Agitação e Mistura II

Teoria Completa

Dimensões de um tanque agitado

Antes de continuarmos estudando agitação, precisamos combinar uma forma de chamar as dimensões de um tanque agitado, porque vamos precisar disso pra fazer cálculos.

Em que:

  • H : altura do líquido
  • T : diâmetro do tanque
  • D : diâmetro do impelidor
  • W : altura da pá do impelidor
  • L : largura da pá do impelidor
  • h : distância entre o impelidor e o fundo do tanque
  • B : largura da chicana
  • N : número de rotações do impelidor

Número de potência

A gente pode escrever um balanço de energia pro fluido sendo agitado. Vamos adotar dois pontos pra fazer o balanço: inicial (1) e final (2).

z 1 + p 1 ρ g + u 1 2 2 + W ˙ g = z 2 + p 2 ρ g + u 2 2 2 + h L

Em que:

  • h L é a perda de carga no trajeto
  • W ˙ é o trabalho adicionado devido à ação do impelidor

O lance é que o movimento dentro do tanque é circular; se olharmos pra uma partícula de fluido, ele sai de um ponto e acaba voltando pro mesmo ponto. Então 1 = 2 e:

  • p 1 = p 2
  • z 1 = z 2
  • u 1 = u 2

Simplificando a equação, podemos escrever:

W ˙ = g . h L

E podemos escrever a perda de carga em função da velocidade u do fluido e de uma constante k f .

W ˙ = k f . u 2 2

E podemos, também, a partir disso, obter uma expressão para potência útil, que é a potência efetivamente transferida ao fluido. Sabendo que a velocidade u é proporcional a N . D , chegamos em:

W u ˙ = N P O . ρ . N 3 . D 5

Em que:

N P O   ≡ n ú m e r o   d e   p o t ê n c i a

A definição do número de potência é:

N P O = π 8 k f

  • “Mas o que o N P O me diz ?!”

Repara que na definição do N P O entra o k f , que é uma medida do atrito. Isso deve te ajudar a lembrar que o número de potência é uma medida do efeito do atrito devido ao grau de agitação sendo feita e das características geométricas do tanque agitado.

  • “OK. Entendi o que é o N P O , mas como calculo?”
  • Lembra do diagrama de Moody lá de Mecânica dos fluidos? Nele, nos achávamos o coeficiente de atrito de Moody a partir do número de Reynolds. Caso não esteja lembrando pelo nome, olha ele aqui:

    Estou falando dele porque pra achar o N P O é muito parecido, também é função do número de Reynolds, só que agora em relação ao impelidor. A definição dele é:

    R e = ρ   N   D 2 μ

    Outro ponto que muda é que, no diagrama de Moody, as curvas eram diferentes em função de e / D ; já pro N P O , elas se diferenciam em função de diferentes tipos de impelidor. Bora dar uma olhada nele logo:

    Em que:

  1. Hélice naval
  2. Pás retas
  3. Pás retas e disco (turbina de Rushton), com W / D = 0,2
  4. Pás encurvadas, W / D   = 1 / 8
  5. Pás inclinadas com passo de 45 ° e W / D   = 1 / 8
  6. Pás retas sem chicana

Repara que todas as curvas têm 3 partes:

  • Parte reta, relativa ao regime laminar R e < 10
  • Nessa parte, podemos escrever:

    N P O = k L R e

    Em que k L é uma constante relativa ao regime laminar (por isso o subscrito L )

  • Transição 10 < R e < 10 4
  • Parte com N P O constante, relativa ao regime turbulento R e > 10 4
  • Nessa parte, N P O é constante e podemos escrever:

    N P O = k T

    Em que k T é uma constante relativa ao regime turbulento (por isso o subscrito T )

    Nível de agitação N A

    Outra medida importante em se tratando de agitação é o nível de agitação N A , que é definido como uma relação entra a potência útil ( W u ˙ ) e o volume de líquido a ser agitado ( V l ) .

    N A = W u ˙ V l

    Quanto maior o N A , mais intensa é a agitação.

    Número de Mistura N τ

    Agora pensa em um tanque agitado; vamos imaginar que ele tem uma entrada e uma saída. Concorda que quanto mais líquido eu jogo lá dentro mais líquido terei que agitar? E quanto mais tempo esse líquido passa lá dentro, maior é a quantidade de líquido pra agitar. Daí:

    V l ∝ τ . Q P

    Isto é, o volume de líquido a ser agitado é proporcional a:

    • τ : tempo de mistura
    • Q P : vazão volumétrica bombeada ao tanque

    Calculamos o τ necessário baseado no número de mistura N τ , cuja definição é:

    N τ ≡ τ . N

    Lembrando que N é o número de rotações do impelidor.

    O número de mistura N τ também depende das características geométricas do tanque agitado (principalmente do impelidor) e do número de Reynolds. E sim, também tem gráfico pra achar o valor dele haha

    Número de bombeamento N q

    Sim, tem vários números em agitação. Mas relaxa que tá tudo conectado.

    O número de bombeamento está relacionado com a vazão volumétrica. Esta é proporcional à velocidade de alimentação de fluido e à área do impelidor. E podemos escrever isso em termos de número de rotações do impelidor e do diâmetro dele:

    Q P ∝ N . D 3

    Pra transformar isso em igualdade, a gente usa o número de bombeamento N q :

    Q P = N q . N . D 3

    Aposto que você já até sabe o que eu vou dizer agora: N q também depende das características geométricas do tanque agitado e do número de Reynolds. E também tem gráfico pra achar o valor dele haha. Mas como os gráficos pra ele são mais limitados, não vou nem falar deles, ok?

