Exercícios Resolvidos de O efeito da adição de zeros e polos na função de transferência

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Enunciado

Avalie se é possível aproximar a função de transferência abaixo a uma função de transferência de segunda ordem. Se for possível, determine tipo de amortecimento e o tempo de assentamento (estabilização) para uma faixa de 5 % para a função de segunda ordem aproximada.

G s = 25 ( s + 5 ) s + 4,9 ( s + 2 ) ( s + 3 )

Passo 1

Primeiramente precisamos checar se é possível ou não fazer a aproximação. Nesse casos temos um polo muito perto do nosso zero, então vamos expandir a função de transferência em suas frações parciais:

G s = A s + 4,9 + B s + 2 + C s + 3

Usando o método de cálculo dos coeficientes das frações parciais:

A = lim s → - 4,9 ⁡ 25 ( s + 5 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) = 0,45

B = lim s → - 2 ⁡ 25 s + 5 s + 4,9 s + 3 = 25,86

C = lim s → - 3 ⁡ 25 ( s + 5 ) ( s + 4,9 ) ( s + 2 ) = - 26,31

Podemos ver que o coeficiente A , que é relativo ao polo mais perto do zero, - 4,9 , é muito menor que os outros dois coeficientes. Portanto, a aproximação de cancelamento polo-zero pode ser feita.

Sendo assim, a proximação é válida, e a função aproximada será:

G s = 25 ( s + 5 ) ( s + 2 ) ( s + 3 )

Passo 2

Precisamos determinar o tipo de amortecimento e o tempo de assentamento da resposta aproximada. Para isso precisamos do tempo de amortecimento, ζ , e contstante de tempo, τ . Para isso, vamos primeiro expandir a nossa função de transferência:

G s = 25 s 2 + 5 s + 6

Precisamos comparar essa função de transferência com a função de transferência padrão de segunda ordem:

G s = K τ 2 s 2 + 2 ζ τ s + 1

Então precisamos fazer umas manipulações:

G s = 25 1 6 s 2 + 5 6 s + 1

G s = 150 s 2 + 5 6 s + 1

Sendo assim:

K = 150

τ = 1

ζ = 0,42

Passo 3

Para determinar o tipo de assentamento, podemos usar o valor de ζ e a figura abaixo:

Como o nosso fator de amortecimento está entre 0 e 1, a nossa resposta será subamorticida.

O tempo de assentamento para uma faixa de 5 % pode ser calculado pela fórmula abaixo:

t s = 3 τ ζ

Com τ = 1 e ζ = 2,5 :

t s = 7,2

Resposta

Aproximação é válida.

G s = 25 s 2 + 5 s + 6

Resposta subamortecida.

t s = 7 , 2