Exercícios Resolvidos de Modelagem - MHA e MF

Ver Teoria

Enunciado

Um voltímetro, mostrado na figura abaixo, possui um ponteiro de alumínio ρ = 2700   k g / m 3 de comprimento d = 50   m m , largura l = 3   m m , e espessura e = 1   m m . A mola restauradora tem uma constante de mola rotacional k = 100   N ⋅ m m / r a d . Um amortecedor para amortecimento crítico é posicionado a um raio r = 8   m m . Durante uma medida, o instrumento mostra 80   v o l t s . Quando a voltagem é desligada, determinar o tempo requerido para o ponteiro retornar à indicação de 1   v o l t .

Passo 1

Antes de a gente começar, vou te dar algumas sugestões aqui, a final de contas, o nosso interesse é calcular uma EDO e não ficar procurando Momento de inércia de ponteiro (paralelepípedo), não é mesmo?

  1. Primeiro, vamos considerar o problema angular, onde o ângulo θ que o ponteiro faz com a horizontal depende do tempo t : θ t .
  2. Segundo, que se o problema é angular, então trabalhemos com torques!
  3. O Torque da força peso do ponteiro é t p = J ⋅ α , onde...
  4. J = M o m e n t o   d e   i n é r c i a = ρ ⋅ l ⋅ e ⋅ d 3 3

    α = A c e l e r a ç ã o   â n g u l a r = θ ' ' t

  5. E, caso precise, a velocidade do ponteiro, é de v = d ⋅ θ ' .

AHHH! Grande coisa! Mudou a minha vida saber disso!

Se você está agora como a Nazaré, então me siga !

Passo 2

Já vou te adiantando que esse exercício não é brincadeira, mas ao mesmo tempo é um problema de se apaixonar!

Para começar, vamos entender o que a gente busca no problema, ok?

Como o enunciado nos deu um valor inicial de medida ( 80   v o l t s ), trata-se de um problema de valor inicial, onde estamos buscando o tempo necessário para agulha retornar para a posição de desligado. Ora, a palavra chave desse problema, está em:

Um amortecedor para amortecimento crítico é posicionado

Essa é uma expressão fundamental, porque se você recordar na teoria, amortecimentos críticos, caso estivermos falando de uma EDO de 2 º ordem, possuem uma equação dessa forma aqui:

x t = c 1 e - ω t + c 2 t e - ω t

Ora! Nós temos o tempo inicial t i = 0 quando medimos x 0 = 80   v o l t s , falta encontrarmos o tempo final t f . Daí, o tempo para o ponteiro retornar à indicação de x t f = 1   v o l t será t f - t i = t f , o valor buscado no problema!

AHA! Então isso significa que estamos no caminho certo! Mas infelizmente, essa expressão só funciona, caso estivermos falando de uma modelagem envolvendo equações diferenciais de 2 º ordem. Então para responder o problema, precisamos averiguar as respostas para essas perguntinhas aqui:

  1. A modelagem é uma equação de 2 º ordem? Se for, quem ela é?
  2. Quem é c 1 e c 2 ?
  3. Quem é ω ?

Após essas perguntas, é fácil encontrar t f , bastando substituir!

Passo 3

Primeiro vamos responder a primeira e uma das mais importantes perguntas da rodada: A modelagem é uma equação de 2 º ordem? Se for, quem ela é? É com essa pergunta, que vãos (vamos) de fato averiguar se a equação do amortecimento acima pode ser usada.

O problema que estamos lidando, é um problema regido pela mecânica Newtoniana. Então vamos começar listando os torques envolvidos no problema:

  1. Temos o torque causado pela força peso do ponteiro τ p .
  2. Temos o Torque causado pela mola τ m .
  3. E temos o Torque causado pela força de amortecimento τ a .

De acordo com a Lei de Newton, o torque resultante   t p é a soma dos outros dois, para o sistema entrar em equilíbrio:

τ p = τ m + τ a

τ p , de acordo com a sugestão, é dado por:

τ p = J ⋅ α

Onde:

J é o momento de inércia do ponteiro: J = ρ ⋅ l ⋅ e ⋅ d 3 3

α é a aceleração angular: α = θ ' '

τ m , por sua vez, é dado por:

τ m = - k ⋅ θ

(OBS de física: esse k é a constante de mola rotacional, portanto k vezes o deslocamento angular θ já é o torque, diferentemente de F = - k x , onde esse k não é rotacional, então o produto nos dá a força).

