Eficiência

Teoria Completa

Introdução

Fala, galera! Chegamos em um tópico bem importante e que vamos usar em todos os equipamentos de separação. Usamos um equipamento de separação para obter uma separação, né? Mas precisamos saber quão eficiente está sendo essa separação.

Bora ver o esquema de um equipamento de separação genérico:

Apenas uma das correntes vai ser coletada e queremos saber quanto de partículas tem nessa corrente em relação ao que entrou no separador. Essa corrente mais rica em partículas vamos chamar de concentrado. Geralmente, ela vai ser a corrente que sai por baixo dos equipamentos e, por isso, vou usar " u " (de underflow) como índice pra falar do concentrado. Isso de geralmente o concentrado sair por baixo é porque costumamos trabalhar com processos em que ρ S > ρ , ou seja, processos em que a densidade das partículas é maior que a do fluido.

Daí surge o nosso primeiro conceito:

Eficiência total (ou global) de separação E T

Já dei a dica na introdução:

E f i c i ê n c i a = c o l e t a d o   n o   c o n c e n t r a d o e n t r a d a

E temos duas formas de calcular essa eficiência: nos baseando na massa de partículas ( E T ) ou nos baseando no número de partículas ( E T N ). A primeira é a que vamos usar quase sempre (ou sempre haha), mas bora ver os dois.

A eficiência calculada por massa fica:

E T = W S   u W S

Ou seja, a massa DE PARTÍCULAS que sai no concentrado dividido pela massa que entra.

Já a eficiência por número de partículas fica:

E T N = N u N = Q u . X u Q . X

Em que N é o número de partículas, X é a concentração em número de partículas e Q é a vazão.

Agora, quero te mostrar outra relação que pode ser útil pra você.

Começamos pelo balanço de massa para partículas no separador:

W S = W S o + W S u

Dividindo tudo por W S :

1 = W S o W S + W S u W S

Isolando o W S o W S e lembrando que E T = W S   u W S :

W S o W S = 1 - E T

Essa relação é útil pra quando precisarmos saber a concentração da corrente diluída e soubermos a eficiência. “Mas o importante é o concentrado!” Também, mas imagina que eu quero aumentar a recuperação de partículas e faço essa corrente do overflow (" o ") passar por um outro equipamento de separação. Daí ela vai ser importante.

Razão de fluido ( R f )

A razão de fluido é quanto de FLUIDO sai no concentrado, junto com as partículas, em relação a quanto de fluido entrou no separador:

R f = Q f u Q f

Outra forma de representar isso é usando concentração volumétrica; C v é o volume de partículas dividido pelo volume de suspensão, mas s u s p e n s ã o = p a r t í c u l a s + f l u i d o , certo?

V s u s p e n s ã o = V p a r t í c u l a s + V f l u i d o

Dividindo tudo por V s u s p e n s ã o :

1 = V p a r t í c u l a s V s u s p e n s ã o + V f l u i d o V s u s p e n s ã o

Daí:

V f l u i d o V s u s p e n s ã o = 1 - C v

Acabamos de ver uma forma de expressar a “concentração de fluido”. Daí também podemos escrever R f em função não da vazão de fluido, mas direto da vazão total:

R f = Q f u Q f = Q u ( 1 - C v u ) Q ( 1 - C v )

O importante da razão de fluido é que ela funciona como se tivesse um T na tubulação, tipo, é como se ele dividisse a corrente em uma parte R f que é como se não passasse pelo separador (como se fosse um by-pass) e outra parte ( 1 - R f ) que passa.

Agora, embora o R f seja uma medida para o fluido, pensa só nessa situação: se R f = 20 % , significa que 20 % do fluido meio que ultrapassa o separador, certo? Mas esse fluido NÃO vai olhar as partículas dele e falar “Saiam daqui! Entrem no separador enquanto eu o ultrapasso”.

Ou seja, esse fluido que “ultrapassa” o separador vai levar, com ele, as partículas nele contidas, com a distribuição/concentração iqual a da entrada do equipamento. Então, se R f = 20 % , é como se 20 % de suspensão já fosse direto pro concentrado e você pode afirmar que pelo menos 20 % das partículas vão ser separadas. Daí a razão de fluido garante uma eficiência mínima de coleta iqual a R f , ou seja, pra esse caso que te falei, a eficiência mínima vai ser E T = 20 % .

Eficiência total REDUZIDA E T '

Quando há R f no equipamento, a eficiência total vai meio que ser mascarada; vai ter uma parte de partículas que foi coletada pelo equipamento em si e outra parte que foi coletada pelo efeito T gerado pelo R f .

