Solução de grelhas simples

Teoria Completa

Introdução

Vamos entender como funciona uma grelha simples, e para isso vamos usar todo os conceitos que vimos a aula de conceitos mesmo.

É importante nos alertarmos que a visão que temos da grelha é de cima, ou seja, temos que tomar muito cuidado no cálculo das reações e dos momentos.

O que o professor pode pedir em relação as grelhas?

Ele pode pedir tudo que sempre pede:

  • Reações de apoio
  • Diagrama de momento
  • Diagrama de cortante

Mas é muito importante ver que tudo que iremos calcular está sendo visto de cima, ou seja, quando formos desenhar os diagramas, temos que voltar para a visão de perfil, ver o carregamento e as reações de apoio, e só aí, desenhar o diagrama de momentos fletores. Mas vamos fazer o passo a passo para sabermos o que devemos fazer certinho, bora lá.

Situação

Imagine que na sua prova o professor pedisse a equação do momento fletor da barra BC da grelha simples dada abaixo

Pode parecer que é muito complexo resolver esse tipo de barra, mas obvio que preparamos um passo a passo pra vocês não precisarem ficar assustados, bora lá?

Passo 1: balanceamento de incógnitas e equações

Pra fazermos esse balanceamento precisamos saber o que temos de reação de apoio e de equação, vamos a contabilidade do número de equações primeiro

  • Equações
  • Sabemos que em grelhas nos ignoramos qualquer reação horizontal, já que não temos carregamento nessa direção, mas ainda temos 3 equações que são

    ∑ F y = 0

    ∑ M f l e t o r   = 0

    ∑ M t o r s o r = 0

    Como não temos nenhuma rótula, significa que só temos 3 equações mesmo.

  • Incógnitas
  • Primeiro temos um apoio do primeiro gênero, que nos dará 1 incógnita que será representada por

    Eu chamo de V para indicar que é uma força Vertical.

    O segundo apoio é um apoio do tipo dobradiça, que fornece duas reações, sendo uma reação vertical e uma reação de momento torsor, sempre perpendicular ao apoio de dobradiça.

    Nesse caso o que eu chamo de T é a nossa reação de Torsor.

    logo se fizermos a contabilidade de incógnitas e equações veremos que temos

    3   e q u a ç õ e s = 3   i n c o g n i t a s  

    O que caracteriza uma estrutura isostática, vimos bem essas definições nas aulas de pórticos, vigas e treliças, e sabemos que aqui só resolveremos estruturas isostáticas.

    Passo 2: trocar cargas distribuídas por cargas concentradas

    É muito difícil trabalhar com as barras com cargas distribuídas, então, vamos fazer o seguinte, trocar todas as cargas distribuídas por carregamentos concentrados

  • BARRA AB
  • Para isso apenas precisamos fazer o seguinte cálculo

    40   .   3 - 1 = 80   K N   ( c o n c e n t r a d o s   n o   m e i o   d a   b a r r a )

  • BARRA BC
  • Nesse caso precisamos do comprimento da barra inclinada, sabemos que ela forma um triangulo retângulo com os catetos dados na figura, dessa forma achamos que seu comprimento será

    L = 1 2 + 0,75 2 = 1,25   m

    Com o comprimento fica fácil achar o carregamento concentrado, que será dado por

    40   .   1,25 = 50   K N   ( c o n c e n t r a d o   n o   m e i o   d a   b a r r a )

    Substituindo os apoios por suas reações, e as cargas distribuídas pelas concentradas teremos que

    Passo 3: Cálculo das reações de apoio

    O cálculo das reações de apoio usará as formulas de equilíbrio que destacamos lá em cima, mas temos que tomar muito cuidado com os braços de alavanca, por isso vamos tomar bastante cuidado, vamos fazer cada fórmula de cada vez

