Método da seção de Richter Barras Secundarias

Teoria Completa

Introdução

Vimos na primeira parte como calculamos os normais pelo método da seção de Richter, agora iremos prosseguir com o cálculo, mas com a exceção de que agora calcularemos o normal inclinado, será exatamente esse o foco da segunda parte dessa aula. Bora lá então

  1. Passo 5: cálculo do normal N 2
  2. Como N 2 é uma força inclinada, vamos ter que decompor ele, mas não temos um ângulo, certo? Contudo temos os lados. Olhando a nossa seção com N 2 decomposto, teremos que.

    Decompondo a força teremos que

    N 2 x = N 2   S e n θ

    N 2 y = N 2   C o s θ

    Se você olhar para o nosso exercício vai perceber que na horizontal temos a incógnita N 1 , então vamos fazer o equilíbrio na vertical que não tem nem N 1 e nem N A B , fazendo o equilíbrio teremos

    N 2 y - 5 P - P = 0

    Logo

    N 2 y = 6 P

    N 2   C o s θ = 6 P

    N 2 = 6 P C o s θ

    Mas quando vale o ângulo? Basta descobrimos o seu valor pela relação da nossa treliça em que

    T g θ = 4 7

    θ = A r c T g 4 7 = 29,7 °   ≈ 30 °  

    N 2 = 6 P C o s 30 ° = 6 P 3 2 = 12 P 3 = 4 P 3

  3. Resumo

Então vamos fazer um resuminho do passo a passo

  • Primeiro: calculamos as reações de apoio
  • Segundo: definimos onde passar a seção e escolhemos qual dos lados da estrutura deveríamos usar para calcular
  • Terceiro: equilibramos a nossa peça aplicando os normais correspondentes as barras que cortamos
  • Quarto: calculamos o nosso normal através do somatório de momentos no nó que tiver mais incógnitas apontando para ele.
  • Quinto: calculamos outra força normal através de outra equação de equilíbrio

Agora é só treinar com os exercícios que o 10 vem na certa!!!

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Exercício Resolvido #1

Hibbeler – Exemplo 6.5

Determine a força nos elementos GE,GC e BC da treliça mostrada abaixo. Indique se os elementos estão sob tração ou compressão.

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Passo 1

Bom, precisamos começar entendendo o enunciado,

De acordo com o enunciado, para esse exercício precisaremos calcular as reações nos elementos GE, GC e BC, a fim de entender quais elementos estão sobre tração e quais sobre compressão, mas dessa vez usando o método das seções. Bora lá?

Agora, precisamos entender quais são as reações nos apoios nessa treliça;

Temos dois apoios, um apoio de segundo gênero no ponto A e um apoio de primeiro gênero no ponto D.

No apoio do ponto A, existem uma reação Ax e uma reação Ay, visto que temos um apoio de segundo gênero.

Já no apoio do ponto D, existe apenas uma reação Dy, visto que temos um apoio de primeiro gênero.

O DCL do corpo ficará assim;

Passo 2

Agora, vamos escolher a melhor seção para dividir treliça!

Nesse exemplo cara, o enunciado facilitou um pouco a nossa vida, pois ele já deixou indicado que a melhor seção para cortarmos é a seção a-a.

Assim com o corte a treliça ficará dessa forma:

Mas porquê a melhor opção seria cortar a treliça nessa posição?

Essa posição foi escolhida, pois o corte nessa posição passa pelas três barras que precisamos determinar as reações. (Essa é uma dica muito importante, sempre corte as seções nos locais que seja possível pegar o maior número possível de barras que você deseja encontrar as reações)

Passo 3

Não me abandonou? Então continua aqui comigo...

Agora vamos determinar as reações externas em A e D, ou seja as reações dos apoios. Para isso precisamos aplicar as equações de equilíbrio, são elas:

Somatório das forças horizontais igual a zero:

∑ F x = 0 400   N - A x = 0 A x = 400   N Somatório dos momentos igual a zero:

∑ M = 0 - 1200 ⋅ 8 m - 400 ⋅ 3 m + D y ⋅ 12 m = 0 D y = 900   N

Somatório das forças verticais igual a zero:

∑ F y = 0 A y + D y   -   1200 = 0 A y = 1200 - D y A y = 1200 - 900 A y = 300   N

Passo 4

Vamos lá, já determinamos os valores de todas as reações externas, agora precisamos encontrar as reações nas barras desejadas! Para isso vamos isolar a seção da esquerda da treliça. (Super Dica: Tanto faz qual seção isolar, porém escolha sempre a que lhe parece ter contas mais fáceis, ou seja menos reações totais).

