Exercícios Resolvidos de Rigidez Relativa

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Enunciado

Obter o diagrama de momentos fletores para a viga de inércia constante. Dado: E J = 1500   k N m 2 .

Utilize as seguintes tabelas:

Passo 1

Fala, pessoal!!! A questão pede para que façamos o diagrama dos momentos fletores da nossa viga. Para isso vamos utilizar o método dos deslocamentos. Portanto, vamos seguir o seguinte passo a passo:

  • Aplicar o engaste nos nós que possuem deslocabilidades internas.
  • Descobrir a equação que rege o sistema.
  • Utilizar as tabelas para acharmos os valores de β i j .
  • Achar os deslocamentos Δ i .
  • Com os valores de Δ i encontrar os momentos de cada sistema em cada nó.
  • Finalmente desenhar o diagrama.

Então partiu!

Passo 2

Como dito a primeiro coisa a se fazer é aplicar o engaste nos nós que possuem deslocabilidades internas, fazendo isso vamos ter:

Agora sabemos que temos 1 chapas na nossa estrutura, como podemos ver ali em cima. Como temos apenas uma chapa vamos ter uma equação da forma:

β 10 + β 11 . Δ 1 = 0

Agora a gente tem que achar os valores de β 10 e β 11 também!!

Passo 3

Para determinar os valores desses coeficientes nós precisamos combinar o carregamento com a condição dos apoios através da tabelinha:

Vamos descobrir primeiro o valor para o sistema 0 que representa o carregamento, neste caso, β 10 .

Olhando a conta para cara barra teremos que:

Substituindo os valores vamos ter:

Ou seja, o valor de β 10 é:

β 10 = + 5 0 4 2 12

β 10 = 66,67

Passo 4

Agora vamos calcular β 11 . Para isso vamos precisar da outra tabelinha:

Vamos rotacionar a chapa B e obtemos:

Dessa forma vamos ter:

β 11 = 4 E J L 1 + 3 E J L 2

Como estamos utilizando a rigidez relativa vamos dividir por E J e obter:

β 11 = 4 L 1 + 3 L 2 = 4 4 + 3 4 = 1,75

Passo 5

Organizando o sistema temos que:

β 10 + β 11 . Δ 1 = 0

Substituindo:

66,67 + 1,75 . Δ 1 = 0

E podemos calcular a deformação:

Δ 1 = - 66,67 1,75 = - 38,1

Passo 6

Agora vamos encontrar o momento fletor de cada nó em cada sistema.

  • Sistema 0
  • Sistema 1

Substituindo os valores vamos ter:

Agora vamos combinar os dois sistemas de forma a obter o momento fletor:

Para a barra A B vamos ter os nós A e B , começando pelo nó A :

M A   ( b a r r a   A B ) = M 0 A   ( b a r r a   A B ) + M 1 A   b a r r a   A B . Δ 1

M A   ( b a r r a   A B ) = 0 + 0,5 . ( - 38,1 ) = - 19,05   k N . m

Para o nó B nós vamos ter:

M B   ( b a r r a   A B ) = M 0 B   ( b a r r a   A B ) + M 1 B   b a r r a   A B . Δ 1

M B   ( b a r r a   A B ) = 0 + 1 . ( - 38,1 ) = - 38,1   k N . m

Agora para a barra B C , fazendo primeiro para o nó B :

M B   ( b a r r a   B C ) = M 0 B   ( b a r r a   B C ) + M 1 B   b a r r a   B C . Δ 1

M B   ( b a r r a   B C ) = 66,67 + 0,75 . - 38,1 = 38,1   k N . m

Para o nó C :

M C   ( b a r r a   B C ) = M 0 C   ( b a r r a   B C ) + M 1 C   b a r r a   B C . Δ 1

M C   ( b a r r a   B C ) = 0 + 0 . Δ 1 = 0

Passo 7

Colocando os valores que acabamos de achar na viga:

E para acharmos o diagrama a gente precisa lembrar também do diagrama da carga inicial:

Agora aplicando a combinação das duas vamos ter:

Resposta