Ampliação de Escala

Teoria Completa

Introdução

É muito comum que a gente não tenha que projetar um agitador do zero e sim mudar a escala dele. Um exemplo é, a partir de um agitador em escala de laboratório, passar à uma escala industrial.

Vamos fazer essa mudança de escala amarrando algumas condições nas duas escalas, isto é, igualando algumas coisas nas duas escalas. O que amarramos está ligado ao objetivo da agitação.

Há, basicamente, 3 semelhanças que podemos usar:

  1. Semelhança geométrica
  2. Semelhança fluidodinâmica
  3. Manutenção do nível de agitação

Bora ver agora cada uma delas.

  1. Semelhança geométrica
  2. Esse é o critério mais básico e geralmente sempre é atendido. Chamando uma escala de “ 1 ” e a outra de “ 2 ”, temos as seguintes relações:

    T D 1 = T D 2

    H D 1 = H D 2

    B D 1 = B D 2

    h D 1 = h D 2

    W D 1 = W D 2

    L D 1 = L D 2

    Um detalhe importante é que mantemos o tipo do impelidor.

  3. Semelhança fluidodinâmica
  4. Quando vamos pra semelhança fluidodinâmica, partimos do princípio que respeitamos a semelhança geométrica, que é a mais básica de todas.

    S e m e l h a n ç a   g e o m é t r i c a   - O K !

    A semelhança fluidodinâmica visa manter o comportamento da mistura; como há, basicamente, dois regimes de escoamento (laminar e turbulento) e o equacionamento pra eles é diferente, vamos ter que analisa-los em separado.

    Regime Laminar

    Nesse regime, vale:

    N P O = k L R e

    Podemos isolar o k L :

    k L = R e * N P O

    E como o impelidor é o mesmo e k L é um parâmetro que depende do impelidor:

    k L 1 = k L 2

    Daí:

    R e * N P O 1 = R e * N P O 2

    Usando as definições de N P O e R e :

    1 μ * W ˙ u N 2 D 3 1 = 1 μ * W ˙ u N 2 D 3 2  

    Regime Turbulento

    No regime turbulento, vale:

    N P O = k T

    Como a semelhança geométrica foi respeitada:

    k T 1 = k T 2

    Daí, usando a definição de N P O :

    W ˙ u ρ N 3 D 5 1 = W ˙ u ρ N 3 D 5 2

  5. Manutenção do nível de agitação

Se queremos manter o nível de agitação, precisamos da igualdade dos números de agitação nas duas escalas:

N A 1 = N A 2

Ou, usando a definição de N A :

W ˙ u V l 1 = W ˙ u V l 2

Novamente, temos que abrir agora nos dois casos de regimes de escoamento.

Regime Laminar

Se respeitada a semelhança geométrica, vamos substituindo definições e chegamos em:

μ * N 2 1 = μ * N 2 2

Regime Turbulento

Já para o regime turbulento, podemos expressar a semelhança no nível de agitação como:

ρ * N 3 * D 2 1 = ρ * N 3 * D 2 2

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Quais os três tipos de semelhanças mais utilizadas para realizar mudança de escala? Diga também o que cada tipo leva em conta.

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Passo 1

Como vimos lá na teoria, os 3 tipos de semelhança mais usados são:

  1. Semelhança geométrica
  2. Semelhança fluidodinâmica
  3. Manutenção do nível de agitação

Explicando cada um deles:

  • Na semelhança geométrica mantemos constantes razões entre medidas na geometria do tanque nas duas escalas, mantendo constante o TIPO de impelidor. Avaliamos geralmente as seguintes relações:
  • T D 1 = T D 2

    H D 1 = H D 2

    B D 1 = B D 2

    h D 1 = h D 2

    W D 1 = W D 2

    L D 1 = L D 2

  • Ao avaliar semelhança fluidodinâmica, queremos manter o comportamento da mistura. Ao analisar fluidodinâmica, partimos do princípio que a semelhança geométrica foi respeitada e vamos querer, além das razões entre comprimentos, que as razões entre forças nas duas escalas sejam respeitadas.
  • E ah! Lembra que o equacionamento pra semelhança fluidodinâmica varia dependendo se o regime de escoamento é laminar ou turbulento.

  • E falar em manutenção de nível de agitação é bem rápido. Queremos que:

N A 1 = N A 2

Lembrando que N A é o nível de agitação.

Resposta

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Um certo processo fermentativo é realizado por células em um reator em escala piloto. Para manter o meio homogêneo, é necessária agitação. Entretanto, deve-se tomar cuidado! Células são sensíveis e se a agitação for muito intensa, pode-se matá-las. Há um limite da força que as células conseguem suportar.Deseja-se ampliar a escala do processo para um reator industrial. Sabendo-se das necessidades do processo, o que deve ser avaliado para a mudança de escala?

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Passo 1

Já vimos que há três tipos de semelhança que são geralmente usadas na hora de fazer mudança de escala:

  1. Semelhança geométrica
  2. Semelhança fluidodinâmica
  3. Manutenção do nível de agitação

O enunciado diz que células são sensíveis e há um limite da força que as células conseguem suportar. Daí o critério que deve ser avaliado é principalmente a semelhança fluidodinâmica, pois este critério avalia as forças no sistema.