Vamos começar analisando a seção esquerda;

Somatório dos momentos em relação ao ponto G igual a zero: (Super Dica: escolha o ponto que tiver mais forças sendo aplicadas, para ser o referencial, para que elas sumam na conta)

∑ M = 0 300 ⋅ 4 m + 400 ⋅ 3 m - F b c ⋅ 3 m = 0 F b c = 800   N (TRAÇÃO)

Da mesma forma, o somatório dos momentos em relação ao ponto C fornece uma solução direta para Fge;

∑ M = 0 300 ⋅ 8 m - F g e ⋅ 3 m = 0 F g e = 800 N (COMPRESSÃO)

Visto que Fbc e Fge não apresentam componentes verticais, o somatório das forças na direção vertical fornece diretamente Fgc, em outras palavras:

Somatório das forças verticais igual a zero:

∑ F y = 0 300 - 3 5 ⋅ F g c = 0 F g c = 500 N (TRAÇÃO)

Resposta

F b c = 800   N (TRAÇÃO)

F g e = 800 N (COMPRESSÃO)

F g c = 500 N (TRAÇÃO)

Exercício Resolvido #2

Prova USP(Universidade de São Paulo )/PUC - Campinas - Professor José Luiz Arruda - Adaptado

Considere a treliça abaixo e determine as forças nas barras 4-6, 5-6 e 5-7. Para isso obrigatoriamente use o corte da seção definida por M-N. (Considere 0,8 t e 0,2 t como as forças realizadas pelos apoios)

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Passo 1

Faaala, nessa questão o professor, já especificou que precisaremos usar o corte M-N, para resolver a questão correto?

Significa então, que precisaremos utilizar o método das seções para poder determinar cada reação nas barras!

Nosso primeiro passo é escolher qual lado da treliça utilizar. Alguma ideia?

É isso mesmo que você está pensando... vamos utilizar o lado direito da treliça, pois o lado direito apresenta menos forças de reação do que o lado esquerdo, pelo falo de ter um apoio de primeiro gênero!

A princípio sempre é bom escolhermos o lado com menor número de reações.

Visto isso, teremos;

Passo 2

Agora com o lado da treliça escolhido, iremos aplicar as fórmulas de equilíbrio.

Importante (Vale lembrar que se a treliça toda está em equilíbrio, uma seção qualquer dela também está em equilíbrio)!Somatório dos momentos em relação ao Nó 5;

∑ M = 0 - N 46 ⋅ 2 m -   0,2 ⋅ 6 m = 0 N 46 = - 0,2 ⋅ 6 2 N 46 =   - 0,6   t

Somatório dos momentos em relação ao ponto 6;

∑ M = 0 N 57 ⋅ 2 m - 0,2 ⋅ 5 m =   0 N 57 = 0,2 ⋅ 5 2 N 57 = 0,5   t

Somatório das forças na vertical;

∑ F y = 0 - N 56 ⋅ s e n α ° + 0,2 =   0 N 56 = 0,2 s e n α °

Agora temos um problema, como encontrar α?

Uma observação pontual pode resolver esse problema! Você reparou que podemos usar as propriedades de trigonometria e teremos que;

T g α ° = C o C a = 2 1 = 2 α °   =   63,43 °

S e n α ° = S e n 63,43 ° = 0,866

Retornando a conta da reação;

N 56 = 0,2 0,866 N 56 = 0,23 t

Resposta

N 57 = 0,5   t N 56 = 0,23   t N 46 =   - 0,6   t  

As forças com sinal positivo são forças de tração, já as com sinal negativo são forças de compressão.

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Determinar as forças normais nas barras da treliça dada.

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Passo 1

Vamos entender o enunciado... Bora lá?

De acordo com enunciado, precisamos encontrar todas as forças em todas as barras.

Porém antes, precisamos comentar duas coisas... a primeira é, você deve ter reparado que temos um h e um P que não estão identificados na questão correto?

Não se preocupe com isso, o h você vai ver comigo que vamos poder encontrar, porém o P é um valor incógnita, ou seja a resposta ficará em função de P. Você verá no final...

Agora vamos marcar as forças de reação na treliça em laranja, marca aí...

Não se esqueça, quando temos um apoio de primeiro gênero como o do ponto B, temos apenas esforço na vertical e quando temos um apoio de segundo gênero como o do ponto B, teremos esforço na horizontal e na vertical!Mais uma dica importante, você pode arbitrar a o sentido das forças como achar melhor ou até mais bonitinho, rs!

Pois caso você escolha uma direção e ela esteja errada, você vai encontrar no final o resultado com uma resposta negativa, e na mecânica resultados negativos caracterizam, que a direção é ao contrário do que arbitrou inicialmente!

Passo 2

Boa, agora que já marcamos as reações dos apoios, podemos descobrir outras informações sobre a treliça... Tô muito curioso para descobrir o valor de h, você não? Então vamor lá...

A altura h ela pode ser encontrada de diversas formas, porém a mais fácil e visual é através da aproximação a tangente, assim:

h = T g 53 ° =   1,33 m  

Cara, existe mais uma coisa que pode facilitar nossa vida, se você reparar devido à simetria da estrutura e do carregamento, podemos afirmar que:

- V a = - V b = - P 2

Passo 3

Agora, para determinar a carga axial nas barras 1 e 2, aplica-se o corte AA e BB como na figura abaixo.

Para a parte esquerda do corte AA podemos obter:

Somatório das forças verticais igual a zero:

∑ F y = 0 F 1 ⋅ s e n 53 ° + P 2 = 0 F 1 = - P 2 ⋅ s e n 53 °