Solução de Grelhas Compostas

Teoria Completa

Introdução

O objetivo dessa aula é entendermos como sairemos de uma grelha composta, para diversas grelhas simples. É importante que não nós concentraremos em resolver as grelhas simples já que já aprendemos a fazer isso na aula de solução de grelhas simples. O objetivo é passar o passo a passo para aprendermos como resolver uma grelha composta. Para fazer isso temos que fazer o seguinte

  • Achar todas as rótulas e dobradiças, pois serão possíveis pontos de quebra para analisarmos grelhas simples
  • Quebrar essas rótulas e dobradiças e substituir por apoios fictícios
  • Analisar se as treliças formadas são simples e isostáticas
  • Definir o melhor apoio para estrutura (alguns professores deixam um apoio faltando e pedem para o aluno dizer qual seria o melhor apoio para aquela estrutura)
  • Pegar todas as reações de apoios fictícios e transferir para as barras em que eles se apoiam
  • Definir uma ordem de solução
  • Calcular as reações de apoio
  • Calcular os diagramas

Visto todos esses passos, vamos ver um exemplo, e a partir desse exemplo vamos entender melhor como resolver esse tipo de questão.

Situação

Imagine que na sua prova cai exatamente essa grelha para você resolver. E o seu professor pergunte o seguinte

  • Qual o melhor apoio para colocar no ponto de interrogação?
  • Qual a divisão das grelhas simples?
  • Qual as equações de momento e cortante, assim como os seus diagramas?

Parece que é muito complicado né? Por isso vamos ver um passo a passo que vai deixar tudo muito mais simples, vamos lá então.

Passo 1: achar as rótulas e dobradiças, quebrar elas e substituir por apoios fictícios.

Como já vimos na aula de conceitos de grelhas, já sabemos que apoios colocar quando quebramos as rótulas, com isso, na nossa grelha teremos que

Identificado as rótulas e dobradiças, podemos quebrar elas e colocar os apoios fictícios e passaremos as ter

Perceba que a grelha mais a esquerda possui um apoio do primeiro gênero e um apoio de dobradiça, ao todo, 3 incógnitas. Como ela não possui rótulas, temos 3 equações de equilíbrio. Logo, temos 3 incógnitas e 3 equações, logo, uma grelha simples e isostática.

A grelha central também possui um apoio do primeiro gênero e um apoio de dobradiça, sendo ao todo, também 3 incógnitas. Como ela não possui rótulas, temos 3 equações de equilíbrio. Logo, temos 3 incógnitas e 3 equações, logo, também é uma grelha simples e isostática.

Por fim, a grelha a direita não possui nenhum apoio, e queremos que ela seja isostática, a única forma disso acontecer é se essa grelha possui um apoio de engaste, pois como ela não possui rótulas, ela tem 3 equações, logo, precisa de 3 incógnitas, e dessa forma, a nossa grelha será

Assim respondemos a primeira pergunta que era qual o melhor apoio a ser colocado no ponto de interrogação.

Passo 2: trocar os apoios pelas reações de apoio e definir para onde cada reação de apoio fictício irá.

Nesse caso vamos diferenciar a cor dos apoios fixos e dos apoios fictícios. Trocando os nossos apoios teremos

Todas as reações de apoios em azul são fixas, ou seja, não serão transferidas para outras grelhas. As reações de apoio em laranja marcam as reações de apoios fictícios, ou seja, que serão transferidos para outras grelhas. Mas como faremos essa transferência?

Perceba que a transferência ocorreu dos apoios fictícios para as grelhas em que esses apoios se apoiam, o que vale destacar?

  • A grelha do meio transferiu carregamento para as outras duas grelhas
  • Todas as reações dos apoios fictícios foram transferidas para as grelhas com o sinal contrário
  • Perceba que usamos a representação usual de grelhas pra indicar que invertemos o sentido dos vetores.

Com isso já podemos definir a ordem de solução da nossa grelha.

