Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo

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Enunciado

01) Em um dado instante, a haste O A , de comprimento L , tem velocidade angular ω 1 e aceleração angular ω ˙ 1 . Em sua extremidade A está articulado um disco de raio R , o qual gira com velocidade angular ω 2 constante em relação à haste. Adotando a haste como referencial móvel, pede-se determinar:

a) o vetor rotação absoluta do disco;

b) o vetor aceleração rotacional absoluta do disco;

c) as velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P do disco;

d) as acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto P do disco;

Passo 1

Faaaala galerinha, tudo tranquilo por aí?

Nessa questão, temos um disco que gira com velocidade angular ω 2 , articulado em seu centro a uma barra O A , que por sua vez também está girando, com velocidade angular ω 1 . Bora chamar o Dexter pra nos ajudar haha

a) Pra começar, devemos determinar o vetor rotação absoluta do disco.

Basicamente, o vetor rotação absoluta é tipo uma velocidade angular resultante que considera os movimentos realizados direta e indiretamente pelo corpo.

Tipo, o disco por exemplo, ele está girando (movimento direto realizado por ele), mas como está acoplado a barra, também está girando devido à barra (movimento indireto). Sacaram?

Assim, podemos escrever:

ω → = ω 1 k → + ω 2 k →

ω → = ω 1 +   ω 2 k →

Prontinho 😊

Passo 2

b) Agora devemos determinar o vetor aceleração rotacional absoluta do disco.

Esse vetor tem a mesma cara do anterior, de ser tipo um vetor aceleração angular resultante dos movimentos que o corpo realiza. Só que, tem uma diferençazinha, lembra qual é?

Hahaha. É que surge uma aceleração também devido aos diferentes movimentos de um mesmo corpo. Nesse caso, ela é dada por:

ω → ˙ 1 × ω → ˙ 2

Então bora lá, o vetor aceleração rotacional absoluta será dado por:

ω → ˙ =   ω → ˙ 1 + ω → ˙ 2 +   ω → ˙ 1 × ω → ˙ 2

Tem alguns detalhes importantes pra perceber aqui. Pelo enunciado, ω 2 é constante, logo a derivada de ω 2 é nula, isto é, ω ˙ 2 = 0 . Daí:

ω → ˙ =   ω → ˙ 1 + 0 → + 0 →

⇒   ω → ˙ = ω ˙ 1 k →  

E é isso!! Bora pro próximo 😉

Passo 3

c) Agora devemos calcular as velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P   do disco.

Sabe o papo que comentamos agora há pouco sobre o movimento direto e indireto realizado pelo disco?! Então, o ponto P passa pela mesma coisa.

A velocidade relativa que a questão nos pede é, basicamente, a velocidade em relação a um referencial no próprio disco, sacou?

Nesse caso, é uma dica legal usar o centro do disco, pois ele está parado nesse referencial. Assim:

v → P , r e l = v → A , r e l +   ω 2 k → × ( P - A )

Viu? v A , r e l = 0 . Isso já ajuda bastante. Além disso, pela figura também podemos dizer que:

P - A = r c o s α i → +   r s e n α j →

Substituindo, temos:

v → P , r e l =   ω 2 k → × ( r c o s α i → +   r s e n α j → )

Logo:

v → P ,   r e l =   ω 2 r ( c o s α j → - s e n α i → )

Bouaa!

Vamos pensar agora na velocidade de arrastamento.

Aqui temos que pensar no movimento “indireto” que falamos anteriormente. Como a barra O A está girando, indiretamente o ponto P também irá girar. Esse é o movimento de arrastamento.

Pra calcular v → a r r estamos interessados apenas na velocidade dada ao disco por esse movimento, entendeu? Então, podemos usar o ponto O , que está parado. Assim:

v → P ,   a r r = v → O , a r r   +   ω → 1 × P - O

Daí, como o ponto O está parado, temos v → O ,   a r r = 0 . Além disso:

P - O = L + r c o s α i → + r s e n α j →

Substituindo, temos:

v → P ,   a r r = 0 → +   ω 1 k → × L + r c o s α i → + r s e n α j →

⇒ v → P , a r r = ω 1 L + r c o s α j → - ω 1 r s e n α i →

Show!