  • ∑ M f l e t o r   = 0
  • Nesse caso, sabemos que a nossa dobradiça não transfere momentos, ou seja, obrigatoriamente nela o somatório de momentos é zero, ou seja, precisamos fazer todos os braços de alavancas para momento fletor na nossa dobradiça, com isso teremos

    Perceba que nesse caso, todos os braços de alavancas de momento fletor, são perpendiculares a dobradiça, todas as forças devem multiplicar o braço de alavanca correspondente, exceto a carga de 120 K N .   m que já é um momento fletor direto, ou seja, podemos levar ele diretamente para a dobradiça sem multiplicar por nada. Com relação aos sinais eu arbitro positivo pra cima e negativo pra baixo, mas você tem liberdade da escolha dos sinais. Sabendo de tudo isso, o nosso equilíbrio de momentos fletores será

    - 120 + 3 V A - 2   .   80 + 1   .   125 - 0,5   .   50 = 0

    V A = 60   K N

  • ∑ F y   = 0
  • Nesse caso não precisamos de braços de alavancas, só somar e subtrair as forças, considerando sair do papel positivo e entrar no papel negativo, teremos que

    + V A - 80 + 125 - 50 + V C = 0

    + 60 - 80 + 125 - 50 + V C = 0

    V C = - 55   K N

    Como eu sempre digo, usar negativo é muito ruim, por isso eu inverto o sentido que escolhi no original e uso o valor da reação positivo, dessa forma teremos

    V C = 55   K N

  • ∑ M T o r s o r   = 0
  • Agora para terminarmos todas as reações de apoios falta penas determinarmos o valor do momento torsor no nosso apoio, e como é momento, novamente precisamos dos baços de alavancas, mas pense só, se no momento fletor o braço de alavanca é perpendicular, então no momento torsor os braços de alavancas serão paralelos, e no caso teremos no nosso exemplo os seguintes braços de alavanca.

    Nesse caso o momento de 120   K N . m   não será levado por se tratar completamente de um momento fletor, nada tendo a ver com momento torsor. E com relações aos sinais eu considero positivo todos os torques que estiverem pra esquerda e negativo todos que estiverem para direita. Assim sendo teremos que

    - 0,75 V A + 80   .   0,75 - 125   .   0,75 + 50   .   0,375 + T C = 0

    - 0,75   .     60 + 80   .   0,75 - 125   .   0,75 + 50   .   0,375 + T C = 0

    T C = 60   K N . m

    Assim temos todas as reações de apoios, que são dadas por

    Passo 4: Diagrama de momento Fletor da barra BC

    Para analisarmos o diagrama de momento fletor da barra BC, precisamos, primeiro, nos livrar do trecho AB e transferir tudo do trecho AB para o trecho BC, como fazer isso? Só levar tudo to trecho AB, pro ponto B, dessa forma teremos

    Agora que levamos tudo do trecho AB, vamos calcular a resultante no Ponto B, tanto de forças quanto de momentos

    Agora que só temos a barra BC, pasta que decompormos os momentos em uma componente paralela a barra e uma componente perpendicular a barra

    A partir desse triangulo sabemos que as nossas componentes e a relação com os ângulos são,

    Pra achar o ângulo basta fazer a relação

    θ = a r c   t g 0,75 1 = 37 °

    Fazendo a decomposição teremos

  • Momento de 80 K N . m
  • M p e r p e n d i c u l a r   B = 80   .   C o s 37 ° = 64   K N . m

    M p a r a l e l o   B = 80   .   S e n 37 ° = 48   K N . m

  • Momento de 60 K N . m

M p e r p e n d i c u l a r   B = 60   .   S e n   37 ° = 36   K N . m

M p a r a l e l o   B = 60   .   C o s   37 ° = 48   K N . m

Redesenhando a barra, com as cargas separadas teremos

Mas é aqui que temos que ter o pulo do gato, essa visualização é superior, para desenhar o diagrama e determinar a equação do momento fletor, precisamos ter uma visualização frontal, ou seja, se ao invés de olharmos a nossa barra de cima, olharmos ela de frente, veremos o seguinte carregamento.