Passo 3: definir a ordem de solução, calcular as reações de apoio e desenhar os diagramas

A primeira grelha a ser resolvida, tem que ser a grelha mais externa, que possua apenas apoios fictícios, e que não recebe nenhum apoio fictício de outra grelha. A única barra que passa por todos esses testes é a barra central, logo, na nossa ordem de solução ela será a primeira a ser resolvida, lembrando que resolver uma grelha consiste em definir as reações de apoio e desenhar os diagramas, com isso resolveremos primeiro

A segunda grelha a ser resolvida é a da esquerda. Essa escolha é estratégica pois essa grelha possui reações de apoio mais simples, dessa forma, poderemos calcular ela. Vale relembrar que devemos considerar a contribuição da rótula que calculamos na grelha anterior, lembrando sempre de inverter o sentido do vetor. Dessa forma nossa segunda grelha a ser resolvida, determinando as suas reações de apoio e diagramas é

Por fim falta apenas a ultima grelha a ser resolvida, que também terá contribuições da barra do meio. Nesse caso iremos transferir com o sentido contrário do calculado para as reações de apoios fictícios e teremos a seguinte grelha

Veja que a partir dela conseguimos determinar reações de apoio, diagrama de momentos fletores e cortantes, dentre outros diagramas que forem pedidos.

Com isso conseguimos determinar tudo que o nosso professor pedia na questão, assim como todas as características iniciais que foram dadas na introdução. Esse passo a passo mais a aula de solução de grelhas simples vai te tornar um craque dos exercícios.

Bora solucionar os problemas, exercícios e questões que podem cair na sua prova? Vamos lá treinar nos exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine qual o melhor apoio a ser colocado no ponto A da grelha abaixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de qualquer coisa temos que relembrar o nosso passo a passo para resolver esse tipo de problema. Para isso temos que respeitar algumas regrinhas, que são

  • Achar todas as rótulas e dobradiças, pois serão possíveis pontos de quebra para analisarmos grelhas simples
  • Quebrar essas rótulas e dobradiças e substituir por apoios fictícios
  • Analisar se as treliças formadas são simples e isostáticas
  • Definir o melhor apoio para estrutura (alguns professores deixam um apoio faltando e pedem para o aluno dizer qual seria o melhor apoio para aquela estrutura)
  • Pegar todas as reações de apoios fictícios e transferir para as barras em que eles se apoiam
  • Definir uma ordem de solução
  • Calcular as reações de apoio
  • Calcular os diagramas

Vale lembrar que o nosso problema não usará todo esse passo a passo, mas teremos questões mais complexas em que teremos que usar completamente o passo a passo dado acima.

Dito isso tudo, vamos aplicar nosso passo a passo na grelha do nosso problema.

Passo 2

Como vimos primeiro devemos achar as possíveis rótulas a serem rompidas, e no nosso exemplo só temos duas possíveis rótulas a serem rompidas, que marcamos aqui em baixo.

se lembrarmos o que vimos na aula teórica, lembraremos que o rompimento de rótulas gera apoios do primeiro gênero, e o rompimento de dobradiças, geram também, dobradiças.

Porém, vamos ao próximo passo então.

Passo 3

O segundo passo consiste em olharmos a nossa estrutura separada e com o apoio fictício, mas onde podemos romper?

Agora pode surgir a dúvida se rompemos a rótula 1 ou 2. Vamos romper as duas, uma de cada vez, e ver no que dá.

  • Rompendo a Rótula 1
  • Perceba que ao romper a rótula 1 teremos a seguinte estrutura

    Fazendo o balanceamento de equações e incógnitas da primeira estrutura veremos que ela possui 3 apoios do primeiro gênero, logo, possui 3 incógnitas, já que cada apoio gera uma incógnita. Como temos 3 incógnitas e 3 equações, sabemos que a nossa estrutura foi dividida corretamente.

    Já a segunda estrutura nós vemos que possui 1 dobradiça que nos dá 2 incógnitas e 1 rótula com 2 barras que nos da 1 equação. Dessa forma temos ao todo 4 equações, 3 de equilíbrio e 1 da rótula, e 2 incógnitas, ou seja, o melhor apoio, nesse caso a ser colocado no ponto A é uma dobradiça que nos dará mais 2 incógnitas, fechando um total de 4 incógnitas e 4 equações

  • Rompendo a Rótula 2

Perceba que ao romper a rótula 2 teremos a seguinte estrutura

Fazendo o balanceamento de equações e incógnitas da primeira estrutura veremos que ela possui 2 apoios do primeiro gênero e 1 dobradiça, logo, possui 4 incógnitas, já que cada apoio do primeiro gera uma incógnita e a dobradiça gera 2, vale lembrar também que a rótula irá gerar mais 1 equação. Como temos 4 incógnitas e 4 equações, sabemos que a nossa estrutura foi dividida corretamente.

