desenho:

Que é a resposta do item ( b ) .

Passo 4

E para o item ( c ) :

Temos:

σ x = 0

σ y = 0

&

τ x y = 20   M P a

De tal forma que:

σ m é d = σ x + σ y 2 = 0 + 0 ) 2 = 0   M P a

Aí, marcando esse ponto e o ponto σ x , τ x y = ( 0,0 ) em um gráfico τ   ×   σ , ligando esses pontos e usando eles para desenhar um círculo, vamos ter:

Que é a resposta do item ( c ) .

E assim finalizamos o exercício!

Resposta

Ver desenhos dos círculos no final dos passos 2, 3 e 4.

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 349-9.72. (Adaptado)

Utilizando o círculo de Mohr, determine ( a ) as tensões principais e ( b ) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

O exercício nos forneceu pela imagem um estado plano de tensões onde:

  • Não existe tensão normal na horizontal, de tal forma que:

σ x = 0

  • Existe na vertical uma tração de 50   M P a , de tal forma que:

σ y = 50   M P a

  • E existe uma tensão de cisalhamento de 30   M P a , mas que está no sentido oposto de sua convenção usual, de tal forma que:

τ x y = - 30   M P a

E o que é que ele quer?

Ele quer que a gente use o círculo de Mohr para determinar:

( a ) as tensões principais σ 1 e σ 2 e suas orientações θ p 1 e θ p 2 ;

& ( b ) a tensão de cisalhamento máxima no plano τ m á x , a tensão normal média σ m é d que acompanha essa tensão de cisalhamento máxima e as orientações θ τ m á x que causam essas tensões.

Então, para resolver esse exercício, vamos:

1. Calcular σ m é d = ( σ x + σ y ) / 2 e utilizar esse ponto e o ponto ( σ x , τ x y ) para desenhar o Círculo de Mohr para esse estado de tensões.

2. Usar o teorema de Pitágoras para encontrar o raio R do círculo de Mohr e, em seguida, calcular as tensões principais σ 1,2 = σ m é d ± R nele.

3. Usar seno, cosseno ou tangente no círculo de Mohr e a função a r c s e n , a r c c o s ou a r c t g na calculadora para descobrir o valor dos ângulos θ p 1 e θ p 2 .

4. Aplicar τ m á x = R e aproveitar o valor já calculado de σ m é d para definir as tensões pedidas pelo item ( b ) .

& 5. Aproveitar o ângulo encontrado no terceiro passo para estudar os ângulos no círculo de Mohr e reconhecer os ângulos θ τ m á x que levam o elemento à orientação em que a tensão de cisalhamento é máxima.

Passo 2

Então vamos lá!

Como já definimos no passo anterior as tensões σ x , σ y e τ x y no nosso estado plano de tensões, já podemos agora calcular σ m é d :

σ m é d = σ x + σ y 2 = 0 + 50 2 = 25   M P a

Desenhar os eixos τ e σ :

E em seguida marcar entre esses eixos os pontos:

  • σ m é d , 0 = ( 25 ,   0 ) ;
  • & σ x , τ x y = ( 0 , - 30 ) ,

...para depois ligar esses pontos e usá-los para desenhar nosso círculo:

E pronto!

Nosso círculo de Mohr está desenhado.

Agora, devemos usar ele para determinar o que foi pedido pelo exercício.

Passo 3

Primeiro, para descobrirmos as tensões principais usando o círculo de Mohr, precisamos calcular o raio do círculo.

Para tanto, podemos olhar para o desenho do círculo um pouco acima e utilizar o teorema de Pitágoras:

R 2 = 30 2 + 25 2

Calculando R , encontramos que:

R = 30 2 + 25 2 = 39,1   M P a

Com isso, podemos calcular as nossas tensões principais σ 1 e σ 2 :

σ 1 = σ m é d + R

&

σ 2 = σ m é d - R

Substituindo σ m é d = 25   M P a e R = 39,1   M P a , encontramos que:

σ 1 = 64,1   M P a

&

σ 2 = - 14,1   M P a

Passo 4

Agora, vamos observar no nosso círculo de Mohr os ângulos 2 θ p que fazem essas tensões principais aparecerem:

Sendo que aqui, precisamos nos lembrar que:

  • Lá no estado de tensões, um ângulo θ é positivo no sentido anti-horário;
  • Então, como desenhamos no nosso círculo de Mohr o eixo τ apontando para cima, os ângulos 2 θ no círculo vão ser positivos no sentido horário.

