Teoria Completa
Movimento Harmônico Amortecido (MHA):
Movimentos harmônicos, no geral, são movimentos com a repetição de certo padrão. O sistema massa mola é um ótimo exemplo disso!
Beleza, mas disso você já desconfiava neh, agora eu quero ver você desconfiar dessa: o que são Movimentos Harmônicos Amortecidos?
ISSO MESMO! São movimentos harmônicos que de certa forma tem um “freio” amortecendo-o. Se pensarmos no sistema massa mola, tal “freio”, ou melhor, força de amortecimento, pode ser à força de resistência do ar que sempre tenta parar a massa!
Então o sistema não vai ficar oscilando pra sempre? Não! Ele vai parar com o tempo, porque a força resistente vai tirando energia do sistema até ele parar. Nesse caso, a energia não se conserva!
Dentre muitos MHA que existem na natureza, vamos falar do que cai na prova: Massa-Mola com amortecimento. Vamos ver o exemplo do sistema massa-mola imerso em um fluido viscoso:
A primeira coisa a se fazer é aplicar a Lei que descreve o movimento (Lei de Newton): pelo diagrama de Forças Livres...
Observe que, nesse caso, além da mola com constante elástica , temos também uma força resistente, com constante de proporcionalidade . Pela Lei de Newton, a força resultante é a soma das forças:
Imagine que o bloco está à direita do ponto de equilíbrio, se movimentando para a esquerda como na figura.
A força resistente do ar é dada por:
onde é a velocidade e é uma constante de proporcionalidade. O sinal de menos é porque a força resistente aponta sempre no sentido contrário ao movimento.
A força elástica é dada como sendo:
Onde é a constante elástica e o menos é pelo mesmo motivo do sinal de menos anterior.
Como de acordo com Newton sempre temos que a força resultante é dada pela massa vezes a aceleração...
Temos então:
Mas e
Opa, é uma EDO de segundo grau homogênea de coeficientes constantes, vamos dividir tudo pela massa:
Essa equação é a principal!
Assim podemos chamar
Vamos chamar:
Assim temos:
Já sabemos resolver uma EDO desse tipo. Vamos analisar os 3 casos:
- Caso 1:
- Caso2:
- Caso 3:
Para temos:
Então temos:
Quando dizemos que o sistema é criticamente amortecido.
Para temos:
Então temos:
Quando dizemos que o sistema é superamortecido.
Para temos:
Quando dizemos que o sistema é subamortecido.
Movimento Forçado (MF)
Até o momento só falamos de movimentos realizados por forças do sistema, seja o sistema sem forças resistivas, como o MHS, ou com essas forças como MHA. Mas o que acontece se a gente, fora do sistema, tiver forças que influenciam no movimento? Por exemplo:
Nesse caso, devido ao fato de termos a força externa puxando a massa no sistema, podemos considera-lo como um Movimento Forçado. O movimento forçado ainda pode ser amortecido, quando a gente leva em consideração as forças de amortecimento, ou não amortecido.
Movimento forçado com amortecimento
Quando nós falamos em movimento forçado é quando possui uma força externa ao movimento. Assim, basta acrescentarmos essa força a equação. No caso do com amortecimento, temos:
Deixando somente do lado direito e dividindo pela massa:
Substituindo pelo que vimos acima:
Ficamos com:
Mas calma, o lado esquerdo continua o mesmo do movimento amortecido e o lado direito possui uma função em . Isso nós já vimos como resolver, essa é uma equação não homogênea. Assim, a solução é da forma:
A solução homogênea já vimos como resolver e a particular dependerá da cara de
Vamos agora ver o caso sem amortecimento, que é bem parecido.
Movimento forçado sem amortecimento
Esse caso é aquele que não possui o termo de amortecimento, no caso:
Assim, nossa equação se resumirá a:
Veja que essa equação também é não homogênea ela deve ser resolvida de forma que você encontre uma solução homogênea e a solução da equação particular.
Vamos agora resolver um exemplo para fixar melhor.
Exemplo:
Seja um sistema massa mola amortecido com:
Seja uma força de amortecimento:
E uma força externa atuante:
Com as condições iniciais:
Assim, encontre
Passo 1:
Primeiramente vamos montar a equação do movimento.
Ela é da forma:
Onde:
Então:
Passo 2:
Vamos agora encontrar solução homogênea:
Já aprendemos a resolver essa EDO.
Equação característica:
Raízes:
Solução da homogênea:
Passo 3:
Vamos agora encontrar com coeficientes a determinar:
Como é uma exponencial, também será uma exponencial de mesmo expoente:
Passo 4:
Encontrar derivadas de :
Passo 5:
Vamos substituir na equação e encontrar constantes:
Passo 6:
Assim, a solução geral é:
Passo 7:
Vamos agora aplicar as condições iniciais:
Calculando a derivada:
Calcular e :
Substituir condições iniciais dadas:
Resolvendo o sistema:
Substituindo na solução geral, encontramos a solução particular do PVI:
Partiu exercícios!!!
Exercício Resolvido #1
Resolva o sistema de oscilações
Passo 1
Vamos usar a segunda lei de Newton para conseguir montar a equação diferencial.
Mas para isso precisamos fazer o diagrama de forças atuantes. Fica assim:
Passo 2
Temos:
Então, pela segunda lei de Newton, a força resultante é dada pela soma de todas as forças atuantes:
Porém:
Temos:
Que equivale a:
Ajeitando:
Vamos usar o seguinte:
Então a EDO fica:
Passo 3
E como é que a gente resolve?