Já a segunda estrutura nós vemos que possui 1 apoio do primeiro genero que nos dá 1 incógnita. Dessa forma temos ao todo 3 equações, sendo as 3 de equilíbrio, e 1 incógnita, ou seja, o melhor apoio, nesse caso a ser colocado no ponto A é uma dobradiça também que nos dará mais 2 incógnitas, fechando um total de 3 incógnitas e 3 equações.

Ou seja, independente da rótula que quebrássemos, usaríamos como apoio do ponto A uma dobradiça.

Resposta

O apoio a ser usado no ponto A é uma dobradiça

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine qual o melhor apoio a ser colocado no ponto A da grelha abaixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de qualquer coisa temos que relembrar o nosso passo a passo para resolver esse tipo de problema. Para isso temos que respeitar algumas regrinhas, que são

  • Achar todas as rótulas e dobradiças, pois serão possíveis pontos de quebra para analisarmos grelhas simples
  • Quebrar essas rótulas e dobradiças e substituir por apoios fictícios
  • Analisar se as treliças formadas são simples e isostáticas
  • Definir o melhor apoio para estrutura (alguns professores deixam um apoio faltando e pedem para o aluno dizer qual seria o melhor apoio para aquela estrutura)
  • Pegar todas as reações de apoios fictícios e transferir para as barras em que eles se apoiam
  • Definir uma ordem de solução
  • Calcular as reações de apoio
  • Calcular os diagramas

Vale lembrar que o nosso problema não usará todo esse passo a passo, mas teremos questões mais complexas em que teremos que usar completamente o passo a passo dado acima.

Dito isso tudo, vamos aplicar nosso passo a passo na grelha do nosso problema.

Passo 2

Como vimos primeiro devemos achar as possíveis rótulas a serem rompidas, e no nosso exemplo só temos duas possíveis rótula a serem rompida, que marcamos aqui em baixo.

se lembrarmos o que vimos na aula teórica, lembraremos que o rompimento de rótulas gera apoios do primeiro gênero, e o rompimento de dobradiças, geram também, dobradiças.

Porém, vamos ao próximo passo então.

Passo 3

O segundo passo consiste em olharmos a nossa estrutura separada e com o apoio fictício, mas onde podemos romper?

Agora pode surgir a dúvida se rompemos a rótula 1 ou 2. Vamos romper as duas, uma de cada vez, e ver no que dá.

  • Rompendo a Rótula 1
  • Perceba que ao romper a rótula 1 teremos a seguinte estrutura

    Fazendo o balanceamento de equações e incógnitas da primeira estrutura veremos que ela possui 1 apoios do terceiro gênero(engaste), logo, possui 3 incógnitas. Como temos 3 incógnitas e 3 equações, sabemos que a nossa estrutura foi dividida corretamente.

    Já a segunda estrutura nós vemos que possui 1 dobradiça que nos dá 2 incógnitas, 1 apoio do primeiro gênero que nos dá mais 1 incógnita e 1 rótula com 2 barras que nos dá 1 equação. Dessa forma temos ao todo 4 equações, 3 de equilíbrio e 1 da rótula, e 3 incógnitas, ou seja, o melhor apoio, nesse caso a ser colocado no ponto A é mais um apoio do primeiro gênero que nos dará mais 1 incógnitas, fechando um total de 4 incógnitas e 4 equações

  • Rompendo a Rótula 2

Perceba que ao romper a rótula 2 teremos a seguinte estrutura

Fazendo o balanceamento de equações e incógnitas da primeira estrutura veremos que ela possui 1 apoio do terceiro gênero e 1 dobradiça, logo, possui 5 incógnitas, vale lembrar também que a rótula irá gerar mais 1 equação. Como temos 5 incógnitas e 4 equações, sabemos que a nossa estrutura foi dividida de forma incorreta. Logo, a solução mais viável é dividir a treliça rompendo a rótula 1 e não a rótula 2.

