Modelagem - MHA e MF

Teoria Completa

Movimento Harmônico Amortecido (MHA):

Movimentos harmônicos, no geral, são movimentos com a repetição de certo padrão. O sistema massa mola é um ótimo exemplo disso!

Beleza, mas disso você já desconfiava neh, agora eu quero ver você desconfiar dessa: o que são Movimentos Harmônicos Amortecidos?

ISSO MESMO! São movimentos harmônicos que de certa forma tem um “freio” amortecendo-o. Se pensarmos no sistema massa mola, tal “freio”, ou melhor, força de amortecimento, pode ser à força de resistência do ar que sempre tenta parar a massa!

Então o sistema não vai ficar oscilando pra sempre? Não! Ele vai parar com o tempo, porque a força resistente vai tirando energia do sistema até ele parar. Nesse caso, a energia não se conserva!

Dentre muitos MHA que existem na natureza, vamos falar do que cai na prova: Massa-Mola com amortecimento. Vamos ver o exemplo do sistema massa-mola imerso em um fluido viscoso:

A primeira coisa a se fazer é aplicar a Lei que descreve o movimento (Lei de Newton): pelo diagrama de Forças Livres...

Observe que, nesse caso, além da mola com constante elástica k , temos também uma força resistente, com constante de proporcionalidade c . Pela Lei de Newton, a força resultante é a soma das forças:

F R = F e l + F r e s i s t e n t e

Imagine que o bloco está à direita do ponto de equilíbrio, se movimentando para a esquerda como na figura.

A força resistente do ar é dada por:

F r e s i s t e n t e = - c v

onde v é a velocidade e c é uma constante de proporcionalidade. O sinal de menos é porque a força resistente aponta sempre no sentido contrário ao movimento.

A força elástica é dada como sendo:

F e l = - k x

Onde k é a constante elástica e o menos é pelo mesmo motivo do sinal de menos anterior.

Como de acordo com Newton sempre temos que a força resultante é dada pela massa vezes a aceleração...

F R = m a

Temos então:

F R = F e l + F r e s i s t e n t e                   ⇒                     m a = - c v - k x             ⇒

Mas a = x ¨ e v = x ˙

m x ¨ = - c x ˙ - k x                 ⇒

m x ¨ + c x ˙ + k x = 0

Opa, é uma EDO de segundo grau homogênea de coeficientes constantes, vamos dividir tudo pela massa:

x ¨ + c m x ˙ + k m x = 0

Essa equação é a principal!

Assim podemos chamar

ω 0 2 = k m

ω 0 = f r e q u ê n c i a   n a t u r a l   s e m   a m o r t e c i m e n t o

Vamos chamar:

c m = 2 λ

Assim temos:

x ¨ + 2 λ x ˙ + ω 0 2 x = 0

Já sabemos resolver uma EDO desse tipo. Vamos analisar os 3 casos:

  • Caso 1: ∆ = 0
  • Para ∆ = 0 temos:

    r 1 = r 2 = - 2 λ 2 1 = - λ

    Então temos:

    x t = c 1 e - λ t + c 2 t e - λ t

    Quando ∆ = 0 dizemos que o sistema é criticamente amortecido.

  • Caso2: ∆ > 0
  • Para ∆ > 0 temos:

    r 1 = - 2 λ + 4 λ 2 - 4 1 ω 0 2 1 2 2 1 = - 2 λ + 2 λ 2 - ω 0 2 2 = - λ + λ 2 - ω 0 2

    r 2 = - λ - λ 2 - ω 0 2

    Então temos:

    x t = e - λ t c 1 e ( λ 2 - ω 0 2 ) t + c 2 e - ( λ 2 - ω 0 2 ) t

    Quando ∆ > 0 dizemos que o sistema é superamortecido.

  • Caso 3: ∆ < 0

Para ∆ < 0 temos:

r 1 , r 2 = - 2 λ ± 4 λ 2 - 4 1 ω 0 2 1 2 2 1 = - 2 λ ± 2 λ 2 - ω 0 2 2 = - λ ± ω 0 2 - λ 2 i

x t = e - λ t c 1 cos ⁡ ω 0 2 - λ 2 t + c 2 s e n ω 0 2 - λ 2 t

Quando ∆ < 0 dizemos que o sistema é subamortecido.

Movimento Forçado (MF)

Até o momento só falamos de movimentos realizados por forças do sistema, seja o sistema sem forças resistivas, como o MHS, ou com essas forças como MHA. Mas o que acontece se a gente, fora do sistema, tiver forças que influenciam no movimento? Por exemplo:

Nesse caso, devido ao fato de termos a força externa f ( t ) puxando a massa no sistema, podemos considera-lo como um Movimento Forçado. O movimento forçado ainda pode ser amortecido, quando a gente leva em consideração as forças de amortecimento, ou não amortecido.

