Método do Equilíbrio de Nós

Teoria Completa

Nesse tópico vamos ver o seguinte:

  • Determinação das reações de apoio de uma treliça
  • Cálculo dos esforços internos de cada barra a partir do equilíbrio dos nós
  • Determinação se o normal é de compressão ou de tração
  • Como escolher o nó correto para inicia e os nós posteriores ao primeiro
  • Com isso conseguimos resolver qualquer problema de treliças pelo método do equilíbrio de nós, então vamos lá?

    Situação

    Para entendermos o passo a passo da solução de uma treliça precisamos antes de tudo de uma situação que nos permita fazer esse cálculo, com isso imagine que o enunciado da prova peça para você determinar o valor dos esforços normais em todos as barras da treliça dada abaixo:

    Como seu professor é muito bonzinho ele não coloca nenhum número, só letra, e agora, como fugir dessa maldição?

    Ai que vamos aprender a mágica para resolver esse problema.

    Reações dos apoios

    Para determinar as reações de apoio em uma treliça basta que pensemos nela como um copo rígido inteiro, ou seja, ao invés de olharmos para ela como varias barras, olhamos para ela como um grande sólido, como mostra a figura abaixo

    Sabemos que o próximo passo é trocar os apoios pelas reações de apoio, dessa forma teremos que

    Para acharmos as reações basta que façamos o uso das equações de equilíbrio

  • ∑ F x = 0
  • - H b + 2 P = 0

    H b = 2 P

  • ∑ M a = 0
  • 4 a V b - 2 P   .     a - P   .   a = 0

    4 a V b = 3 P a

    V b = 3 4 P

  • ∑ F y = 0
  • V b + V a - P = 0

    V b = 3 4 P

    Substituindo

    3 4 P + V a - P = 0

    V a = P - 3 4 P = P 4

    Escolha dos nós

    Agora que já determinamos as reações dos apoios temos que escolher o melhor nó para começarmos. Para isso temos que pensar da seguinte forma:

  • Para fazermos o equilíbrio em um nó teremos a ajuda de duas equações, sendo elas
  • ∑ F x = 0

    ∑ F y = 0

    Não temos o auxilio da equação do momento pois estamos avaliando um nó por vez, ou seja, as forças sempre estarão concentradas no nó, então sempre que formos calcular o momento no nó ele dará zero, o que não nos ajuda em absolutamente nada.

  • Como só temos duas equações para nos ajudar, quando formos escolher o nó teremos que escolher um número de incógnitas compatíveis, ou seja, se só temos duas equações, em cada nó só poderemos ter duas incógnitas. Como já determinamos as reações de apoio, as únicas incógnitas são as barras. Agora vem o pulo do gato.
  • O melhor nó a ser escolhido em primeiro lugar é aquele que só tiver duas barras nele, ou seja, no nosso exemplo, os únicos nós com apenas duas barras são os nós dos apoios, logo, são eles as melhores opções para começarmos. Vamos nomear os nós para facilitar o processo.

    Equilíbrio do nó A

    Para fazermos o equilíbrio do nó, devemos cortar as barras que saem dele e trocarmos elas por esforços. Como já sabemos, os esforços que agem nas barras são os esforços normais, por conveniência, sempre fazemos eles saindo das barras, porque fazemos assim? Só pelo seguinte

  • Se estiver saindo da barra e for positivo o resultado, então o nosso normal traciona a barra.
  • Se estiver saindo da barra e for negativo o resultado, então o nosso normal está comprimindo a barra.

Vamos ver isso na pratica.

Como podemos ver, quando partimos as barras do ponto A temos a configuração mostrada acima, porém trocamos as barras por esforços, logo teremos.

Perceba que o nome que demos aos normais são os nomes das barras, assim fica mais fácil identificar quem é quem. Agora vem a parte complicada das treliças. Sempre teremos barras inclinadas, e essas barras terão forças inclinadas, e para equilibra-las temos que decompor essas forças, pra isso precisamos dos ângulos dessas barras, então vamos determinar os ângulos.

Determinação do ângulo

Sabemos que olhando as dimensões da nossa seção teremos

Veja que podemos determinar um triangulo retângulo no interior da treliça, agora fica fácil determinar ou o valor do ângulo ou o valor de seno e cosseno e até tangente.

Como nesse caso temos cateto oposto e cateto adjacente iguais, sabemos que

T g θ = a a = 1

Então nesse caso é mais fácil determinar o ângulo, que nesse caso é 45°. Em alguns casos é mais fácil determinar o seno e o cosseno, mas nesse caso é bem mais simples determinar o ângulo. Agora vamos voltar para o equilíbrio do nosso nó A.

Agora que já temos o ângulo podemos decompor o nosso normal N A C nas componentes N A C x e N A C y , dessa forma podemos escrever os nossos vetores decompostos como

N A C x = N A C   .   C o s θ

N A C y = N A C   .   S e n θ

Dessa forma teremos que fazer o equilíbrio da seguinte figura

Você pode estar se perguntando, “poxa, V a e N A C y não estão alinhados, não deveria ter um momento nesse caso?”

Não, pois no caso isso é só uma representação para ficar mais fácil saber para onde cada normal está apontando, mas sempre se lembre que o equilíbrio é feito no , ou seja, exatamente em cima do nó, não há momento então. Agora chega de ladainha e vamos ao equilíbrio.

