Método da seção de Richter

Teoria Completa

Introdução

Como vimos na aula de Método do equilíbrio de nós, é possível determinar o Normal em cada barra da treliça a partir do equilíbrio de cada nó presente na treliça, começando pelos nós das extremidades e indo para os nós centrais. Bem, você pode pensar o seguinte, se já tem um método de solução para treliças, porque aprender outro, certo? É aí que temos um problemão, imagine que o seu professor pedisse a força Normal que age nas barras AB e CD da seguinte treliça

Perceba que a barra CD até poderia ser calculada pelo método de equilíbrio dos nós, porém a barra AB daria muito trabalho. Imagine calcular o equilíbrio de todos os nós até em fim chegar na barra AB

Seria muito cansativo e trabalhoso, por isso eu os apresento ao método da seção de Richter

Seção de Richter

O método consiste em cortar a treliça em seções escolhidas de forma estratégica, devemos tomar os seguintes cuidados nessa escolha

  • O método é mais simples quando cortamos até 3 barras da treliça, mais de 3 barras fazem com que o problema apresente, na maioria das vezes, mais incógnitas do que equações, o que é péssimo para o que queremos. O objetivo é facilitar o processo e não dificultar.
  • Nesse primeiro exemplo a linha vermelha representa a nossa seção, veja que ela corta apenas 3 barras, após fazer isso iremos descartar um dos lados e usar o outro como veremos mais abaixo.

    Também não ficamos limitados a passar a seção em um único local, desde que só corte 3 barras não problema. Lembrando que na treliça acima foi feito primeiro um cálculo para o corte feito em vermelho e de pois um para o que foi feito em verde, não os dois ao mesmo tempo.

    Esse ultimo exemplo não representa uma seção de Richter pois corta mais de 3 barras, o que torna o nosso problema mais difícil.

  • Só podemos cortar as barras após termos calculado as reações de apoio, se sairmos cortando sem ter as reações ficaremos sem dados para resolver o problema.
  • Esse não é tanto uma regra, mas um macete que facilita mais ainda o processo. Na hora de cortar as barrar seria ideal que duas delas apontassem para o mesmo nó, já vamos entender como isso ajuda no processo.
  • Perceba que nesse caso ambas as seções cortam 3 barras, porém a seção vermelha tem duas barrar que apontam para o nó A, o que facilita e muito o processo, enquanto que a seção em verde facilita o processo com relação ao método do equilíbrio de nós, mas é mais trabalhoso por não ter 2 barras apontando para o mesmo nó.

  • A seção de Richter não tem limites de distância ou curvas, desde que seja respeitado o número máximo de 3 barras cortadas.
  • Em treliças compostas é usual passar a seção de Richter pelo nó e pela barra que ligue as treliças mais simples.

  1. Passo a passo do uso da seção de Richter
  2. Agora que já vimos exemplos e como escolher locais de cortes e até macetes para o uso desse método, vamos, através do nosso exemplo dado logo acima, criar um passo a passo de solução para o nosso problema através do uso da seção de Richter. Nosso objetivo, nesse caso, será determinar o normal apenas da barra AB, visto que o da barra CD poderia ser determinado facilmente pelo método do equilíbrio de nós, então vamos lá.

  3. Passo 1: Reações de apoio
  4. Como sempre temos que calcular as reações de apoio. Como já sabemos, podemos tratar a nossa treliça como um corpo solido, dessa forma teremos a seguinte configuração

    Usando as fórmulas de equilíbrio teremos que

  • ∑ F x = 0
  • H b - 4 P - 2 P = 0

    H b = 6 P

  • ∑ M a = 0
  • Considerando as barras horizontais com tamanhos iguais e as barras verticais também com tamanhos iguais entre elas teremos que

    b a r r a s   v e r t i c a i s = 7 m

    b a r r a s   h o r i z o n t a i s = 4 m

    Logo o equilíbrio de momentos será

    12 V b - 7   .   4 P - 14   . 2 P - 16 .   3 P - 4 .   P = 0

    V b = 9 P

  • ∑ F y = 0

V a + V B - 3 P - P = 0

V a + 9 P - 3 P - P = 0

V a = - 5 P

Visto que a reação em A deu negativa, e eu não gosto de usar valores negativos, eu costumo inverter o sentido do vetor que eu arbitrei inicialmente e a partir disso eu uso a reação positiva, ou seja, as reações de apoio serão

Terminado as reações de apoio entramos em fim no nosso método.