Ou seja, basta resolvermos uma viga simples com o carregamento mostrado, e no caso, já aprendemos a resolver vigas simples no capitulo de vigas.

Obs:. A carga de 40KN/m estava distribuída desde o início. O que decidimos fazer foi deixar ela concentrada apenas pra facilitar os cálculos das reações de apoio. Como agora o que queremos são fórmulas ou diagramas, temos que obrigatoriamente voltar com a carga distribuída e retirar a concentrada, como fizemos ali em cima.

Se formos resolver a nossa viga pelas fórmulas teremos que

q x = - 40

V x = ∫ q x + C = ∫ - 40 + C = - 40 x + C

Sabemos que em

x = 0

V 0 = 105

Substituindo na equação teremos

V x = - 40 x + C

V 0 = - 40   .   0 + C = 105

Logo o nosso cortante será

V x = - 40 x + 105

Para achar o momento temos que fazer

M x = ∫ V x + C = ∫ - 40 x + 105   + C

M x = - 40 x 2 2 + 105 x + C

Como podemos ver em

x = 0

M 0 = - 64   ( t r a c i o n a   a s   f i b r a s   d e   c i m a   é   n e g a t i v o )

Substituindo teremos

M 0 = - 40   .     0 2 2 + 105   .   0 + C = - 64

C = - 64

Logo o nosso momento fletor será

M x = - 40 x 2 2 + 105 x - 64

Ufa, em fim resolvemos o que o professor pediu na questão, agora é treinar mais exercícios e correr pro abraço, o professor pode colocar qualquer questão na prova que agora vocês vão ficar craque pra resolver qualquer coisa, borá fazer exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Dada a grelha abaixo, determine o valor das reações de apoio dela.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que para resolver a nossa grelha, precisamos seguir uma sequência de passos muito importante, que irá funcionar da seguinte maneira

  • Primeiro iremos fazer o balanceamento de incógnitas e equações presentes na nossa grelha.
  • Em segundo lugar iremos fazer a troca dos apoios por vetores correspondentes a esses apoios
  • Em terceiro lugar iremos trocar todas as cargas distribuídas por cargas concentradas para facilitar os cálculos
  • Em quarto lugar calculamos o valor das reações de equilíbrio
  • E por fim, quando o enunciado pedir, iremos calcular o diagrama de cortantes e momentos fletores, tendo em alguns casos o diagrama de torsor também. Alguns exercícios ao invés de pedir o diagrama irá pedir o momento e o cortante em pontos específicos, esse caso também se aplica ao ultimo estágio da nossa solução.

Entendido isso, bora aplicar esse conhecimento no nosso exercício.

Passo 2

Vemos que o primeiro passo consiste em fazermos o balanceamento de equações e incógnitas da nossa estrutura. Pra fazermos esse balanceamento precisamos saber o que temos de reação de apoio e de equação, vamos a contabilidade do número de equações primeiro

  • Equações
  • Sabemos que em grelhas nos ignoramos qualquer reação horizontal, já que não temos carregamento nessa direção, mas ainda temos 3 equações que são

    ∑ F y = 0

    ∑ M f l e t o r   = 0

    ∑ M t o r s o r = 0

    Como não temos nenhuma rótula, significa que só temos 3 equações mesmo.

  • Incógnitas
  • Temos apenas um apoio do terceiro gênero, que nos dará 3 incógnitas que serão representadas por

    Eu chamo de V para indicar que é uma força Vertical.

    Nesse caso o que eu chamo de T é a nossa reação de Torsor.