E T   c o m   R f = E e q u i p a m e n t o + e f e i t o   T

A eficiência total reduzida E T ' é uma medida da eficiência do equipamento em si, desconsiderando o efeito T da razão de fluido. A partir de E T , ela pode ser calculada por:

E T ' = E T - R f 1 - R f  

Eficiência granulométrica (ou individual por tamanho de partícula G

Muitas vezes não vamos ter a informação da eficiência total direto e vamos ter que calculá-la baseado na distribuição y da alimentação; com o que temos até agora ainda não conseguimos fazer isso, mas se soubermos a eficiência para cada diâmetro, conseguimos prever um comportamento para a amostra como um todo.

Então bora lá. A eficiência granulométrica é definida como a massa de um dado diâmetro recuperada em relação a massa desse diâmetro que entrou:

G = W S u | d   W S | d = W S u . X u W S . X = E T . X u X

Só que:

X = d y d d

Daí a gente chega em:

G = E T . d y u d d d y d d

“Cortando” os d d :

G = E T . d y u d y

Essa fórmula usamos se tivermos as curvas y u e y . Se, por exemplo, E T for 80 % e:

y = d 100 2   e       y u = d 100 3

Daí, derivando:

d y d d = 2 d 10 4       e     d y u d d = 3 d 2 10 6

E a expressão para G em função de d para esse exemplo fica:

G = E T . d y u d d d y d d = 0,8 . 3 d 2 10 6 2 d 10 4 = 0,012 . d

Voltando aos casos gerais, as curvas G   v e r s u s   d tem mais ou menos esse formato de “S” aqui:

  • G   v e r s u s   d caso R f = 0
  • G   v e r s u s   d caso R f ≠ 0
  • Duas coisas bemmm importantes que eu quero que você repare dessas curvas:

  1. G é (e tem que ser!) no máximo igual a 1 ; isso porque você não pode recuperar mais partículas do que alimenta
  2. Quando tem razão de fluido R f , ele garante eficiência mínima igual a ela para todas as curvas; isto é, G é, no mínimo, igual a R f

Ah! Uma definição importante e que vai aparecer muitooooo daqui pra frente:

  • Diâmetro de corte d 50 é o diâmetro para qual G = 0,5
  • Cálculo de E T sabendo G

    Lembra que eu te falei que sabendo a eficiência para cada diâmetro íamos conseguir achar a eficiência para a amostra como um todo? A curva G vai nos dizer qual a eficiência para um dado diâmetro; se considerarmos todos os diâmetros, podemos unir as contribuições deles e calcular a eficiência global E T . Fazemos isso com essa integral aqui:

    E T = ∫ 0 1 G . d y

    Guarda essa expressão com carinho porque vamos usar bastante haha

    Algo importante é que temos G em função de d , mas vamos integrar em d y daí vamos ter que colocar d em função de y . Tipo, se, por exemplo, a curva y for descrita por:

    y = d 100 0,5  

    Podemos, nesse caso, elevar os dois lados ao quadrado e multiplicar em X par isolar d :

      d = 100 . y 2

    Eficiência granulométrica reduzida G '

    Da mesma forma que existe eficiência total reduzida E T ' , existe eficiência granulométrica reduzida G ' . A motivação é a mesma: querer medir a eficiência granulométrica do aparelho em si quando há razão de fluido. Calculamos G ' por:

    G ' = G - R f 1 - R f

    Quando trabalhamos com G ' , podemos calcular E T ' por:

    E T ' = ∫ 0 1 G ' . d y

    Equipamentos de separação em série

    Para finalizar esse capítulo só falta falar de equipamentos de separação em série. Às vezes, a quantidade de partículas que você recupera em um equipamento de separação não é suficiente pra você; daí colocamos um segundo equipamento de separação para aumentar essa recuperação. A questão é que o que alimenta o segundo equipamento é a corrente diluído do primeiro (que é, geralmente, o overflow).

    Além de poder olhar para cada equipamento isoladamente, que já aprendemos ao longo do capítulo, podemos olhar pra esse conjunto como uma coisa só:

    Chamando o primeiro equipamento de 1 e o segundo de 2 , podemos escrever a eficiência do conjunto como:

    E T c o n j u n t o = E T 1 + 1 - E T 1 . E T 2

    Só vamos usar essa forma se tivermos o E T 1 e E T 2 dados! Fora isso, vamos por G .