Quando temos uma EDO de 2ª ordem homogênea, resolvemos a equação auxiliar:
Assim:
Onde
Viu porque ele substituiu por Nego não ta de zoeira não! Cortou muita coisa
E então temos três possibilidades:
Em cada caso, temos uma solução diferente, lembra?
Então vamos analisar cada uma dessas possibilidades agora.
Mas antes vamos dar nome aos bois, mas relaxa com isso, é só para você entender o que tá acontecendo, esse tipo de nomenclatura não é cobrado na sua prova!
Quando : amortecimento subcrítico;
Quando : amortecimento crítico;
Quando : amortecimento supercrítico;
É só você lembrar que “sub” significa “abaixo” (abaixo de zero) e “super” significa “acima” (acima de zero).
Beleza?
Então vamos lá!
Passo 4
Passo 5
Nesse caso:
Então a equação auxiliar tem duas raízes reais e distintas:
E a solução é dada por:
As constantes e são dadas pelas condições iniciais de e .
O gráfico do amortecimento supercrítico tem essa cara(Só por curiosidade):
Uma soma de exponenciais decrescentes.
Passo 6
Nesse caso:
Então a equação auxiliar tem duas raízes reais e iguais:
E a solução é dada por:
Ou, se preferir colocar em evidência:
As constantes e também são dadas pelas condições iniciais de e .
E o gráfico do amortecimento crítico tem mais ou menos a mesma cara do amortecimento supercrítico(Isso é só por curiosidade!):
Passo 7
Nesse caso:
Então a equação auxiliar tem duas raízes imaginárias:
E a solução é dada por:
As constantes e são sempre dadas pelas condições iniciais de e .
E o gráfico do amortecimento subcrítico tem uma cara assim(Só por curiosidade again!!):
Nesse caso, o movimento é oscilatório, mas as amplitudes vão sendo cada vez menores, até parar.
Resposta
ou
ou
Depende da relação entre e !(Para saber se
Exercício Resolvido #2
Para o pêndulo mostrado na Figura que modela um tipo de sismógrafo: determinar a frequência natural.
Passo 1
Primeiro vamos começar o problema, entendendo o que estamos buscando e como vamos chegar à solução. Ok?
Pois bem, estamos buscando a frequência natural do sistema harmônico com amortecimento . De acordo com a Teoria, se chegarmos a uma modelagem envolvendo uma EDO de 2º ordem como essa genérica aqui:
Então a frequência natural pode ser encontrada a partir do termo que multiplica . Então, no problema, basicamente devemos modelar o nosso problema e ver se a gente encontra algo parecido. Vamos nessa?
Passo 2
Para a modelagem, vamos começar partindo do modelo físico que rege o nosso sismógrafo: as Leis de Newton para pêndulos!
Em pêndulos, estamos interessados em saber qual é o ângulo a seguir com o tempo :
Basicamente, no problema temos três forças criando torques nesse pêndulo, o fazendo balançar com esse :
- Torque da força peso da bolinha .
- Torque da força elástica da molinha .
- E por último, Torque da força de amortecimento .
De acordo com Newton, a soma desses torques é um torque resultante e que é diferente , já que o pêndulo não está estático:
Vamos falar nos próximos passos, o que são cada torque representa. Vamos lá!
Passo 3
Primeiro vamos falar do torque resultante .
Toda vez que temos um pêndulo girando, então podemos calcular o torque resultante dessa forma aqui:
Onde é à distância da força ao ponto de rotação, enquanto é a força perpendicular ao movimento. Pelo diagrama a seguir, podemos ver quem é essa força:
O movimento é sempre dado pela trajetória em azul. Como a trajetória em azul é um arco, então, podemos encontrar tal arco de acordo com a equação:
Ou seja, é o produto do raio pelo arco !
Sabemos que onde a aceleração é a derivada segunda da trajetória: :
Portanto, o Torque resultante será:
Passo 4
Vamos agora falar do torque causado pela força peso da bolinha:
Veja que a única força que de fato importa não é nem o Peso em si, e sim a componente dela perpendicular ao movimento . Essa força pode ser obtida da seguinte forma:
Onde ...
Portanto, o torque causado por essa força peso será:
Como o ângulo é pequeno, podemos eliminar esse seno com uma ótima simplificação:
Logo, podemos dizer que...
Passo 5
Não desista, pois estamos indo bem, faltam ainda dois torques para analisarmos e vamos começar aqui com o :
O torque dessa força elástica é dado por:
Onde é a distância de aplicação da força ao ponto de rotação. Enquanto que a força elástica é dada por:
Onde é a trajetória em laranja. De forma análoga ao cálculo da trajetória em azul no passo 3...
Ou seja, é o produto do raio, que agora é pelo arco...
Logo...
Passo 6
Beleza, agora vamos para o último torque que é o da força de amortecimento ...
Agora, por definição de torque...
Onde é a força de amortecimento proporcional a velocidade...
A velocidade , entretanto, é a derivada primeira da trajetória circular em rosa dada por (assim como calculamos qualquer trajetória circular anteriormente é o produto do raio pelo arco )...
Logo...
Passo 7
Finalmente, depois de todos os torques calculados, podemos retornar para a igualdade do nosso querido passo onde deixamos o problema...
Substituindo todos os passos anteriores...
Passando tudo para um lado só...
Reorganizando...
Para comparar com essa EDO aqui
E descobrirmos quem é o , podemos dividir todos os termos por ...
Prontinho! De fato a equação que modela o nosso problema é uma EDO de 2º ordem, e podemos concluir que a frequência angular é...