Linha de Influência Cortante e Momento- Método Gráfico

Teoria Completa

Introdução

Vimos na aula de Conceito do assunto linha de influência, que a linha de influência nos ajuda a determinar o valor do pior momento em uma determinada seção.

Vimo que ao andarmos com uma carga unitária por toda a barra, pudemos definir uma linha que nos dava valores de momentos, que posteriormente usaríamos para multiplicar o valor do nosso carregamento. Nós exercícios vimos como resolver diversos tipos de linha de influência para diferentes tipos de esforços pedidos.

Porém, o que vamos trabalhar nessa aula?

Aprenderemos o que eu chamo de método gráfico, ou seja, um método que nos ajuda a prever como será a nossa linha de influência, assim como os valores dela, através de regras de 3, parece muito bom, não? Então vamos partir logo para o que interessa.

Método gráfico para momento fletor

Como vimos na aula de conceito desse assunto, podemos definir a linha de influência através da escolha de pontos notáveis, e colocando uma carga unitária em cada um desses pontos, determinamos a nossa linha de influência. Mas pelo método gráfico, faremos o seguinte, imagine a seguinte viga.

Se você prestar a atenção, vera que o meio é exatamente igual ao nosso exemplo n aula de conceito, com a diferença que agora a nossa viga tem balanços laterais, em teoria os valores do meio deverão ser idênticos aos achados na outra aula. Definido isso, vamos lá

  • Primeiro passo: rebater os trechos de cada lado da seção até os apoios através de um raio.
  • Como assim? A imagem vai ajudar a entender

    Veja que pegamos a distancia de cada apoio até a nossa seção e rebatemos ela, como se fosse um raio, até que ficassem exatamente abaixo da seção.

  • segundo passo: ligar a extremidade de cada trecho rebatido até os apoios, como mostra a figura
  • Caso a nossa estrutura não tivesse balanço, seria necessário apenas apagar as linhas de forma, deixando apenas do trecho de encontro pra cima, por exemplo

    perceba que é mesmo desenho que encontramos na aula de conceito, com a diferença que nesse caso ele está para baixo apenas por uma questão de sinal, ou seja, se você rebater para baixo, está considerando positivo nessa direção, se rebater para cima, está considerando positivo para cima.

    Porém a nossa estrutura tem balanço, nesse caso basta fazer o passo 3

  • terceiro passo: estender as linhas do apoio até o final do balanço, com isso teremos que
  • E essa é a nossa linha de influência de momento, como podemos descobrir os valores dela? Basta calcularmos o valor do momento na seção A quando colocarmos uma carga unitária nas extremidades, ou seja, teremos que

    M A = 1,71

    Na outra extremidade teremos

    M A = 1,28

    Tendo esses dois valores, basta fazermos uma regra de 3 com os triângulos formados

    Fazendo essa regra de 3 encontramos M A = 0,855 que é exatamente o valor encontrado na aula de conceito para a viga sem os balanços. Ou seja, tanto um método quanto o outro darão os mesmos valores.

    Método gráfico para Cortantes

    O método gráfico para cortantes é bem legal, vamos continuar com a viga d exemplo anterior, com isso basta fazer o seguinte

  • primeiro passo: em cada apoio esticamos uma reta de valor unitário, no apoio da direita esticamos para cima, e no da esquerda para baixo.
  • Segundo passo: após esticar cada trecho, nós ligamos a extremidade de cada linha estendida ao apoio contrário, tomando cuidado para que essas retas sejam paralelas. Com isso teremos
  • Terceiro passo: Quando tem balanço, continuamos esticando as nossas retas paralelas ate o fim dos balanços
  • Quarto passo: Agora para fechar, basta apenas que liguemos as retas paralelas por uma reta transversal que passe pela nossa seção pedida.

Não esquecer de tirar as linhas de construção

Essa é a nossa linha de influência do cortante na seção, vale prestar a atenção no seguinte, se mantivermos as linhas de construção, conseguimos determinar todos os valore por regra de 3, como mostra, por exemplo, o nosso triângulo abaixo

Com isso obtemos que V A =   0,86 , sem precisarmos fazer a regra da carga unitária andando pela viga, que conceitualmente é a nossa linha de influência. Para oura extremidade funciona de forma similar, obtendo nesse caso, o mesmo valor devido a simetria. Dessa forma calculando para o caso da carga aplicada na seção A, encontramos pela regra de 3

OBS:. Como as retas centrais são paralelas, obrigatoriamente o somatório de

V 1 + V 2 = 1

Fazendo a regra de 3 obteremos que

V 1 = 0,57

V 2 = 0,43

Conferindo teremos que

0,57 + 0,43 = 1   O K ‼ ‼

Então fizemos tudo certinho e conseguimos calcular a nossa linha de influência do cortante pelo método gráfico.

Método gráfico para Cortantes a direita ou a esquerda do apoio

Nesse caso usamos o mesmo método do cortante, mas tomando o cuidado de irmos aproximando o gráfico do apoio, por exemplo, imagine que pedimos a linha de influencia do cortante imediatamente a direita do apoio 1 e imediatamente a esquerda do apoio 2

Agora basta pensar no seguinte, eu vou fazer o cortante longe e depois aproximo ele do apoio, por exemplo, a direita do apoio 1 eu escolho essa seção

Pra essa seção eu sei que a linha de influência do cortante é

Agora eu só preciso andar com a minha seção até o apoio 1, e vou ver que nesse caso ela vai diminuindo até chegar no apoio

E com isso podemos dizer que a linha de influência do cortante a direita do apoio 1 é

E o caso do cortante a direita do apoio 2? Seguimos o mesmo processo.