  • Passo 2: Seção de Richter e escolha do lado
  • Agora partimos para o nosso objetivo, como desejamos saber o normal na barra AB, irei passar a nossa seção por essa barra e verei se consigo cortar no máximo 3 barras

    Perceba que eu consegui cortar só 3 barras e que duas dessas barras apontam para um único nó, o que irá nos ajudar nos cálculos.

    Agora vem uma decisão mais arbitraria. Temos que escolher umas das duas seções para ficar e uma para ser descartada. No meu caso o critério que eu uso é qual parece mais fácil. Nesse caso a que me parece mais simples é a da esquerda, pois possui menos forças para se preocupar do que o lado direito. Então manterei a seção da esquerda e irei retirar a da direita, como se de fato tivesse cortado.

  • Passo 3: equilíbrio da seção
  • Agora pensa no seguinte, queremos que a estrutura fique equilibrada, mas arrancamos metade dela, o que faremos? Devemos repor na estrutura o que lhe foi retirado, como em treliças apenas temos cargas nos nós, e a estrutura é toda rotulada, teremos apenas forças normais, ou seja, basta repormos as forças normais nas barras que cortamos e a partir daí fazermos o equilíbrio.

    Perceba que arbitramos os normais saindo das barras pois se derem negativo, significará compressão e se derem positivo tração. Agora já temos tudo, uma estrutura equilibrada, com as reações de apoio calculada, com os normais de incógnitas, maaaaaas, você percebeu que temos três incógnitas e três equações, certo? Mas lembra que eu perturbei para arrumarmos uma seção em que duas das barras fossem para um mesmo nó? Você sabe o porquê disso?

    O motivo é bem simples, se você fizer o somatório de momentos nesse nó para o qual as duas barras apontam, você tira duas incógnitas da equação com uma cajadada só, e olha que genial, a única incógnita que sobra é exatamente a que você precisa.

    Vamos então fazer essa conta.

  • Passo 4: cálculo do normal N A B
  • Olhando a nossa peça temos

    Fazendo o somatório de momento no nó que N 1 e N 2 apontam teremos que

    ∑ M 12 = 0

    Com isso teremos

    5 P   .     8 + 2 P   .   7 + N A B   .   7 + P   .   4 = 0

    7 N A B = - 40 P - 14 P - 4 P  

    7 N A B = - 58   P

    N A B = - 58 P 7

    E calculamos dessa forma o nosso normal.

    Mas você pode estar se perguntando como faríamos para calcular, por exemplo, N 2 . Tudo bem que o somatório de momentos desaparece com ele, mas e se ele fosse o valor a se calcular?

    É exatamente isso que veremos na parte 2 dessa aula, bora lá ver.

    Expandir

    Exercício Resolvido #1

    Elaboração Própria

    Determine o valor do normal na barra BC da treliça, usando o método da seção de Richter.

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Para resolvermos a nossa treliça pelo método da seção de Richter precisamos ter em mente o seguinte passo a passo.

    • Primeiro devemos calcular as reações de apoios da nossa treliça, que será calculada levando em consideração dois fatores
    • As reações

      E as equações de equilíbrio

      ∑ F x = 0

      ∑ F y = 0

      ∑ M a = 0

    • A segunda coisa que temos que fazer é passar uma seção que corte a barra que pretendemos calcular, e que além disso respeite a regrinha de cortar apenas 3 barras.
    • A terceira coisa que devemos fazer é eliminar um dos lados da treliça quando tivermos definido a seção de Richter.
    • A quarta coisa que devemos fazer é o equilíbrio da seção que nos restar. Nesse equilíbrio iremos calcular os normais das barras que tivermos cortado.
    • Por fim, o quinto e último passo consiste em escolher a melhor forma de fazer o equilíbrio das seções. Na grande maioria das vezes a melhor atitude a se tomar é calcular o somatório de momentos em um nó que receba duas barras da nossa seção cortada, pois pense bem, se cortamos 3 barras e vamos fazer o somatório de momentos em um nó que recebe 2 barras, no nosso problema teremos apenas 1 incógnita, e assim essa incógnita será exatamente o normal de um das barras.

    Entendido o nosso passo a passo, vamos usá-lo no nosso exercício.

    Passo 2

    A primeira coisa que devemos fazer como vimos no nosso passo a passo é definir as reações de apoio. Para isso devemos primeiro determinar os vetores reações de apoio e lembrar que sempre consideramos a nossa treliça como um elemento solido e único que usamos para determinar essas reações, com isso teremos que o nosso diagrama de corpo livre será

    Definido os vetores reações de apoio já podemos usar as fórmulas de equilíbrio

    • ∑ F x = 0
    • H A - 300 = 0

      H A = 300

    • ∑ M A = 0
    • - 10 V D - 300   .   5   + 150   .     5 +   50   .   5 = 0

      - 10   V D = 500

      V D = - 50

    • ∑ F y = 0
    • V D + V A - 150 - 50 = 0

      Substituindo

      - 50 + V A - 150 - 50 = 0

      V A = 250

      Como tivemos uma reação de apoio negativa, podemos inverter o vetor para usarmos esse carregamento positivo, fazendo isso teremos

      Assim já cumprimos a primeira parte do nosso passo a passo.