Movimento forçado com amortecimento

Quando nós falamos em movimento forçado é quando possui uma força externa f ( t ) ao movimento. Assim, basta acrescentarmos essa força a equação. No caso do com amortecimento, temos:

F R = - k x - c v + f t         ⟹               m x ¨ = - c x ˙ - k x + f t

Deixando somente f ( t ) do lado direito e dividindo pela massa:

x ¨ + c m x ˙ + k m x = f t m = F ( t )

Substituindo pelo que vimos acima:

ω 0 2 = k m

c m = 2 λ

Ficamos com:

x ¨ + 2 λ x ˙ + ω 0 2 x = F ( t )

Mas calma, o lado esquerdo continua o mesmo do movimento amortecido e o lado direito possui uma função em t . Isso nós já vimos como resolver, essa é uma equação não homogênea. Assim, a solução é da forma:

x t = x ( t ) h o m o g ê n e a + x ( t ) p a r t i c u l a r

A solução homogênea já vimos como resolver e a particular dependerá da cara de F t .

Vamos agora ver o caso sem amortecimento, que é bem parecido.

Movimento forçado sem amortecimento

Esse caso é aquele que não possui o termo de amortecimento, no caso:

F r e s i s t e n t e = - c v

Assim, nossa equação se resumirá a:

x ¨ + ω 0 2 x = F ( t )

Veja que essa equação também é não homogênea ela deve ser resolvida de forma que você encontre uma solução homogênea e a solução da equação particular.

Vamos agora resolver um exemplo para fixar melhor.

Exemplo:

Seja um sistema massa mola amortecido com:

m = 1   k g   e   k = 9

Seja uma força de amortecimento: g t = 6 v

E uma força externa atuante: f t = e - 2 t

Com as condições iniciais: x 0 = 1   e   x ' 0 =   - 4

Assim, encontre x t :

Passo 1:

Primeiramente vamos montar a equação do movimento.

Ela é da forma:

x ¨ + 2 λ x ˙ + ω 0 2 x = F ( t )

Onde:

2 λ = 6   ,   ω 0 2 = 9   e   f t = e - 2 t  

Então:

x ' ' + 6 x ' + 9 x = e - 2 t

Passo 2:

Vamos agora encontrar solução homogênea:

x ' ' + 6 x ' + 9 x = 0

Já aprendemos a resolver essa EDO.

Equação característica:

r 2 + 6 r + 9 = 0

Raízes:

r 1 = r 2 = - 3

Solução da homogênea:

x h t = c 1 e - 3 t + c 2 t e - 3 t

Passo 3:

Vamos agora encontrar x p ( x ) com coeficientes a determinar:

Como f ( t ) é uma exponencial, x p ( x ) também será uma exponencial de mesmo expoente:

x p x = A e - 2 t

Passo 4:

Encontrar derivadas de y p ( x ) :

x p x = A e - 2 t x p ' x = - 2 A e - 2 t x p ' ' x = 4 A e - 2 t

Passo 5:

Vamos substituir na equação e encontrar constantes:

x ' ' + 6 x ' + 9 x = 2 e - 2 t

4 A e - 2 t + 6 - 2 A e - 2 t +   9 A e - 2 t = e - 2 t

A e - 2 t = e - 2 t

→ A = 1

Passo 6:

Assim, a solução geral é:

x t = x h t + x p ( t )

y x = c 1 e - 3 t + c 2 t e - 3 t + e - 2 t

x t = c 1 e - 3 t + c 2 t e - 3 t + e - 2 t

Passo 7:

Vamos agora aplicar as condições iniciais:

Calculando a derivada:

x ' t = c 2 - 3 c 1 +   - 3 c 2 t e - 3 t - 2 e - 2 t

Calcular x ( 0 ) e x ' ( 0 ) :

x 0 = c 1 + 1

x ' 0 = c 2 - 3 c 1 - 2

Substituir condições iniciais dadas:

x 0 = 1 x ' 0 = - 4

→ c 1 + 1 = 1 c 2 - 3 c 1 - 2 = - 4

Resolvendo o sistema:

c 1 = 0 c 2 = - 2

Substituindo na solução geral, encontramos a solução particular do PVI:

x t = c 1 e - 3 t + c 2 t e - 3 t + e - 2 t

→ x t = - 2 t e - 3 t + e - 2 t

Partiu exercícios!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ - Cálculo 3 - Lista 6 Fernando Lopes – 4

Resolva o sistema de oscilações

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos usar a segunda lei de Newton para conseguir montar a equação diferencial.

F R = m a

Mas para isso precisamos fazer o diagrama de forças atuantes. Fica assim: