Conceito

Teoria Completa

Introdução

Até agora vimos que podemos encontrar os momentos fletores, cortantes e normais das nossas estruturas, mas, em alguns casos, desejamos descobrir qual a pior situação de momento fletor que podemos submeter a nossa estrutura no ponto A, por exemplo, imagine que temos a seguinte viga, e o seguinte carregamento

Em que ponto da barra teremos que aplicar a carga de 20KN para termos o pior momento fletor na seção A?

Ai que entra o nosso conceito de linha de influência.

Linha de influência

O conceito de influência é o seguinte:

“Devemos passar por toda a nossa viga uma carga unitária, e anotar todos os valores de momentos que teremos na nossa seção A para cada posição que colocarmos a carga unitária.”

Pode parecer meio complexo, mas é bem simples, vamos ver um passo a passo para o nosso exemplo e a partir dele vamos ver que é bem simples calcular a linha de influência.

Passo 1: Determinar pontos para colocarmos a Carga unitária

O primeiro passo é bem simples, vamos pegar ponto chaves da nossa viga, que geralmente são

  • Apoios
  • Extremidades de balanços
  • Seção analisada
  • Meios do vão
  • Rótulas

No nosso caso teremos os seguintes pontos chaves

Ou seja, em todos os pontos marcados deveremos por uma carga unitária e definir o valor no Momento fletor na seção A, que é exatamente o nosso objetivo.

Passo 2: Desenhar para cada posição o diagrama de momentos fletores relacionados a carga unitária.

Agora vem a parte mais chata. Para cada carga unitária iremos desenhar um diagrama e anotaremos o valor do momento fletor em A. Vale lembrar que nas aulas de vigas simples e esforços internos em vigas, dos assuntos vigas e momento fletor, ensinamos todo o passo a passo para determinarmos os diagramas da nossa viga, por isso, aqui apresentaremos direto os diagramas e seus valores

  • Primeiro apoio
  • Quando aplicamos a carga unitária no primeiro apoio temos que

    Logo, podemos anotar que para x = 0 temos M f l   A = 0 . Vale ressaltar aqui que pela simetria, quando aplicarmos a Carga unitária no último apoio, também teremos o diagrama igual a zero, e dessa forma poderemos dizer que x = 3,5 temos M f l   A = 0 .

  • Seção
  • Aplicando agora a carga unitária na nossa seção teremos que

    Ou seja, nesse caso podemos dizer que x = 1,5 temos M f l   A = 0,855

  • Centro
  • Aplicando agora a carga unitária no centro da viga teremos que

    Ou seja, nesse caso podemos dizer que x = 1,75 temos M f l   A = 0,75

    Passo 3: Juntar os valores em um único desenho e fazer a Linha de Influência.

    Agora entra o pulo do gato. Veja que pra cada posição temos um valor de momento para a nossa seção A, quando andamos coma carga unitária por toda a viga. Se fizermos o desenho dos pontos, juntamente com as suas coordenas teremos

    OBS:. O Sinal é arbitrado por cada professor, alguns professores utilizam valores positivos para cima e outros utilizam positivo para baixo, no nosso exemplo arbitramos o positivo para cima, mas em outros caso irei arbitrar o positivo pra baixo apenas pra mostrar que independente do sentido escolhido a resposta sempre deve ser a mesma, mas pode ficar tranquilo que sempre vou estar lembrando você disso.

    Mas voltando, temos pontos pois fizemos a nossa linha a partir de pontos chaves, mas lembre-se que fizemos a nossa carga unitária passar em cada milimetro da barra, ou seja, a nossa linha de influencia será apenas ligar os pontos, passando a ter então

    E ai é que entra uma conceito de suma importância.

    A LINHA DE INFLUÊNCIA NÃO É UM DIAGRAMA DE ESFORÇOS”

    Sério, toma muito cuidado com isso, esse diagrama que desenhamos significa o seguinte:

  • Se aplicarmos uma carga unitária no ponto x = 1,75 teremos um momento fletor na posição da seção A igual a M f l   A = 0,75 , ou seja, na posição 1,5 que é onde a seção A está.
  • Ou seja, cada ordenada da nossa linha de influencia representa o momento fletor na nossa seção A quando aplicamos uma carga unitária naquela posição em que está a ordenada.

Mas beleza, porque fizemos isso? Pois tínhamos um carregamento de 20KN para aplicar na nossa barra e assim ter o pior momento na seção A com aquele carregamento, vamos fazer isso então.

Passo 4: Aplicar o carregamento no maior valor de ordenada da linha de influência.

Aplicamos no maior valor para podermos ter o pior momento fletor da nossa seção com aquele carregamento, e para descobrirmos o pior momento basta multiplicar o nosso carregamento pela ordenada daquela posição, no nosso exemplo teríamos

Assim sendo, o nosso pior momento na seção A será

M f l   M A X = 20   .   0,855 = 17,1   K N . m

No caso de cargas distribuídas temos que fazer a área da linha de influência abaixo do carregamento, multiplicado pelo próprio carregamento, por exemplo

Veja que abaixo do carregamento temos um trapézio, basta calcular a área do trapézio e multiplicar pela carga distribuída que temos, e assim teremos que

A t r a p e z i o = B + b H 2 = 0,855 + 0,75 . ( 1,75 - 1,5 ) 2 = 0,200

M F L   A = A t r a p e z i o   .   c a r r e g a m e n t o = 0,200   .   10 = 2   K N . m

Se por acaso ele pedisse para posicionar tanto a carga distribuída quanto a concentrada, bastaria apenas calcular cada uma separadamente e somar os seus valores, ou seja, a nossa situação seria

Logo o nosso pior momento a seção A, nesse caso seria

M f l   d i s t r i b u i d o +   M f l   c o n c e n t r a d o   = 17,1 + 2 = 19,1   K N . m  

Onde mais podem me pedir linha de influência?