      Passo 3

      A segunda parte do problema consiste em cortar as barras que queremos calcular os normais, lembrando de respeitar a regra das 3 barras. Se der para cortar todas que queremos calcular de uma só vez, podemos fazer isso, se não, vale apena fazer uma de cada vez, caso não seja possível cortar tudo com uma única seção de Richter. No nosso exercício conseguimos fazer isso, conseguimos cortar 3 barras, com uma seção, e uma dessas barras é exatamente a que queremos determinar.

      Passo 4

      O quarto passo consiste em escolher um dos lados da seção para permanecer e descartar o outro lado da seção. Se pararmos para olhar a nossa seção com os carregamentos

      Podemos ver que a parte da treliça a direita da seção de Richter vermelha possui mais carregamentos do que do lado esquerdo, logo, para ficar mais fácil de calcular, iremos descartar o direito, e permaneceremos com o lado esquerdo.

      Passo 5

      Primeiro separamos a seção que iremos calcular

      E sabemos que devemos, para toda barra cortada, colocar um normal saindo da seção que foi cortada, o que simboliza exatamente o quarto passo do nosso passo a passo.

      Passo 6

      Agora o quinto e último passo consiste em escolhermos a melhor opção para fazermos o equilíbrio dos normais.

      Veja que por exemplo, se quisermos calcular o normal BC, precisamos fazer o equilíbrio de momentos fletores no nó D, sabemos o seu posicionamento, e por isso podemos fazer o somatório de momentos nele.

      Mas você pode se perguntar, porque o nó D?

      Veja que as barras CD e AB se encontram no ponto D, e além disso, são incógnitas, ou seja, se fizermos o somatória de momentos no nó D, que sabemos que tem que ser igual a zero por ser uma treliça, teremos que a única incógnita do problema será N B C que queremos calcular, fazendo isso teremos

    • ∑ M D = 0

    5   .   N B C - 50   .     5 = 0

    Substituindo

    5 N B C   = 250

    N B C = 50   K N

    Viu como é simples? Com 3 linhas já achamos o valor do normal N B C .

    Resposta

    N B C = 50   K N

    Exercício Resolvido #2

    Elaboração Própria

    Determine o normal da barra AB e CD da treliça abaixo, usando o método da seção de Richter.

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Para resolvermos a nossa treliça pelo método da seção de Richter precisamos ter me mente o seguinte passo a passo.

    • Primeiro devemos calcular as reações de apoios da nossa treliça, que será calculada levando em consideração dois fatores
    • As reações

      E as equações de equilíbrio

      ∑ F x = 0

      ∑ F y = 0

      ∑ M a = 0

    • A segunda coisa que temos que fazer é passar uma seção que corte a barra que pretendemos calcular, e que além disso respeite a regrinha de cortar apenas 3 barras.
    • A terceira coisa que devemos fazer é eliminar um dos lados da treliça quando tivermos definido a seção de Richter.
    • A quarta coisa que devemos fazer é o equilíbrio da seção que nos restar. Nesse equilíbrio iremos calcular os normais das barras que tivermos cortado.
    • Por fim, o quinto e último passo consiste em escolher a melhor forma de fazer o equilíbrio das seções. Na grande maioria das vezes a melhor atitude a se tomar é calcular o somatório de momentos em um nó que receba duas barras da nossa seção cortada, pois pense bem, se cortamos 3 barras e vamos fazer o somatório de momentos em um nó que recebe 2 barras, no nosso problema teremos apenas 1 incógnita, e assim essa incógnita será exatamente o normal de um das barras.

    Entendido o nosso passo a passo, vamos usá-lo no nosso exercício.

    Passo 2

    A primeira coisa que devemos fazer como vimos no nosso passo a passo é definir as reações de apoio. Para isso devemos primeiro determinar os vetores reações de apoio e lembrar que sempre consideramos a nossa treliça como um elemento solido e único que usamos para determinar essas reações, com isso teremos que o nosso diagrama de corpo livre será

    Definido os vetores reações de apoio já podemos usar as fórmulas de equilíbrio

    • ∑ F x = 0
    • H a - 50 = 0

      H a = 50