Enquanto isso, τ a :

τ a = F a ⋅ d                   →                   τ a = - c ⋅ v ⋅ d

Onde:

c é a constante de amortecimento;

v é a velocidade do ponteiro, dado por v = d ⋅ θ ' .

Juntando tudo na expressão Newtoniana de torque resultante:

τ p = τ m + τ a             →

J ⋅ α = - k ⋅ θ + - c ⋅ v ⋅ d       →

J ⋅ θ ' ' + k ⋅ θ + c ⋅ d θ ' ⋅ d = 0       →

ρ ⋅ l ⋅ e ⋅ d 3 3 ⋅ θ ' ' + k ⋅ θ + c ⋅ d θ ' ⋅ d = 0       →

Simplificando um pouco...

ρ ⋅ l ⋅ e ⋅ d 3 3 ⋅ θ ' ' + c ⋅ d 2 θ ' + k ⋅ θ = 0       →

Pelo enunciado, sabemos que:

ρ = 2700   k g / m 3

l = 3   m m = 3 ⋅ 10 - 3   m

e = 1   m m = 1 ⋅ 10 - 3   m

d = 50   m m = 50 ⋅ 10 - 3   m

k = 100   N ⋅ m m r a d = 100 ⋅ 10 - 3 N ⋅   m / r a d

Então...

2700 ⋅ 3 ⋅ 10 - 3 ⋅ 1 ⋅ 10 - 3 ⋅ 50 ⋅ 10 - 3 3 3 ⋅ θ ' ' + c ⋅ 50 ⋅ 10 - 3 2 θ ' + 100 ⋅ 10 - 3 ⋅ θ = 0       →

Agora é só simplificação, veja:

2700 ⋅ 3 ⋅ 10 - 6 ⋅ 50 3 ⋅ 10 - 9 3 ⋅ θ ' ' + c ⋅ 50 2 ⋅ 10 - 6 ⋅ θ ' + 10 - 1 ⋅ θ = 0       →

2700 ⋅ 3 ⋅ 50 3 3 ⋅ 10 - 15 ⋅ θ ' ' + c ⋅ 50 2 ⋅ 10 - 6 ⋅   θ ' + 10 - 1 ⋅ θ = 0       →

337,5 ⋅ 10 6 ⋅ 10 - 15 ⋅ θ ' ' + 2500 c ⋅ 10 - 6 ⋅ θ ' + 10 - 1 ⋅ θ = 0     →

337,5 ⋅ 10 - 9 ⋅ θ ' ' + 2500 c ⋅ 10 - 6 ⋅ θ ' + 10 - 1 ⋅ θ = 0     →

Ou...

θ ' ' + 2500 c ⋅ 10 - 6 337,5 ⋅ 10 - 9 ⋅ θ ' + 10 - 1 337,5 ⋅ 10 - 9 ⋅ θ = 0     →

θ ' ' + 7,41 c ⋅ 10 3 ⋅ θ ' + 10 8 337,5 ⋅ θ = 0

Veja que de fato a modelagem é uma EDO de segunda ordem!

Passo 4

Com isso, estamos prontos para responder a segunda pergunta: Quem é c 1 e c 2 ?

Sabemos que a resposta dessa equação, devido ao fato de estarmos trabalhando com um amortecimento crítico, será da forma:

θ t = c 1 e - ω t + c 2 t e - ω t

Sabemos também, que a tensão no tempo inicial t = 0 é 80   v o l t s . Mas agora, que ângulo isso corresponde?

Pela posição no desenho,

0 V é 0   r a d . Agora 1 V não tem como de saber, neh? Na verdade, também não é tão relevante assim. Então se chamarmos 1 V de um ângulo de θ = K   r a d , onde K um ângulo qualquer que a gente não conhece, então com uma regrinha de 3, o ângulo correspondente a 80 V ...

θ 0 = 80 K   r a d

(No final das contas, o que está valendo é a proporção, está vendo?)

Sabemos também que por se tratar de uma equação de segunda ordem, temos que ter a velocidade no tempo inicial! Como no tempo inicial, o ponteiro estava parado, então...

v e l o c i d a d e   i n i c i a l = θ ' 0 = 0

Essas são as condições iniciais:

θ 0 = 80 K

θ ' 0 = 0

Passo 5

Descobrindo c 1 substituindo a primeira condição na equação...

θ t = c 1 e - ω t + c 2 t e - ω t     →

θ 0 = c 1 e - ω ⋅ 0 + c 2 ⋅ 0 e - ω ⋅ 0   →

Como e - ω ⋅ 0 = e 0 = 1 ...