    Nível de agitação N A em função dos outros números

    Pra visualizarmos a influência dos diversos números no nível de agitação, a gente pode ir substituindo as definições deles e chega em:

    N A ∝ ρ N P O N τ . N q N 3 D 2

    Correções no projeto de sistemas de agitação

    E se o meu sistema de agitação precisar de mais de um impelidor? E se eu usar um impelidor diferente dos que todo mundo usa? E se além da agitação eu borbulhar um gás no tanque? Pra todos esses casos, vamos ter que modificar um pouco a forma de fazer os nossos cálculos, certo? Bora ver cada um deles:

    1. Se ao invés de um impelidor eu usar n impelidores, a potência útil total dada ao sistema será:
    2. W T ˙ = n . W u ˙

      Em que   W u ˙ é a potência útil de um único impelidor. Além disso, pra essa equação ser válida, esses impelidores não podem estar muito próximos; têm que estar a uma distância h tal que

      h ≈ T

    3. Até agora vimos estávamos assumindo tanque de agitação e impelidores “padrão”, mas nem sempre vai ser assim. Antes de qualquer coisa, deixa eu te mostrar o que é o padrão:
    • Número de chicanas: 4
    • D / T = 1 / 3
    • h / D = 1
    • H / T = 1
    • B / T = 1 / 10
    • Para turbinas como impelidor: W / D = 0,2 e L / D = 0,25
    • Para pás como impelidor: W / D = 0,25
    • Para hélices como impelidor: W / D = 0,2

    E se não for padrão, o que vamos fazer é corrigir a potência útil fornecida ao sistema; para isso, usamos um fator de correção φ .

    W ˙ n o v a = φ . W T ˙

    E a fórmula pra esse fator é:

    φ = T D n o v a . H D n o v a T D p a d r ã o . H D p a d r ã o 1 / 2

  • Pra finalizar, vamos ver a correção pra quando borbulhamos um gás no sistema, além de agitar. Quando se borbulha ar, há dois efeitos:
    • A densidade aparente da mistura diminui, isto é, é como se tivesse um líquido menos denso pra agitar. Isso vai facilitar a agitação e diminuir a potência necessária.
    • O ar sendo borbulhado já ajuda na agitação, o que também contribui pra diminuir a potência necessária.

    Ou seja, injetar gás no sistema diminui a potência necessária pra agitar. Pra saber em quanto é essa redução, podemos usar um (adivinhaaaaa haha) gráfico.

    Em que Q G é a vazão volumétrica de gás injetado no sistema.

    Algo também é importante é que quando há borbulhamento de gás, é recomendável usar as seguintes relações geométricas:

    • h / T = 0,6
    • H / T = 1,2
    • B / T = 1 / 12
    • E as outras relações são iguais às apresentadas em b)
    Expandir

    Exercício Resolvido #1

    Elaboração própria

    Um tanque cilindrico é agitado por um impelidor que fornece

    W ˙ u = 7   W

    Devido a mudanças no processo, o nível de líquido será dobrado no tanque. Pede-se

    1. Visando manter o nível de agitação, qual deverá ser a nova potência de agitação?
    2. Quantos impelidores idênticos ao original serão necessários para fornecer tal potência?
    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Essa questão não chega a ser de mudança de escala porque não estamos mudando o tanque, apenas o nível de líquido no tanque.

    Como o enunciado diz que o tanque é cilíndrico, podemos assumir seção transversal constante, daí ao dobrar o nível, isto é, altura de líquido, vamos estar dobrando a quantidade de líquido dentro do tanque.

    Chamando o novo volume de líquido de V l ,       e o original de V l , podemos afirmar que:

    V l ,     = 2 * V l

    A primeira pergunta visa manter o nível de agitação constante. A definição do nível de agitação é:

    N A = W ˙ u V l

    Já a segunda pergunta é qual será o número de impelidores iguais ao original para fornecer a nova potência, que vou chamar de W ˙ T

    Passo 2

    1. Visando manter o nível de agitação, qual deverá ser a nova potência de agitação?

    Bora chamar o nível de agitação original de N A o r i g i n a l ; nome bem original haha De qualquer maneira, podemos escrevê-lo como:

    N A = W ˙ u V l

    N A o r i g i n a l = 7   W V l

    Não sabemos o valor de V l então deixamos indicado.

    Já o novo nível de agitação, vou chamar de N A n o v o , outro nome original haha Podemos escrevê-lo como:

    N A n o v o = W ˙ T V l ,    

    E sabemos que

    V l ,     = 2 * V l

    Substituindo isso:

    N A n o v o = W ˙ T 2 * V l

    E como queremos manter N A constante:

    N A o r i g i n a l = N A n o v o

    Substituindo as expressões que achamos pra esses dois:

    7   W V l = W ˙ T 2 * V l

    Cortando os V l e isolando W ˙ T :

    W ˙ T = 14   W

    Passo 3

    b)Quantos impelidores idênticos ao original serão necessários para fornecer tal potência?

    Para resolver essa, temos que assumir que os que os impelidores estão suficientemente espaçados, daí, podemos usar

    W ˙ T = n * W ˙ u

    Em que W ˙ T é a potência total, n é o número de impelidores e W ˙ u é a potência fornecida por um único dos n impelidores.

    Substituindo os valore que temos:

    14   W = n * 7   W