    Para a eficiência granulométrica é a mesma ideia:

    G c o n j u n t o = G 1 + 1 - G 1 . G 2

    Ou seja, essas fórmulas estão nos dizendo que a separação total do conjunto é o que é separado no primeiro equipamento E T 1   o u   G 1 somado ao que é separado no segundo, sendo que para o segundo só vai o que não foi separado no primeiro [   1 - E T 1   o u   1 - G 1 ] e, nesse segundo, essa corrente será separada com a eficiência do segundo equipamento [ E T 2   o u   G 2 ] .

    E da mesma forma que podíamos escrever E T = ∫ 0 1 G . d y para o caso de um único equipamento, podemos escrever, para um conjunto:

    E T c o n j u n t o = ∫ 0 1 G c o n j u n t o . d y 1

    Repara que usamos d y 1 , ou seja, integramos com base no y que entra no equipamento 1 . Estamos considerando o conjunto como um equipamento único e a entrada dele tem distribuição y 1 né.

    A vantagem, aqui, é que não precisamos saber a curva y o 1 , então são menos cálculos.

    Fica atento: se quiséssemos calcular E T 2 , NÃO poderíamos usar a curva y 1 pra fazer   E T = ∫ 0 1 G . d y porque y 1 é a entrada do primeiro separador e NÃO do segundo; por isso disse que só iriamos por E T c o n j u n t o = E T 1 + 1 - E T 1 * E T 2 se já tivéssemos E T 1 e E T 2 , senão é bem mais complicado.

    Expandir

    Exercício Resolvido #1

    Elaboração própria

    Sabendo que a razão de fluido em um separador é 20 % e que a eficiência total reduzida do separador é 75 % , calcule a eficiência global de coleta.

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Essa daí é só pra reforçar o conceito, aplicação de fórmula de cara haha

    Sabemos que R f = 0,2 e que E T ' = 0,75 . A razão de fluido garante uma separação mínima (de valor igual ao de R f ) para todas as partículas; E T ' nos informa a eficiência do separador em si. Podemos calcular a eficiência global de coleta (que considera essas duas contribuições) por:

    E T ' = E T - R f 1 - R f  

    Substituindo os valores:

    0,75 = E T - 0,2 1 - 0,2

    0,75 = E T - 0,2 0,8

    E T = 0,8   o u   80 %

    Isso faz sentido? SIMMM. A vazão associada com a razão de fluido é como se tivesse 100 % de coleta, já que ela carrega partículas com a mesma distribuição original e isso faz com que a eficiência global do separador aumente.

    Resposta

    E T = 0,8   o u   80 %

    Exercício Resolvido #2

    Elaboração própria

    Em   um certo equipamento de separação, a curva G   v e r s u s   d pode ser escrita por: G = 0,2 * d 0,5   p a r a   d ≤ 25   μ m G = 1   p a r a   d > 25   μ m

    Sabendo que a expressão para y em função de d (em μ m ) na alimentação do separador é:

    y = d 100 0,5

    Calcule a eficiência global de coleta.

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Primeiro de tudo, vamos entender porque essa curva de G   v e r s u s   d está dividida em dois intervalos. Lembra que eu disse lá na teoria que G pode ser no máximo 1 , já que você não pode recuperar mais do que alimenta? Então, mas a curva que descreve G pode, em alguns casos, ultrapassar 1 , já que ela é um simples ajuste matemático; nesses casos, a gente força G no máximo 1 estabelecendo uma fronteira: até o diâmetro em que G = 1 por esse modelo matemático, calculamos G pelo modelo matemático; para diâmetros maiores, G = 1 .

    Agora vamos ver o que a questão pede: temos G e queremos a eficiência global de coleta, ou seja, E T . Vimos, la na teoria, uma fórmula que relaciona esses dois caras:

    E T = ∫ 0 1 G * d y

    Só temos que prestar atenção porque, como G é dividida em intervalos, essa integral também vai ser:

    E T = ∫ 0 y l i m ⁡ G * d y + ∫ y l i m 1 ⁡ G * d y

    Em que y l i m ( y “limite”) é o y associado ao diâmetro de “fronteira”, diâmetro em que ocorre a divisão de G ; nesse exemplo, esse diâmetro é 25   μ m . Jogando na fórmula de y , achamos y l i m :

    y = d 100 0,5

    y l i m = 25 100 0,5 = 0,5

    Daí:

    E T = ∫ 0 0,5 ⁡ ( 0,2 * d 0,5 ) * d y + ∫ 0,5 1 ⁡ 1 * d y

    Masssss, repara que tem um d pra ser integrado e estamos integrando em d y ; precisamos, antes de integrar, escrever d em função de y .