    E o que eu chamo de M é a nossa reação de Momento Fletor

    logo se fizermos a contabilidade de incógnitas e equações veremos que temos

    3   e q u a ç õ e s = 3   i n c o g n i t a s  

    O que caracteriza uma estrutura isostática, vimos bem essas definições nas aulas de pórticos, vigas e treliças, e sabemos que aqui só resolveremos estruturas isostáticas.

    Passo 3

    Como vimos, na sequência de passos, devemos trocar o nosso apoio por reações nos sentidos e direções corretas, dessa forma a nossa estrutura ficará da seguinte maneira

    Passo 4

    Sabemos que na sequência de passos, devemos trocar todas as cargas distribuídas por cargas concentradas, dessa forma, teremos que

  • BARRA COM CARGA DISTRIBUÍDA
  • Para isso apenas precisamos fazer o seguinte cálculo

    20   .   2 = 4 0   K N   c o n c e n t r a d o s   n o   m e i o   d a   b a r r a

    Dessa forma a nossa barra ficará da seguinte maneira

    Passo 5

    O próximo passo da nossa sequência é exatamente o cálculo das reações de apoio. Sabemos que o cálculo das reações de apoio usará as formulas de equilíbrio que destacamos lá em cima, mas temos que tomar muito cuidado com os braços de alavanca, por isso vamos tomar bastante cuidado, vamos fazer cada fórmula de cada vez

  • ∑ M f l e t o r   = 0
  • Sabemos que para termos equilíbrio devemos saber que o somatório de momentos em qualquer ponto da nossa barra deve ser zero, com isso, o ponto que iremos escolher é o ponto A que representa o nosso apoio. Dessa forma teremos

    Perceba que nesse caso, todos os braços de alavancas de momento fletor, são perpendiculares ao apoio, todas as forças devem multiplicar o braço de alavanca correspondente. Com relação aos sinais eu arbitro positivo pra cima e negativo pra baixo, mas você tem liberdade da escolha dos sinais. Sabendo de tudo isso, o nosso equilíbrio de momentos fletores será

    M A - 2 00   .   3 + 40   .   6 + 100   .   9 = 0

    M A = - 540   K N . m

    Como é negativo devemos apenas inverter o vetor, para assim usarmos o momento com valor positivo que conhecemos, dessa forma teremos que

    Vamos a próxima equação de equilíbrio.

  • ∑ F y   = 0
  • Nesse caso não precisamos de braços de alavancas, só somar e subtrair as forças, considerando sair do papel positivo e entrar no papel negativo, teremos que

    + V A + 200 - 40 - 10 0 = 0

    + V A + 60 = 0

    V A = - 60   K N

    Como eu sempre digo, usar negativo é muito ruim, por isso eu inverto o sentido que escolhi no original e uso o valor da reação positivo, dessa forma teremos

  • ∑ M T o r s o r   = 0

Agora para terminarmos todas as reações de apoios falta apenas determinarmos o valor do momento torsor no nosso apoio, e como é momento, novamente precisamos dos baços de alavancas, mas pense só, se no momento fletor o braço de alavanca é perpendicular, então no momento torsor os braços de alavancas serão paralelos, e no caso teremos no nosso exemplo os seguintes braços de alavanca.

Com relações aos sinais eu considero positivo todos os torques que estiverem pra esquerda e negativo todos que estiverem para direita. Assim sendo teremos que

+ 20 0   . 4 - 40   .   3 - 10 0   .   2 - T A = 0

480 - T A = 0

T A = 48 0   K N . m

Assim temos todas as reações de apoios, que são dadas por

Resposta

T A = 480   K N . m

M A = 54 0   K N . m

V A = 6 0   K N

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Dada a grelha abaixo, determine o valor das reações de apoio dela.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que para resolver a nossa grelha, precisamos seguir uma sequência de passos muito importante, que irá funcionar da seguinte maneira

  • Primeiro iremos fazer o balanceamento de incógnitas e equações presentes na nossa grelha.
  • Em segundo lugar iremos fazer a troca dos apoios por vetores correspondentes a esses apoios
  • Em terceiro lugar iremos trocar todas as cargas distribuídas por cargas concentradas para facilitar os cálculos
  • Em quarto lugar calculamos o valor das reações de equilíbrio
  • E por fim, quando o enunciado pedir, iremos calcular o diagrama de cortantes e momentos fletores, tendo em alguns casos o diagrama de torsor também. Alguns exercícios ao invés de pedir o diagrama irá pedir o momento e o cortante em pontos específicos, esse caso também se aplica ao ultimo estágio da nossa solução.