Primeiro escolhemos uma seção longe do apoio a esquerda dele

Fazemos o cortante dela e encontramos

Depois levamos a nossa seção até o apoio seguindo a nossa linha de influencia calculada

E com isso o nosso cortante a esquerda do apoio 2 será

E perceba que conseguimos definir todos os valores da nossa linha de influência apenas usando regra de 3, assim com fizemos com a linha de influência do cortante, tranquilo?

Bora fazer exercício então para tirarmos aquele 10 redondo na prova, nos exercícios vamos conseguir treinar bastante esses conceitos, vamos lá então!!!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine a linha de influência de momentos fletores para a seção A da viga abaixo pelo método gráfico. Calcule também os principais valores dessa linha de influência.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Já sabemos que o passo a passo que iremos seguir é o seguinte:

  • Primeiro marcamos a nossa seção na viga
  • Depois pegamos as distâncias de cada apoio até a seção e rebatemos elas como raios pra baixo dos apoios
  • Em seguida ligamos as pontas dessas barras em baixo dos apoios no apoio contrário
  • E por fim, se houver um balanço nós prolongamos essas barras até o balanço
  • Feito tudo isso teremos a nossa linha de influência, e a única coisa que irá ficar faltando será calcular os valores principais dessas linhas, que iremos usar regra de 3 para calcularmos.
  • Por fim, Apagar as linhas de construção.

Entendido tudo isso, vamos ao cálculo da nossa linha de influência.

Passo 2

Já sabemos que o primeiro passo foi feito no próprio enunciado que marcou a seção no ponto que deveríamos calcular.

Vamos então já ir para o segundo passo onde iremos rebater as distâncias até os apoios como vemos na figura abaixo.

Passo 3

Como sabemos no passo a passo devemos agora ligar as extremidades de cada barra rebatida no apoio contrário, e dessa forma teremos que as linhas ficarão

Passo 4

Para o próximo passo podemos ver que a nossa barra possui um balanço no seu lado direito, e dessa forma, prolongando essa linha até o balanço, teremos que a nossa linha de influência ficará da seguinte maneira

Passo 5

Agora já podemos fazer a regra de 3 levando em consideração os seguintes triangulos

Teremos aqui a seguinte regra de 3, calculando primeiro x

10 5 = 8 x

x = 40 10 = 4

Calculando agora Y, teremos o seguinte

10 2 = 8 y

y = 16 10 = 1,6

Ou seja, calculamos os valores pertinentes da nossa linha de influência

Passo 6

Agora que já fizemos tudo basta apagarmos as nossas linhas de construção, e o que irá sobrar será exatamente a nossa linha de influência da viga

Apagando essas linhas e acrescentando os valores calculados na regra de 3 teremos a seguinte linha de influencia

Resposta

Linha de Influência de momentos fletores na seção A por métodos gráficos

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine a linha de influência de momentos fletores para a seção A da viga abaixo pelo método gráfico. Calcule também os principais valores dessa linha de influência.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Já sabemos que o passo a passo que iremos seguir é o seguinte:

  • Primeiro marcamos a nossa seção na viga
  • Depois pegamos as distâncias de cada apoio até a seção e rebatemos elas como raios pra baixo dos apoios
  • Em seguida ligamos as pontas dessas barras em baixo dos apoios no apoio contrário
  • E por fim, se houver um balanço nós prolongamos essas barras até o balanço
  • Feito tudo isso teremos a nossa linha de influência, e a única coisa que irá ficar faltando será calcular os valores principais dessas linhas, que iremos usar regra de 3 para calcularmos.
  • Por fim, Apagar as linhas de construção.

Entendido tudo isso, vamos ao cálculo da nossa linha de influência.

Passo 2

Já sabemos que o primeiro passo foi feito no próprio enunciado que marcou a seção no ponto que deveríamos calcular.

Vamos então já ir para o segundo passo onde iremos rebater as distâncias até os apoios como vemos na figura abaixo.

Passo 3

Como sabemos no passo a passo devemos agora ligar as extremidades de cada barra rebatida no apoio contrário, e dessa forma teremos que as linhas ficarão

Passo 4

Para o próximo passo podemos ver que a nossa barra possui balanço em ambos os lados, e dessa forma, prolongando essa linha até o balanço, teremos que a nossa linha de influência ficará da seguinte maneira

Passo 5

Agora já podemos fazer as 2 regras de 3 levando em consideração os seguintes triângulos

Teremos aqui a seguinte regra de 3, calculando primeiro x

8 7 = 5 x

x = 35 8 = 4 , 375

Calculando agora Y, teremos o seguinte

8 3 = 5 y

y = 1 5 8 = 1 , 875

Calculando agora Z, teremos o seguinte

8 2 = 3 Z

Z = 6 8 = 0 , 75

E recalculando Y para vermos se fizemos tudo certinho

8 5 = 3 y

y = 15 8 = 1,875