    Passo 2

    Como:

    y = d 100 0,5

    Elevando os dois lados ao quadrado:

    y 2 = d 100

    Isolando d :

    d = 100 * y 2

    Substituindo isso naquela integral:

    E T = ∫ 0 0,5 ⁡ [ 0,2 * 100 * y 2 0,5 ] * d y + ∫ 0,5 1 ⁡ 1 * d y

    E T = ∫ 0 0,5 ⁡ 2 * y * d y + ∫ 0,5 1 ⁡ 1 * d y

    Resolvendo:

    E T = 0,25 + 0,5 = 0,75

    Resposta

    E T = 0,75   o u   75 %

    Exercício Resolvido #3

    Elaboração própria

    Calcule a eficiência de um hidrociclone Rietma com base na seguinte fórmula pra G ' :

    G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 d d 50 ' 3

    Dados: d 50 ' = 14,3   μ m   , R f = 0,28 e sabe-se, também, como o diâmetro e m   μ m varia com y :

    d = 14 * [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,2

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    O enunciado pediu pra gente calcular a eficiência; como ele não especifica, é a total E T . Pra chegar lá temos um caminho pra percorrer. Temos d 50 ' e a expressão para d em função de y . Daí temos tudo de G ' . Podemos achar E T ' por:

    E T ' = ∫ 0 1 G ' * d y

    Como o que queremos é E T , vamos usar:

    E T ' = E T - R f 1 - R f  

    Passo 2

    Escrevendo G ' em função de tudo que sabemos:

    G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 14 * [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,2 14,3 3

    Para obter E T ' , precisamos resolver a seguinte integral: E T ' = ∫ 0 1 G ' * d y

    Resolvendo na calculadora:

    E T ' = ∫ 0 1 G ' * d y = 0,384

    Como queremos E T , vamos ter que considerar a razão de fluido:

    E T ' = E T - R f 1 - R f  

    Como R f = 0,28 :

    0,384 = E T - 0,28 1 - 0,28  

    E T = 0,56   o u   56 %

    Resposta

    E T = 0,56   o u   56 %

    Exercício Resolvido #4

    Adaptado - Massarani, G. ( 2002 ). Fluidodinâmica em Sistemas Particulados, 2 a   e d .

    Deseja-se estudar o desempenho de uma bateria constituída por 2 ciclones Lapple em série

    com respectivamente 63,6   c m e 45   c m de diâmetro no tratamento de 27,7   m 3 / m i n de gás contendo 3 % em volume de sólido.

    Sabendo que as eficiências granulométricas de coleta de cada um dos dois ciclones podem ser escritas como:

    G 1 = d 6,31 2 1 + d 6,31 2           e           G 2 = d 3,47 2 1 + d 3,47 2

    Calcule a eficiência global de coleta do conjunto, sabendo que a distribuição da entrada do primeiro ciclone é:

    y = 1 - exp ⁡ - d 17,3 1,5    

    Observação: todos os diâmetros estão em μ m .

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Essa questão fala de ciclones, que ainda não vimos! E agora!? Mas calma aí, repara que eu já escrevi as curvas de G e o enunciado deu a curva pra y então ainda não precisamos saber nada de ciclone pra resolver e achar essa eficiência global de coleta. Ufa! Haha

    A gente só tem que lembrar que o que não é separado no primeiro equipamento é que vai para o segundo; a eficiência granulométrica total do conjunto pode ser escrita pela contribuição do que é separado no primeiro somado com a contribuição do que não foi separado no primeiro, mas foi no segundo; como vimos lá na teoria:

    G c o n j u n t o = G 1 + 1 - G 1 . G 2

    E, para calcular a eficiência global de coleta, podemos usar:

    E T c o n j u n t o = ∫ 0 1 G c o n j u n t o . d y 1

    Lembrando que colocar G em função de y (ao invés de d ), usando a curva y   v e r s u s   d da alimentação, já que esta é a entrada do conjunto.

    Passo 2

    Temos G em função de d , mas precisamos dele em função de y para poder integrar. Usando a curva y   v e r s u s   d da alimentação, podemos escrever d em função de y e substituir em G :

    y = 1 - exp ⁡ - d 17,3 1,5  

    Manipulando:

    exp ⁡ - d 17,3 1,5 = 1 - y

    - d 17,3 1,5 = ln ⁡ 1 - y

    d 17,3 1,5 = - ln ⁡ 1 - y

    d = 17,3 . [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,5

    Passo 3

    Substituindo d em função de y em cada uma das expressões de G :

    G 1 = 17,3 . [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,5 6,31 2 1 + 17,3 . [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,5 6,31 2