Pra finalizar e encontrar v → P ,   a b s é só considerar a resultante desses dois movimentos, ou seja, a soma dessas duas velocidades:

v → P ,   a b s =   v → P ,     r e l + v → P , a r r

∴ v → P ,   a b s =   ω 2 r c o s α j → - s e n α i → + ω 1 L + r c o s α j → - ω 1 r s e n α i →

⇒ v → P , a b s =   - r s e n α ω 2 + ω 1 i → + ω 1 L + r c o s α +   ω 2 r c o s α j →  

Foooi! É isso aí.

Passo 4

d) Pra finalizar essa questão, devemos determinar a aceleração relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto P .

Novamente, a ideia da aceleração relativa é usar o mesmo referencial no qual o disco está se movimentando, ou seja, considerando apenas o movimento direto. Beleza?

Daí, usando novamente o ponto A como referencial, temos:

a → P , r e l = a → A ,   r e l +   ω 2 ˙ k → × P - A + ω 2 k → × ( ω 2 k → × P - A )

Lembrando que nesse referencial o ponto A está parado, logo a → A , r e l = 0 . Além disso, ω 2 é constante, ou seja, ω 2 ˙ = 0 . Portanto:

a → P , r e l = 0 → + 0 → +   ω 2 k → × ω 2 k → × r c o s α i → +   r s e n α j →

∴ a → P , r e l =   ω 2 k → × ω 2 r c o s α j → - s e n α i →

Logo:

a → P , r e l =   - ω 2 2 r ( c o s α i → + s e n α j → )

Prontinho!

Pra aceleração de arrastamento vamos usar a mesma ideia do v → a r r . Daí, podemos escrever:

a → P , a r r = a → O + ω ˙ 1 k → × P - O - ω 1 2 ( P - O )    

Novamente, como O é fixo temos a → O = 0 . Além disso, como encontramos no item c):

P - O = L + r c o s α i → + r s e n α j →

Assim:

a → P , a r r =   ω ˙ 1 k → × L + r c o s α i → + r s e n α j → - ω 1 2 ( L + r c o s α i → + r s e n α j → )

⇒ a → P , a r r =   ω 1 ˙ L + r c o s α j → - ω 1 ˙ r s e n α i → -   ω 1 2 L + r c o s α i → + r s e n α j →

Só organizando um pouco mais, temos:

a → P , a r r = - ω ˙ 1 r s e n α - ω 1 2 L + r c o s α i → + ω ˙ 1 L + r c o s α - ω 1 2 r s e n α j →

Show de bola!

A aceleração de coriolis está relacionada justamente ao novo movimento que surge da composição do “direto” e do “indireto”. Matematicamente, ela vale:

a → C = 2 ω a r r k → × v → P , r e l  

Como calculamos no item b) e c), temos:

a → C = 2 ω 1 k → × ω 2 r c o s α j → - s e n α i →

⇒ a → C = - 2 ω 2 ω 1 r ( c o s α i → + s e n α j → )

Excelentee!!! Pra calcular a aceleração absoluta basta somar tudo:

a → P , a b s = a → P , r e l + a → P , a r r + a → C

∴ a → P , a b s =   - ω 2 2 r c o s α i → + s e n α j →   + - ω ˙ 1 r s e n α - ω 1 2 L + r c o s α i → + ω ˙ 1 L + r c o s α - ω 1 2 r s e n α j →   - 2 ω 1 ω 2 r ( c o s α i → + s e n α j → )

Que expressão giganteee né?! Mas é isso mesmo, podemos organizar um pouquinho mais só:

a → P , a b s = - ω 2 2 r c o s α i - ω ˙ 1 r s e n α - ω 1 2 L + r c o s α - 2 ω 1 ω 2 r c o s α i → + - ω 2 2 r s e n α + ω ˙ 1 L + r c o s α - ω 1 2 r s e n α - 2 ω 1 ω 2 r s e n α j →

Pronto galera, é isso aí! Finalizamos mais uma questão.

Curtiram? Agora é dar uma respirada, beber uma água e depois voltar no gás 😊  

Resposta

a) ω → = ω 1 +   ω 2 k →

b)

ω → ˙ = ω ˙ 1 k →

c) Resolução no texto.

d) Resolução no texto.

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