No nosso exemplo, apenas entendemos o conceito de linha de influência, que se resume em, passar uma carga unitária por toda a viga, e pegar os valores de cada esforço na nossa seção, para cada posição da carga unitária, mas além do momento fletor, que vimos no nosso exemplo, nos temos

  • Linha de influência do cortante
  • Linha de influência do cortante a esquerda e direita do apoio
  • Linha de influência de apoio
  • Linha de Influência de balanço
  • Linha de influência de viga Gerber

Dentre muitos outros exemplos, porém, vale deixar claro o seguinte:

Independente da linha de influencia que seja pedida, o passo a passo é o mesmo, ou seja, o conceito é o mesmo, que em resumo é o seguinte

  • Passo 1: definir os pontos chaves
  • Passo 2: calcular o esforço pedido em uma determinada seção, usando uma carga unitária em cada ponto chave. (o esforço pode ser Normal, Cortante, Fletor, Reação de apoio...)
  • Passo 3: desenhar a linha de influência com os valores do passo 2
  • Passo 4: colocar o carregamento na situação que dê o maior esforço na seção calculada
  • Obs:. Como as nossas estruturas sempre serão isostáticas, a nossa linha de influência sempre será composta por retas, então nunca use curvas na linha de influência.

Entendido o conceito e onde ele pode cair, vamos partir para os exercícios, para não termos mais problema com esse tipo de questão.

Bora gabaritar a prova? Bora fazer exercício então!!!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine a linha de influência de cortantes da seção A abaixo pelo método da carga unitária.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que temos sempre que seguir um passo a passo para solucionar o nosso problema, e nesse caso o nosso passo a passo será:

  • Primeiro devemos separar pontos chaves para calcularmos o valor do nosso cortante na seção A. Devemos lembrar que pontos chaves são extremidades, apoios, meios de vão, e outros pontos que devemos considerar de suma importância.
  • Em seguida, em cada ponto chave colocamos a carga unitária, claro, lembrando de fazer uma de cada vez, e com a carga unitária posicionada calculamos as reações de apoio e cortantes na seção A.
  • Por fim, teremos uma sequência de valores de cortante para nossa seção A, marcamos esses pontos na nossa viga e ligamos eles através de retas. Feito isso teremos exatamente a nossa linha de influência.

Entendido o processo de construção, vamos colocá-lo em pratica.

Passo 2

Como vimos, a primeira coisa que devemos fazer é marcar os pontos chaves de cálculo da nossa viga. Sabemos que devemos marcar esses pontos chaves da seguinte maneira

  • Extremidades
  • Apoios
  • Seção Calculada (Direita/ Esquerda)
  • feito isso vamos ao próximo passo.

    Passo 3

    Esse passo se refere ao cálculo do cortante na seção A. Sabemos que em cada ponto chave do passo anterior devemos colocar uma carga unitária. Dessa forma teremos os seguintes valores de cortantes na nossa seção A da viga.

  • Cortante na seção A devido a carga unitária na extremidade mais a esquerda
  • Primeiro colocamos a nossa carga unitária posicionada

    Depois calculamos as reações de apoio da nossa viga

    Usando as fórmulas de equilíbrio teremos que

    ∑ M a = 0

    1   .   3 + 5   .   V b = 0

    V b = - 3 5 = - 0,6

    Como deu negativo basta invertermos o nosso vetor

    Calculando V a teremos que

    ∑ F v = 0

    V a - V b - 1 = 0

    V a - 0,6 - 1 = 0

    V a = 1,6

    Cortando a parte esquerda da nossa viga na seção A teremos que

    Logo o cortante que equilibra a viga será

    V 1 = + 0,6

    Positivo pois sabemos que quando estamos vindo pela esquerda com vetor cortante pra cima o sinal no nosso cortante é positivo. Com isso calculamos o valor do nosso cortante na seção A quando temos uma carga unitária na extremidade. Vamos ao próximo ponto chave.

    Passo 4

  • Cortante na seção A devido a carga unitária no apoio mais á esquerda
  • Primeiro colocamos a nossa carga unitária posicionada

    Depois calculamos as reações de apoio da nossa viga

    Usando as fórmulas de equilíbrio teremos que

    ∑ M a = 0

    1   .   0 + 5   .   V b = 0

    V b = 0

    Logo para V a teremos que

    ∑ F v = 0

    V a + V b - 1 = 0

    V a - 0 - 1 = 0

    V a = 1

    Cortando a parte esquerda da nossa viga na seção A teremos que

    Logo o cortante que equilibra a viga será

    V 2 = 0

    Com isso calculamos o valor do nosso cortante na seção A quando temos uma carga unitária no apoio mais à esquerda. Vamos ao próximo ponto chave.

    Passo 5

  • Cortante na seção A devido a carga unitária à esquerda da seção A
  • Primeiro colocamos a nossa carga unitária posicionada

    Depois calculamos as reações de apoio da nossa viga

    Usando as fórmulas de equilíbrio teremos que

    ∑ M a = 0

    - 1   .   1 + 5   .   V b = 0

    V b = 1 5 = 0,2

    Logo para V a teremos que

    ∑ F v = 0

    V a + V b - 1 = 0

    V a + 0,2 - 1 = 0

    V a = 0,8

    Cortando a parte esquerda da nossa viga na seção A, e lembrando que nesse caso a nossa carga esta um pouquinho para esquerda, o que fará ela sumir, teremos que