Assim, concluímos que 2 θ p 21 é um ângulo negativo, por estar no sentido anti-horário no círculo de Mohr, enquanto que 2 θ p 2 é um ângulo positivo.

Tendo isso em mente, podemos calcular o valor desses ângulos.

Uma forma de fazer isso é vendo que:

tg ⁡ 2 θ p 2 = 30 25 = 1,2

Aí, usando a função a r c t g da nossa calculadora, e se lembrando de verificar se a calculadora está fornecendo resultados em graus, encontramos que:

2 θ p 2 = 50,2 °

O que significa que:

θ p 2 = 25,1 °

E aí agora, nós sabemos que quando conhecemos um ângulo θ p (nesse caso θ p 2 = 25,1 ° ), o outro (nesse caso θ p 1 ) pode ser encontrado adicionando ou subtraindo 90 ° do primeiro.

Dessa forma, temos que:

θ p 1 = 25,1 ° - 90 °

O que dá:

θ p 1 = - 64,9 °

E assim terminamos o item a !

Passo 5

Agora, para resolver o item ( b ) , nós podemos aproveitar o que calculamos para o item ( a ) .

Sabemos que a tensão de cisalhamento máxima τ m á x no plano é sempre igual ao raio R do círculo de Mohr, então temos que:

τ m á x = R

E lá no passo 3, calculamos que R = 39,1   M P a , então:

τ m á x = 39,1   M P a

Além disso, sabemos que quando a tensão de cisalhamento no plano é máxima, as tensões normais assumem o valor médio σ m é d , que já calculamos no passo 2 como:

σ m é d = 25   M P a

E assim, em alguns segundos, encontramos as tensões pedidas pelo item ( b ) .

Passo 6

Mas ainda precisamos encontrar as orientações θ τ m á x do elemento que fazem aparecer essas tensões de cisalhamento máximas e normais médias do item ( b ) .

Para tanto, vamos olhar para os possíveis ângulos 2 θ τ m á x no círculo de Mohr que causam essas tensões:

A primeira opção, 2 θ τ m á x , está no sentido horário no círculo de Mohr e é portanto positiva (seria negativa caso tivéssemos usado desde o começo um eixo τ apontando para baixo).

Olhando para o círculo, ainda vemos que ela é 90 ° maior que o ângulo 2 θ p 2 = 50,2 ° .

Então, temos que:

2 θ τ m á x = 50,2 ° + 90 °

Realizando essa soma e dividindo por 2, encontramos que:

θ τ m á x = 70,1 °

Já a segunda opção, 2 θ τ m á x ' :

  • é negativa;
  • & é 90 ° “maior” que o ângulo 2 θ p 1

E no passo passo 4, encontramos que θ p 1 = - 64,9 ° , o que significa que 2 θ p 1 = 2 - 64,9 ° = - 129,8 ° .

Ou seja:

2 θ τ m á x ' = - 129,8 ° + 90 ° = - 39,8 °

Finalmente, dividindo isso por 2, temos:

θ τ m á x ' = - 19,9 °

Ou seja, o ângulo θ τ m á x que podemos usar para rotacionar o nosso elemento e fazer aparecer a tensão de cisalhamento τ m á x pode ser um ângulo de 70,1 ° ou um ângulo de - 19,9 ° .

E assim finalizamos o nosso exercício!

Resposta

a     σ 1 = 64,1   M P a ;     σ 2 = - 14,1   M P a ;     θ p 1 = - 64,9 ° ;     θ p 2 = 25,1 ° .

b     τ m á x = 39,1   M P a ;     σ m é d = 25   M P a ;     θ τ m á x = 70,1 °   ou - 19,9 ° .

Exercício Resolvido #3

Questão 2 da 2ª Prova Mecânica dos Materiais 1 - 2015.1 - Professores Alex e Éder - UnB.

Para o estado de tensão mostrado na figura, determine, usando Círculo de Mohr, a tensão normal e a tensão de cisalhamento atuantes no plano A B