Exercícios Resolvidos de Rigidez Relativa

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Enunciado

Obter o diagrama de momentos fletores para a viga de inércia constante. Dado: E J = 1500   k N m 2 .

Utilize as seguintes tabelas:

Passo 1

Fala, pessoal!!! A questão pede para que façamos o diagrama dos momentos fletores da nossa viga. Para isso vamos utilizar o método dos deslocamentos. Portanto, vamos seguir o seguinte passo a passo:

  • Aplicar o engaste nos nós que possuem deslocabilidades internas.
  • Descobrir a equação que rege o sistema.
  • Utilizar as tabelas para acharmos os valores de β i j .
  • Achar os deslocamentos Δ i .
  • Com os valores de Δ i encontrar os momentos de cada sistema em cada nó.
  • Finalmente desenhar o diagrama.

Então partiu!

Passo 2

Como dito a primeiro coisa a se fazer é aplicar o engaste nos nós que possuem deslocabilidades internas, fazendo isso vamos ter:

Agora sabemos que temos 2 chapas na nossa estrutura, como podemos ver ali em cima. Como temos apenas uma chapa vamos ter um sistema de equações da forma:

β 10 + β 11 . Δ 1 + β 12 . Δ 2 = 0

β 20 + β 21 . Δ 1 + β 22 . Δ 2 = 0

Agora a gente tem que achar os valores de β 10 , β 11 , β 12 , β 20 , β 21 e β 22 também!!

Passo 3

Para determinar os valores desses coeficientes nós precisamos combinar o carregamento com a condição dos apoios através da tabelinha:

Vamos descobrir primeiro o valor para o sistema 0 que representa o carregamento, neste caso, β 10 .

Olhando a conta para cara barra teremos que:

Ou seja, o valor de β 10 é:

β 10 = + 80 ( 3 ) 8 = + 30   k N . m

E o valor de β 20 é:

β 20 = - 80 3 8 = - 30   k N . m

Passo 4

Agora vamos calcular β 11 , β 12 ,   β 21   e   β 22   . Para isso vamos precisar da outra tabelinha:

Vamos rotacionar a chapa B para obtermos β 11 e β 21 obtemos:

Dessa forma vamos ter:

β 11 = 4 E J L 1 + 4 E J L 2

Como estamos utilizando a rigidez relativa vamos dividir por E J e obter:

β 11 = 4 L 1 + 3 L 2 = 4 8 + 4 6 = 1,167

Assim como,

β 21 = - 2 E J l

Novamente nós vamos dividir por E J (lembre-se que temos de fazer isso para todos os membros)!

β 21 = 2 l = 2 6 = 0,333

Passo 5

Agora vamos rotacionar o sistema 2 de forma a achar β 21 e β 22 :

Dessa forma vamos ter:

β 21 = 2 E J L 2

Como estamos utilizando a rigidez relativa vamos dividir por E J e obter:

β 21 = 2 L 1 = 2 6 = 0,333

Assim como,

β 22 = 4 E J l 1 + 4 E J l 2

Novamente nós vamos dividir por E J (lembre-se que temos de fazer isso para todos os membros)!

β 22 = 4 6 + 4 8 = 1,167

Passo 6

Organizando o sistema temos que:

β 10 + β 11 . Δ 1 + β 12 . Δ 2 = 0

β 20 + β 21 . Δ 1 + β 22 . Δ 2 = 0

Substituindo:

+ 30 + 1,167 . Δ 1 + 0,333 . Δ 2 = 0

- 30 + 0,333 . Δ 1 + 1,167 . Δ 2 = 0

E podemos calcular as deformações:

Δ 1 = - 36

Δ 2 = + 36

Passo 7

Agora vamos encontrar o momento fletor de cada nó em cada sistema.

  • Sistema 0
  • Sistema 1
  • Sistema 2

Agora vamos combinar os dois sistemas de forma a obter o momento fletor:

Para a barra A B vamos ter os nós A , B e C , começando pelo nó A :

M A   ( b a r r a   A B ) = M 0 A   ( b a r r a   A B ) + M 1 A   b a r r a   A B . Δ 1 + M 2 A b a r r a   A B . Δ 2

M A   ( b a r r a   A B ) = 0 + ( 0,25 ) ( - 36 ) + 0 = - 9   k N . m

Para o nó B nós vamos ter:

M B   ( b a r r a   A B ) = M 0 B   ( b a r r a   A B ) + M 1 B   b a r r a   A B . Δ 1 + M 2 B b a r r a   A B . Δ 2

M B   ( b a r r a   A B ) = 0 + ( 0,50 ) ( - 36 ) + 0 = - 18   k N . m

Agora para a barra B C , fazendo primeiro para o nó B :

M B   ( b a r r a   B C ) = M 0 B   ( b a r r a   B C ) + M 1 B   b a r r a   B C . Δ 1 + M 2 B b a r r a   B C . Δ 2

M B   ( b a r r a   B C ) = 30 + 0,667 . - 36 + 0,333 . 36 = 18   k N . m

Para o nó C

M C   ( b a r r a   B C ) = M 0 C   ( b a r r a   B C ) + M 1 C   b a r r a   B C . Δ 1 + M 2 C   b a r r a   B C . Δ 2

M C   ( b a r r a   B C ) = - 30 + 0,333 . - 36 + 0,667 . 36 = - 18   k N . m

Perceba que, devido à simetria, não precisamos fazer para a barra C D .

Passo 8

Colocando os valores que acabamos de achar na viga:

E para acharmos o diagrama a gente precisa lembrar também do diagrama da carga inicial:

Agora aplicando a combinação das duas vamos ter:

Resposta