Entendido isso, bora aplicar esse conhecimento no nosso exercício.

Passo 2

Vemos que o primeiro passo consiste em fazermos o balanceamento de equações e incógnitas da nossa estrutura. Pra fazermos esse balanceamento precisamos saber o que temos de reação de apoio e de equação, vamos a contabilidade do número de equações primeiro

  • Equações
  • Sabemos que em grelhas nos ignoramos qualquer reação horizontal, já que não temos carregamento nessa direção, mas ainda temos 3 equações que são

    ∑ F y = 0

    ∑ M f l e t o r   = 0

    ∑ M t o r s o r = 0

    Como não temos nenhuma rótula, significa que só temos 3 equações mesmo.

  • Incógnitas
  • Primeiro temos um apoio do primeiro gênero, que nos dará 1 incógnita que será representada por

    Eu chamo de V para indicar que é uma força Vertical.

    O segundo apoio é um apoio do tipo dobradiça, que fornece duas reações, sendo uma reação vertical e uma reação de momento torsor, sempre perpendicular ao apoio de dobradiça.

    Nesse caso o que eu chamo de T é a nossa reação de Torsor.

    Eu chamo de V para indicar que é uma força Vertical.

    logo se fizermos a contabilidade de incógnitas e equações veremos que temos

    3   e q u a ç õ e s = 3   i n c o g n i t a s  

    O que caracteriza uma estrutura isostática, vimos bem essas definições nas aulas de pórticos, vigas e treliças, e sabemos que aqui só resolveremos estruturas isostáticas.

    Passo 3

    Como vimos, na sequência de passos, devemos trocar o nosso apoio por reações nos sentidos e direções corretas, dessa forma a nossa estrutura ficará da seguinte maneira

    Passo 4

    Sabemos que na sequência de passos, devemos trocar todas as cargas distribuídas por cargas concentradas, dessa forma, teremos que

  • BARRA COM CARGA DISTRIBUÍDA
  • Para isso apenas precisamos fazer o seguinte cálculo

    16 0   .   3 = 4 8 0   K N   c o n c e n t r a d o s   n o   m e i o   d a   b a r r a

    Dessa forma a nossa barra ficará da seguinte maneira

    Passo 5

    O próximo passo da nossa sequência é exatamente o cálculo das reações de apoio. Sabemos que o cálculo das reações de apoio usará as formulas de equilíbrio que destacamos lá em cima, mas temos que tomar muito cuidado com os braços de alavanca, por isso vamos tomar bastante cuidado, vamos fazer cada fórmula de cada vez

  • ∑ M f l e t o r   = 0
  • Sabemos que para termos equilíbrio devemos saber que o somatório de momentos em qualquer ponto da nossa barra deve ser zero, com isso, o ponto que iremos escolher é o ponto C que representa a nossa dobradiça. Dessa forma teremos

    Perceba que nesse caso, todos os braços de alavancas de momento fletor, são perpendiculares ao apoio, todas as forças devem multiplicar o braço de alavanca correspondente. Com relação aos sinais eu arbitro positivo pra direita e negativo pra esquerda, mas você tem liberdade da escolha dos sinais. Sabendo de tudo isso, o nosso equilíbrio de momentos fletores será

    - 9 V A - 4 00   .   9 + 30 0   .   6 + 48 0   .   4,5 - 250   .     3 = 0

    V A = - 390 9 = - 43,33   K N . m

    Como é negativo devemos apenas inverter o vetor, para assim usarmos o momento com valor positivo que conhecemos, dessa forma teremos que

    Vamos a próxima equação de equilíbrio.