θ 0 = c 1 + 0   →

Logo...

80 K = c 1

Passo 6

Descobrindo c 2 usando a segunda condição θ ' 0 = 0 . Logo a gente precisa derivar a equação...

θ t = c 1 e - ω t + c 2 t e - ω t     →

θ ' t = - c 1 ⋅ ω ⋅ e - ω t + c 2 e - ω t - t ⋅ ω ⋅ e - ω t       →

θ ' t = ω ⋅ e - ω t - c 1 - c 2 t + c 2 e - ω t     →

θ ' t = e - ω t ω ⋅ - c 1 - c 2 t + c 2

Substituindo tudo o que conhecemos...

0 = e - ω ⋅ 0 ω ⋅ - 80 K - c 2 ⋅ 0 + c 2

0 = ω ⋅ - 80 K + c 2       →

c 2 = 80 K ⋅ ω

Logo...

θ t = c 1 e - ω t + c 2 t e - ω t     →

θ t = 80 K e - ω t + 80 K ⋅ ω t e - ω t     →

Ou

θ t = 80 K e - ω t + ω t e - ω t  

Estamos prontos agora para descobrir quem é ω ...

Passo 7

A última pergunta (quem é ω ?) pode ser respondida lembrando que ω é a frequência de oscilação sem amortecimento, pode ser obtida através da equação de modelagem do sistema assim:

θ ' ' + 7,41 c ⋅ 10 3 ⋅ θ ' + 10 8 337,5 ⋅ θ = 0

ω = 10 8 337,5 = 544,3   r a d / s

Então, a nossa equação de amortecimento crítico final é...

θ t = 80 K e - 544,3 t + 544,3 t e - 544,3 t  

Passo 8

Só falta então, finalmente encontrarmos o tempo final comentado lá no passo 1 para fecharmos o problema com chave de ouro:

Sabemos que no tempo final t f , temos a tensão de 1 V , em termos de ângulo, isso quer dizer θ t f = 1 K   r a d . Logo,

θ t f = 80 K e - 544,3 t f + 544,3 t f e - 544,3 t f     →

1 K = 80 K e - 544,3 t f + 544,3 t f e - 544,3 t f     →

1 = 80 e - 544,3 t f 1 + 544,3 t f     →

1 80 = e - 544,3 t f 1 + 544,3 t f

ln ⁡ 1 80 = ln ⁡ e - 544,3 t f + ln ⁡ 1 + 544,3 t f   →

ln ⁡ 1 80 = - 544,3 t f + ln ⁡ 1 + 544,3 t f  

Com um auxílio de uma calculadora a gente descobre que t f = 0 , 01172   s então esse é o tempo que a agulha demora a retornar ao ponto inicial!

Eu sei! Foi um problema grande e que necessitou da calculadora em vários momentos, mas vai falar que não é um problema elegante? :D

AH! E só mais uma coisa, esse é um problema de mecânica, por isso se isso cair na sua prova de cálculo, não se preocupe! O seu professor vai te dar aquelas sugestões como nós demos aqui, afinal, você não é obrigado a se lembrar de momento de inércia de um ponteiro (paralelepípedo) !

Resposta

t f = 0,01172   s

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um desses problemas: s ' ' + 0,125 s ' + 4 s = F t ; s 0 = 2 ; s ' 0 = 0 . Faça os gráficos da função externa F ( t ) e da solução u ( t ) em função det usando o mesmo conjunto de eixos. Use u
Nos problemas 3-6, as figuras dadas representam o gráfico de uma equação de movimento para uma massa em uma mola. O sistema massa-mola é amortecido. Use o gráfico para determinar:(a) se o deslocamento
Uma massa pesando 8l b≈ 3,6k g estica uma mola de 1,5i n≈ 3,8c m . A massa também está presa a um amortecedor com coeficiente γ . Determine o valor de γ para o qual o sistema tem amortecimento crítico
Mostre que a solução do problema de valor inicial m s ' ' + γ s ' + k s = 0 , s t 0 = s 0 ,s ' t 0 = s 0 Pode ser expressa como a soma s = v + w , em que v satisfaz as condições iniciais v t 0 = s 0 ,
Mostre que A cos ⁡ ω 0 t + Bs e nω 0 t pode ser escrito na forma rs e nω 0 t - θ . Determine r e θ em função de A e B . Se R cos ⁡ ( ω 0 t - δ ) = rs e n ( ω 0 t - θ ) , determine a relação entre R ,r