Perceba que se rompêssemos ambas as rótulas teríamos como resolver o nosso problema, porém teríamos 3 grelhas para resolvermos, e nesse caso seria uma solução muito extensa, sendo que queremos sempre s solução mais rápida, por isso, descartamos, nesse caso, o rompimento das duas rótulas.

Resposta

O apoio a ser usado no ponto A é um apoio do primeiro gênero

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Determine qual o melhor apoio a ser colocado no ponto A da grelha abaixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de qualquer coisa temos que relembrar o nosso passo a passo para resolver esse tipo de problema. Para isso temos que respeitar algumas regrinhas, que são

  • Achar todas as rótulas e dobradiças, pois serão possíveis pontos de quebra para analisarmos grelhas simples
  • Quebrar essas rótulas e dobradiças e substituir por apoios fictícios
  • Analisar se as treliças formadas são simples e isostáticas
  • Definir o melhor apoio para estrutura (alguns professores deixam um apoio faltando e pedem para o aluno dizer qual seria o melhor apoio para aquela estrutura)
  • Pegar todas as reações de apoios fictícios e transferir para as barras em que eles se apoiam
  • Definir uma ordem de solução
  • Calcular as reações de apoio
  • Calcular os diagramas

Vale lembrar que o nosso problema não usará todo esse passo a passo, mas teremos questões mais complexas em que teremos que usar completamente o passo a passo dado acima.

Dito isso tudo, vamos aplicar nosso passo a passo na grelha do nosso problema.

Passo 2

Como vimos primeiro devemos achar as possíveis rótulas a serem rompidas, e no nosso exemplo só temos duas possíveis chances de rompimento, na rótula ou na dobradiça, que marcamos aqui em baixo.

se lembrarmos o que vimos na aula teórica, lembraremos que o rompimento de rótulas gera apoios do primeiro gênero, e o rompimento de dobradiças, geram também, dobradiças.

Porém, vamos ao próximo passo então.

Passo 3

O segundo passo consiste em olharmos a nossa estrutura separada e com o apoio fictício, mas onde podemos romper?

Agora pode surgir a dúvida se rompemos a rótula 1 ou 2. Vamos romper as duas, uma de cada vez, e ver no que dá.

  • Rompendo a Rótula 1
  • Perceba que ao romper a rótula 1 teremos a seguinte estrutura

    Fazendo o balanceamento de equações e incógnitas da primeira estrutura veremos que ela possui 3 apoios do primeiro gênero, logo, possui 3 incógnitas, já que cada apoio gera uma incógnita. Como temos 3 incógnitas e 3 equações, sabemos que a nossa estrutura foi dividida corretamente.

    Já a segunda estrutura nós vemos que possui 1 dobradiça que nos dá 2 incógnitas e 1 rótula com 2 barras que nos dá 1 equação. Dessa forma temos ao todo 4 equações, 3 de equilíbrio e 1 da rótula, e 2 incógnitas, ou seja, o melhor apoio, nesse caso a ser colocado no ponto A é uma dobradiça que nos dará mais 2 incógnitas, fechando um total de 4 incógnitas e 4 equações

  • Rompendo a Rótula 2
  • Perceba que ao romper a rótula 2 teremos a seguinte estrutura

    Fazendo o balanceamento de equações e incógnitas da primeira estrutura veremos que ela possui 2 apoios do primeiro gênero e 1 dobradiça, logo, possui 4 incógnitas, já que cada apoio do primeiro gera uma incógnita e a dobradiça gera 2, vale lembrar também que a rótula irá gerar mais 1 equação. Como temos 4 incógnitas e 4 equações, sabemos que a nossa estrutura foi dividida corretamente.

    Já a segunda estrutura nós vemos que possui 1 apoio do tipo dobradiça que nos dá 2 incógnitas. Dessa forma temos ao todo 3 equações, sendo as 3 de equilíbrio, e 2 incógnitas, ou seja, o melhor apoio, nesse caso a ser colocado no ponto A é um apoio do primeiro gênero também que nos dará mais 1 incógnita2, fechando um total de 3 incógnitas e 3 equações.