  • ∑ F y   = 0
  • Nesse caso não precisamos de braços de alavancas, só somar e subtrair as forças, considerando sair do papel positivo e entrar no papel negativo, teremos que

    + V C + 2 5 0 + 4 0 0 - 30 0 - 480 - 43,33 = 0

    + V C - 173,33 = 0

    V C = 173,33   K N

  • ∑ M T o r s o r   = 0

Agora para terminarmos todas as reações de apoios falta apenas determinarmos o valor do momento torsor no nosso apoio, e como é momento, novamente precisamos dos baços de alavancas, mas pense só, se no momento fletor o braço de alavanca é perpendicular, então no momento torsor os braços de alavancas serão paralelos, e no caso teremos no nosso exemplo os seguintes braços de alavanca.

Com relações aos sinais eu considero positivo todos os torques que estiverem pra cima e negativo todos que estiverem para baixo. Assim sendo teremos que

- 43,33     .     3,5 + 40 0   .   2 - 3 00   .   2 + 480   .     2 + T C = 0

1008,35 + T C = 0

T C = - 1008,35   K N . m

Assim temos todas as reações de apoios, lembrando de inverter o sentido do torsor, que são dadas por

Resposta

T C = 1008,35   K N . m

V C = 173,33   K N

V A = 43,33   K N

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Dada a grelha abaixo, determine o valor das reações de apoio dela.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que para resolver a nossa grelha, precisamos seguir uma sequência de passos muito importante, que irá funcionar da seguinte maneira

  • Primeiro iremos fazer o balanceamento de incógnitas e equações presentes na nossa grelha.
  • Em segundo lugar iremos fazer a troca dos apoios por vetores correspondentes a esses apoios
  • Em terceiro lugar iremos trocar todas as cargas distribuídas por cargas concentradas para facilitar os cálculos
  • Em quarto lugar calculamos o valor das reações de equilíbrio
  • E por fim, quando o enunciado pedir, iremos calcular o diagrama de cortantes e momentos fletores, tendo em alguns casos o diagrama de torsor também. Alguns exercícios ao invés de pedir o diagrama irá pedir o momento e o cortante em pontos específicos, esse caso também se aplica ao ultimo estágio da nossa solução.

Entendido isso, bora aplicar esse conhecimento no nosso exercício.

Passo 2

Vemos que o primeiro passo consiste em fazermos o balanceamento de equações e incógnitas da nossa estrutura. Pra fazermos esse balanceamento precisamos saber o que temos de reação de apoio e de equação, vamos a contabilidade do número de equações primeiro

  • Equações
  • Sabemos que em grelhas nos ignoramos qualquer reação horizontal, já que não temos carregamento nessa direção, mas ainda temos 3 equações que são

    ∑ F y = 0

    ∑ M f l e t o r   = 0

    ∑ M t o r s o r = 0

    Como não temos nenhuma rótula, significa que só temos 3 equações mesmo.

  • Incógnitas
  • Primeiro temos três apoios do primeiro gênero, que nos dará 1 incógnita por apoio que será representada por

    Eu chamo de V para indicar que é uma força Vertical.

    logo se fizermos a contabilidade de incógnitas e equações veremos que temos

    3   e q u a ç õ e s = 3   i n c o g n i t a s  

    O que caracteriza uma estrutura isostática, vimos bem essas definições nas aulas de pórticos, vigas e treliças, e sabemos que aqui só resolveremos estruturas isostáticas.

    Passo 3

    Como vimos, na sequência de passos, devemos trocar o nosso apoio por reações nos sentidos e direções corretas, dessa forma a nossa estrutura ficará da seguinte maneira