E, como vimos na teoria, a semelhança geométrica é a mais básica das semelhanças, então esta também deve ser respeitada.

Já a manutenção do nível de agitação fica em segundo plano... Não podemos a priorizar porque, talvez, manter o nível de agitação geraria uma força superior ao que as células podem suportar.

Resposta

Exercício Resolvido #3

Cremaso, Marco Aurélio. Operações unitárias em sistemas particulados e fluidomecânicos, 2 °   e d - Adaptado

Calcule o valor da potência útil ao se reduzir pela metade o valor do número de rotações de rotações do impelidor referente a um tanque com chicanas. As únicas informações disponíveis do sistema original são:

R e = 5,143 * 10 4

D = 60   c m

ν = 0,035   c m 2 / s

W u ˙ = 34,216   W

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Passo 1

Essa questão é um exemplo de que não necessariamente precisa mudar o tanque para mudar a escala. Aqui a escala foi mudada devido à mudança do número de rotações do impelidor.

E repara que, ao mudar o número de rotações, estamos mudando também o número de Reynolds do impelidor, já que:

R e = N   D 2 ν

E, ao mudar o Reynolds do impelidor, há mudança fluidodinâmica no sistema.

Algo que temos que notar é que há semelhança geométrica nas duas situações, até porque nem chegamos a mudar o tanque.

Para a mudança de escala, vamos usar a semelhança fluidodinâmica.

Passo 2

Na situação original, o número de Reynolds era

R e = 5,143 * 10 4

Com:

D = 60   c m

ν = 0,035   c m 2 / s

Como o número de rotações, N , que é diretamente proporcional a R e , foi reduzido pela metade, o novo Reynolds será:

R e = 2,571 * 10 4

Dando uma olhada na curva b do gráfico para curva de potência, já que o impelidor é de pás retas e há chicanas no tanque.

Vemos que esse valor de número de Reynolds corresponde a regime turbulento. Daí, a semelhança fluidodinâmica pode ser expressa por:

W ˙ u ρ N 3 D 5 1 = W ˙ u ρ N 3 D 5 2

Como o fluido do processo é o mesmo nos dois casos, a densidade, ρ , é a mesma. Ficamos com:

W ˙ u N 3 D 5 1 = W ˙ u N 3 D 5 2

E, como o diâmetro do impelidor é o mesmo nos dois casos, podemos cortar os D também”

W ˙ u N 3 1 = W ˙ u N 3 2

Passo 3

Como estamos interessados na potência útil no caso 2, bora isolar esse termo:

W ˙ u 2 = W u ˙ 1 * N 2 N 1 3

O enunciado diz que o número de rotações foi reduzido pela metade, daí:

N 1 = 2 * N 2

Substituindo isso, ficamos com:

W u ˙ 2 = W ˙ 1 8

E agora é só fazer conta haha Como na situação inicial W u ˙ = 34,216   W :

W u ˙ 2 = 34,216 8 = 4,277   W

Resposta

W u ˙ 2 = 4,277   W

Exercício Resolvido #4

Cremaso, Marco Aurélio. Operações unitárias em sistemas particulados e fluidomecânicos, 2 °   e d - Adaptado

Obtenha o valor da potência útil, bem como projete o sistema de agitação, para tratar 10   m i l litros de efluente, mantendo o mesmo nível de agitação. A referência é o seguinte sistema de agitação, em que o volume do tanque é projetado para ser 20 % maior do que o volume de líquido:

Repare, pelas relações geométricas utilizadas, que o sistema de referência é padrão.

Sabe-se, também, que é borbulhamento de ar nos dois sistemas, que a agitação é intensa e que:

N r e f e r ê n c i a = 8,3   r p s

W ˙ u   r e f e r ê n c i a = 59,51   W

V l   r e f e r ê n c i a = 83,33   l i t r o s

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Passo 1

Já tínhamos feito um projeto e agora temos que ampliar a escala.

Podemos escrever o volume de líquido ( V l ) como:

V l = π 4 T 2 H

Como há borbulhamento de gás, usamos:

H / T = 1,2

Daí:

V l = 0,3   π   T 3

Vou trabalhar no sistema de unidades CGS, daí, 10   m i l litros vale 1,0 * 10 7   c m 3 .

1,0 * 10 7   c m 3 = 0,3 * π * T 3

Calculando o diâmetro do tanque:

T = 219,74   c m   ≈ 220   c m

A partir do valor de T , poderíamos calcular as demais medidas com base nas proporções padrão, assim como foram obtidas pra o projeto de referência. Entretanto, podemos nos basear, alternativamente, na semelhança geométrica, que é como vou seguir.

Passo 2

Usando a semelhança geométrica para obter as outras medidas do tanque:

Passo 3

Como a agitação é intensa, vamos considerar que o regime é turbulento. Daí, usamos para a semelhança geométrica:

W ˙ u ρ N 3 D 5 1 = W ˙ u ρ N 3 D 5 2

Partindo do princípio que o fluido é o mesmo nos dois casos, a densidade é a mesma.

W ˙ u N 3 D 5 1 = W ˙ u N 3 D 5 2