    Resposta

    Temos duas possibilidades de solução

  • Quebrando a rotula 1
  • Quebrando a rotula 2

Resposta

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Determine as reações dos apoios A e B da grelha abaixo

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de qualquer coisa temos que relembrar o nosso passo a passo para resolver esse tipo de problema. Para isso temos que respeitar algumas regrinhas, que são

  • Achar todas as rótulas e dobradiças, pois serão possíveis pontos de quebra para analisarmos grelhas simples
  • Quebrar essas rótulas e dobradiças e substituir por apoios fictícios
  • Analisar se as treliças formadas são simples e isostáticas
  • Definir o melhor apoio para estrutura (alguns professores deixam um apoio faltando e pedem para o aluno dizer qual seria o melhor apoio para aquela estrutura)
  • Pegar todas as reações de apoios fictícios e transferir para as barras em que eles se apoiam
  • Definir uma ordem de solução
  • Calcular as reações de apoio
  • Calcular os diagramas

Dito isso tudo, vamos aplicar nosso passo a passo na grelha do nosso problema.

Passo 2

Como vimos primeiro devemos achar as possíveis rótulas a serem rompidas, e no nosso exemplo só temos uma possível chance de rompimento, na rótula, que marcamos aqui em baixo.

se lembrarmos o que vimos na aula teórica, lembraremos que o rompimento de rótulas gera apoios do primeiro gênero, e o rompimento de dobradiças, geram também, dobradiças.

Porém, vamos ao próximo passo então.

Passo 3

O segundo passo consiste em olharmos a nossa estrutura separada e com o apoio fictício

  • Rompendo a Rótula teremos que

Perceba que ao romper a rótula teremos a seguinte estrutura

Fazendo o balanceamento de equações e incógnitas da primeira estrutura (mais a esquerda) veremos que ela possui 3 apoios do primeiro gênero, logo, possui 3 incógnitas, já que cada apoio gera uma incógnita. Como temos 3 incógnitas e 3 equações, sabemos que a nossa estrutura foi dividida corretamente.

Já a segunda estrutura (mais a direita) nós vemos que possui 1 apoio do terceiro gênero que nos dá 3 incógnitas. Dessa forma temos ao todo 3 equações, 3 de, e 3 incógnitas, ou seja, de fato as nossas duas estruturas mais simples estão devidamente divididas.

Passo 4

Antes de resolver precisamos fazer a ordem de solução. Já sabemos que a primeira estrutura a ser resolvida é aquela que se apoia, e em seguida resolvemos as estruturas que servem de apoio, dessa forma nossa ordem de solução será.

Passo 5

Definido tudo isso vamos resolver o nosso problema, calculando as reações de apoio necessária, começando primeiro pela estrutura mais a esquerda, para isso faremos o seguinte.

Como já vimos as nossas estruturas estão devidamente balanceadas, então devemos trocar os nossos apoios por reações nos sentidos e direções corretas, dessa forma a nossa estrutura ficará da seguinte maneira

Passo 6

Sabemos que o cálculo das reações de apoio usará as formulas de equilíbrio que destacamos lá em cima, mas temos que tomar muito cuidado com os braços de alavanca, por isso vamos tomar bastante cuidado, vamos fazer cada fórmula de cada vez

  • ∑ M f l e t o r   = 0
  • Sabemos que para termos equilíbrio devemos saber que o somatório de momentos em qualquer ponto da nossa barra deve ser zero, com isso, o ponto que iremos escolher é o ponto C. Dessa forma teremos

    Perceba que nesse caso, todos os braços de alavancas de momento fletor, são perpendiculares ao apoio, todas as forças devem multiplicar o braço de alavanca correspondente. Com relação aos sinais eu arbitro positivo pra cima e negativo pra baixo, mas você tem liberdade da escolha dos sinais. Sabendo de tudo isso, o nosso equilíbrio de momentos fletores será

    - 3 V B - 3 V D + 250   .   3 - 300   .   1,5 = 0

    - 3 V B - 3 V D = - 300

    Mudando o sinal e simplificando teremos que

    V B + V D = 100

    Vamos a próxima equação de equilíbrio.

  • ∑ M T o r s o r   = 0