Exercícios Resolvidos de Modelagem - MHA e MF

UNA - Mecânica Aplicada - Vibrações Mecânicas

Para o pêndulo mostrado na Figura 2.20 que modela um tipo de sismógrafo: determinar a frequência natural.

Passo 1

Primeiro vamos começar o problema, entendendo o que estamos buscando e como vamos chegar à solução. Ok?

Pois bem, estamos buscando a frequência natural do sistema harmônico com amortecimento C . De acordo com a Teoria, se chegarmos a uma modelagem envolvendo uma EDO de 2º ordem como essa genérica aqui:

x ' ' + 2 λ x ' + ω 0 2 x = 0

Então a frequência natural ω 0 pode ser encontrada a partir do termo que multiplica x . Então, no problema, basicamente devemos modelar o nosso problema e ver se a gente encontra algo parecido. Vamos nessa?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para a modelagem, vamos começar partindo do modelo físico que rege o nosso sismógrafo: as Leis de Newton para pêndulos!

Em pêndulos, estamos interessados em saber qual é o ângulo θ a seguir com o tempo t :

Basicamente, no problema temos três forças criando torques nesse pêndulo, o fazendo balançar com esse θ :

  1. Torque da força peso da bolinha τ p .
  2. Torque da força elástica da molinha τ e .
  3. E por último, Torque da força de amortecimento τ a .

De acordo com Newton, a soma desses torques é um torque resultante τ R e que é diferente 0 , já que o pêndulo não está estático:

τ R = τ p + τ e + τ a

Vamos falar nos próximos passos, o que são cada torque representa. Vamos lá!

Passo 3

Primeiro vamos falar do torque resultante τ R .

Toda vez que temos um pêndulo girando, então podemos calcular o torque resultante dessa forma aqui:

τ R = L ⋅ F

Onde L é à distância da força ao ponto de rotação, enquanto F é a força perpendicular ao movimento. Pelo diagrama a seguir, podemos ver quem é essa força:

O movimento é sempre dado pela trajetória em azul. Como a trajetória S em azul é um arco, então, podemos encontrar tal arco de acordo com a equação:

S t = L ⋅ θ t

Ou seja, é o produto do raio L pelo arco θ !

Sabemos que F = m ⋅ a onde a aceleração é a derivada segunda da trajetória: a = S ' ' t :

a = L ⋅ θ ' ' t

Portanto, o Torque resultante será:

τ R = L ⋅ F         →

τ R = L ⋅ m ⋅ a     →

τ R = L ⋅ m ⋅ a     →

τ R = L ⋅ m ⋅ L ⋅ θ ' ' t     →

τ R = m L 2 θ ' '

Passo 4

Vamos agora falar do torque causado pela força peso da bolinha:

Veja que a única força que de fato importa não é nem o Peso em si, e sim a componente dela perpendicular ao movimento P p e n . Essa força pode ser obtida da seguinte forma:

P p e r = P ⋅ sin ⁡ θ

Onde P = m ⋅ g ...

P p e r = m g ⋅ sin ⁡ θ

Portanto, o torque causado por essa força peso será:

τ p = L m g ⋅ sin ⁡ θ

Como o ângulo θ é pequeno, podemos eliminar esse seno com uma ótima simplificação:

sin ⁡ θ ≈ θ

Logo, podemos dizer que...

τ p = L m g ⋅ sin ⁡ θ =

τ p = m g L θ

Passo 5

Não desista, pois estamos indo bem, faltam ainda dois torques para analisarmos e vamos começar aqui com o τ e :

O torque dessa força elástica é dado por:

τ e = h 2 ⋅ F e

Onde h 2 é a distância de aplicação da força ao ponto de rotação. Enquanto que a força elástica é dada por:

F e = - k 2 x

Onde x é a trajetória em laranja. De forma análoga ao cálculo da trajetória em azul no passo 3...

x = h 2 ⋅ θ

Ou seja, é o produto do raio, que agora é h 2 pelo arco...

Logo...

τ e = h 2 ⋅ F e   →

τ e = - k h 2 x   →

τ e = - k h 2 2 θ

Passo 6

Beleza, agora vamos para o último torque que é o da força de amortecimento τ a ...

Agora, por definição de torque...

τ a = h 1 ⋅ F a

Onde F a é a força de amortecimento proporcional a velocidade...

F a = - c ⋅ v

A velocidade v , entretanto, é a derivada primeira da trajetória circular em rosa dada por t = h 1 ⋅ θ (assim como calculamos qualquer trajetória circular anteriormente é o produto do raio h 1 pelo arco θ )...

v = h 1 ⋅ θ '

Logo...

τ a = h 1 ⋅ F a   →

τ a = - c h 1 ⋅ v   →

τ a = - c h 1 2 ⋅ θ '

Passo 7

Finalmente, depois de todos os torques calculados, podemos retornar para a igualdade do nosso querido passo 2 onde deixamos o problema...

τ R = τ p + τ e + τ a     →

Substituindo todos os passos anteriores...

τ R = τ p + τ e + τ a

m L 2 θ ' ' = m g L θ - k h 2 2 θ - c h 1 2 ⋅ θ '

Passando tudo para um lado só...

m L 2 θ ' ' - m g L θ + k h 2 2 θ + c h 1 2 ⋅ θ ' = 0       →

Reorganizando...

m L 2 ⋅ θ ' ' + c h 1 2 ⋅ θ ' + k h 2 2 - m g L θ = 0  

Para comparar com essa EDO aqui

x ' ' + 2 λ x ' + ω 0 2 x = 0

E descobrirmos quem é o ω 0 , podemos dividir todos os termos por m L 2 ...

θ ' ' + c h 1 2 m L 2 ⋅ θ ' + k h 2 2 - m g L m L 2 θ = 0  

Prontinho! De fato a equação que modela o nosso problema é uma EDO de 2º ordem, e podemos concluir que a frequência angular ω 0 é...

ω 0 2 = k h 2 2 - m g L m L 2       →

ω 0 = k h 2 2 - m g L m L 2    

Resposta

ω 0 = k h 2 2 - m g L m L 2    

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