  • ∑ F y = 0
  • V a + N A C y = 0

    N A C y = - V a

    Mas já determinamos cada um desses termos, substituindo

    N A C   .   S e n θ = - 1 4 P

    N A C = - 1 4 P S e n 45 °

    N A C = - 1 4 P 2 2 = - 2 P 4 2 = - P 2 4

  • ∑ F x = 0

N A E + N A C x = 0

N A E + N A C   .   C o s θ = 0

N A E = - N A C   .   C o s   45 °

N A E = - N A C 2 2

Como já temos os valores de N A C basta que façamos a substituição

N A E = - - P 2 4 2 2 = + P 4

E olha que interessante

N A C = - P 2 4   ( n e g a t i v o   c o m p r i m e )

N A E = + P 4 ( p o s i t i v o   t r a c i o n a )

E até aqui, aprendemos a fazer o nosso equilíbrio do nó A, para a parte 2 dessa aula, aprenderemos a fazer o equilíbrio do resto dos nós, assim como, aprenderemos a escolher o próximo nó de cálculo, vamos nessa?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Abaixo foi dada uma treliça simples composta por 7 barras. Usando seus conhecimentos determine quais os melhores nós a serem iniciados e determine o valor dos normais das barras que compõem esses nós.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para resolver os problemas sobre treliças precisamos seguir uma sequência de passos que facilita a resolução, em que temos que respeitar o seguinte

  • Primeiro devemos calcular as reações de apoios da nossa treliça, que será calculada levando em consideração dois fatores
  • As reações

    E as equações de equilíbrio

    ∑ F x = 0

    ∑ F y = 0

    ∑ M a = 0

  • A segunda coisa que devemos analisar nesse exercício é o melhor nó, e para isso temos que lembrar que no equilíbrio de nós sempre iremos usar as seguintes equações
  • ∑ F y = 0

    ∑ F x = 0

    Ou seja, se temos duas equações, só podemos ter duas incógnitas para resolver o nosso nó.

    Como cada barra representa uma incógnita, e que pelo passo anterior já teremos calculado as reações de apoio, sabemos que as únicas incógnitas serão as barras, e lembre-se, se cada barra é uma incógnita, e eu só posso ter duas incógnitas por nó, os melhores nós para iniciarmos serão aqueles que tem duas barras.

  • A terceira coisa que devemos ver é que sempre que resolvemos uma barra, tiramos uma incógnita do nosso problema, ou seja, se tivermos nós que compartilhem a mesma barra, pro nó ainda a ser resolvido, a barra compartilhada com ele o ajudará a calcular as desconhecidas, sempre, é claro, respeitando a regra de duas barras desconhecidas por nó, como vimos na teoria.

Se seguirmos esse último passo ao pé da letra, conseguiremos resolver tranquilamente todas as barras de uma treliça.

Agora que já conhecemos os três passos da nossa solução, vamos aplicar eles ao nosso problema.

Passo 2

A primeira coisa que devemos fazer como vimos no nosso passo a passo é definir as reações de apoio. Para isso devemos primeiro determinar os vetores reações de apoio e lembrar que sempre consideramos a nossa treliça como um elemento solido e único que usamos para determinar essas reações, com isso teremos que o nosso diagrama de corpo livre será

Definido os vetores reações de apoio já podemos usar as fórmulas de equilíbrio

  • ∑ F x = 0
  • H a - 100 = 0

    H a = 100

  • ∑ M b = 0
  • - 1,5   . V a + 200   .     3   + 100   .     1,5 = 0

    1,5   . V a = 750

    V a = 500

  • ∑ F y = 0

V b + V a - 200 = 0

Substituindo

V b + 500 - 200 = 0

V b = - 300

Como deu negativo, sabemos que só significa que a direção do vetor que escolhemos está equivocada, ou seja, basta mudarmos a direção do vetor para ficarmos com a direção correta e assim podermos usar o sinal positivo ao invés do negativo

Assim já cumprimos a primeira parte do nosso passo a passo.

Passo 3

Agora que já cumprimos a primeira parte, precisamos fazer a segunda parte, que consiste em definir os melhores nós a serem calculados, e o valor do normal nas barras desses nós.

Como vimos anteriormente, os melhores nós para iniciarmos são aqueles que possuem somente duas barras, já que como vimos, cada nó só pode ter duas barras desconhecidas.

Com isso a nossa barra tem que os melhores nós que ela possui para iniciarmos os cálculos são

Pois são os únicos nós que possuem somente duas barras, logo, são os melhores para iniciarmos.

Passo 4

Agora precisamos fazer o equilíbrio dos nós, vamos começar pelo nó 1.

Sabemos que a primeira coisa que devemos fazer é isolar o nó como vemos abaixo

A segunda coisa que devemos fazer é colocar os normais saindo das barras cortadas

A terceira coisa que devemos fazer é definir o seno e o cosseno do ângulo entre as barras, pra isso usaremos as medidas dadas na nossa treliça

Sabemos que podemos calcular o nosso ângulo pela tangente, dessa forma teremos

T g θ = 1,5 1,5 = 1

Qual ângulo tem tangente igual a 1? Isso mesmo

θ = 45 °

Agora já conseguimos decompor os nossos normais, já que já temos o ângulo, vamos calcula-los então.

Passo 5

Vamos lá então, decompondo os nossos normais teremos que