Câmara de poeira

Teoria Completa

Que rufem os tambores! Finalmente chegamos nos equipamentos de separação : ) Eles são o grande objetivo de tudo que estudamos até agora. Então bora lá!

Câmara de Poeira

Esse é o equipamento mais simples que vamos ver. Ele é usado para separar partículas sólidas de um GÁS! De novo: separar partículas sólidas de um GÁS! É, simplesmente, uma caixa. Chamando de H a altura, L o comprimento e B a largura:

Lembrando do tópico de escoamento, sabemos que na direção do movimento do fluido, a partícula caminha com a mesma velocidade do fluido e na direção do campo de força (que no caso aqui é o campo gravitacional) ela caminha com velocidade terminal. Então, a trajetória dela é tipo assim:

“Então você tá dizendo que a partícula vai pro chão?” Muita calma nessa hora! Não disse isso. A TENDÊNCIA é a partícula ir para o chão, mas a questão é que ela leva um certo tempo para descer até o chão e o tempo que ela fica dentro da câmara pode ou não ser suficiente para ela chegar no chão.

E qual é a importância de conhecer esse tempo? A partir deles conseguimos dimensionar a câmara de poeira! Já que o que queremos é que as partículas cheguem ao chão ANTES de atravessar a câmara. Porque assim conseguimos separar elas do gás.

Podemos partir da definição de velocidade que já conhecemos:

v e l o c i d a d e = d i s t â n c i a t e m p o  

Daí:

    t e m p o = d i s t â n c i a v e l o c i d a d e

Só que existem dois tipos diferentes de tempos que precisamos calcular para câmaras de poeira.

O primeiro deles é o tempo que ela leva pra chegar ao “chão” da câmara. Nosso querido tempo de queda.

t Q u e d a = H v t

Ou seja, a partícula percorre H com a velocidade v t dela (puramente na direção y), gerada pelo campo gravitacional.

E o outro tempo é o tempo de residência, que nada mais é do que o comprimento da câmara ( L ) dividido pela velocidade da partícula na direção x , que é a velocidade do fluido, u .

t R e s i d ê n c i a = L u = H B L u H B = V Q

Note que esse tempo também é igual à razão entre o volume da câmara ( V ) e a vazão de alimentação ( Q ). A vazão de alimentação ( Q ) da câmara é o produto da velocidade do fluido (velocidade no eixo x) e área de entrada da câmara (HB).

E como dimensionaríamos essa câmara de poeira a partir dos tempos? Bem, vamos pensar numa partícula que entra láá bem pertinho do teto. No caso mais crítico, vamos recuperar ela no “último” milímetro da base da câmara. Isso significa que ela vai percorrer H no mesmo tempo que vai percorrer L . Logo, os tempos de queda e residência dessa fofa devem ser iguais.

H v t = L u

Assim, v t pode ser calculado por:

v t = H u L

Caso a vazão Q seja conhecida e sabendo que Q = B H u , podemos escrever essa equação da seguinte forma:

v t = Q B L

E v t tá relacionado com um diâmetro de partícula, né? Então, através desse v t a gente pode calcular o diâmetro daquela partícula que entrou na parte mais alta da nossa câmara e foi coletada lá no finalzinho. Esse cara, a gente vai chamar de d m i n ou d 100 .

d m i n = 18 μ   v t ρ s - ρ g

Agora, se uma partícula tiver diâmetro igual a d m i n a gente sabe que ela vai ser coletada. Porque ou ela entra em H e a gente viu que ela é coletada lá no final da câmara, ou ela entra mais embaixo, daí cai ainda mais rápido, então é coletada também.

Partículas maiores que d m i n também são 100% coletadas, porque tem a velocidade terminal ainda maior que a partícula de d m i n .

O que isso significa? Significa que toda partícula com diâmetro maior ou igual a d m i n será coletada com 100% de eficiência na nossa câmara de poeira!!!

d m i n : m e n o r   d i â m e t r o   d e   p a r t í c u l a   q u e   é   c o l e t a d a   c o m   100 %   d e   e f i c i ê n c i a

E pra quem tem diâmetro menor que isso?

Vareia mesmo, titio Einstein.

Se o cara for menor e entrar em H , ele não vai descer a tempo de ser coletado, porque vai ter v t menor que o nosso caso limite (aquele do d m i n ). Agora, ele também pode ser menor, mas, por entrar mais embaixo, ser coletado.

Pra saber se as outras partículas serão coletadas, temos que conhecer a eficiência da câmara de poeira.

Eficiência da Câmara de Poeira

Mas o que seria essa eficiência? Eficiência individual de coleta pode ser definida da seguinte forma:

η = G = V a z ã o   m á s s i c a   d e   s ó l i d o s   c o l e t a d o s   c o m   d a d o   d i â m e t r o   d e   p a r t í c u l a V a z ã o   m á s s i c a   d e   s ó l i d o s   a l i m e n t a d o s   c o m   d a d o   d i â m e t r o   d e   p a r t í c u l a

E como definimos essa tal eficiência para partículas entrando em uma altura qualquer? A eficiência de coleta ou granulométrica ( η   o u   G ) para um dado diâmetro de partícula é a razão da altura que a partícula realmente entrou (y) e a altura da caixa (H).

η = G = y H

E, como para qualquer posição de entrada podemos igualar os tempos de queda e residência, obtemos outra fórmula para eficiência:

η = G = v t L H   u = v t B L Q

Logo, a curva de eficiência granulométrica por diâmetros possui a seguinte forma:

Repara que depois de d = d m i n , todos os diâmetros têm G = 1 já que são 100 % recuperados.

O lance é que sabemos que G tem que ser no máximo 1, e essa equação permite G > 1 . Daí, impomos um limite e vamos ter a equação de G   v e r s u s   d para a câmara de poeira:

G = L . v t H . u   p a r a   d ≤ d m i n G = 1   p a r a   d > d m i n    

Só um detalhe: saber esse porquê de ter essa definição em intervalos para G na câmara de poeira é importante; já vi aparecer em questão teórica em prova.

Diâmetro de Corte

A gente já definiu d m i n como diâmetro mínimo pras partículas serem coletadas com 100% de eficiência. Agora vamos definir o diâmetro de corte, d 50 ou d * , que é o diâmetro das partículas que são coletadas com 50% de eficiência.

E esse d 50 pode nos ajudar a simplificar algumas equações. A eficiência da câmara, por exemplo, pode ser expressa assim:

G = 0,5 . d d 50 2   p a r a   d ≤ d m i n G = 1   p a r a   d > d m i n

Atenção! Isso aí só é válido se assumirmos que as partículas sedimentam na região de Stokes (regime laminar né). E presta atenção que os “limites de validade” da função seguem em relação ao d m i n e não a d 50 .

E a relação existente entre d m i n e d 50 é:

d m i n = 2 . d 50

Pra guardar no coração!

Algumas recomendações

Quando tivermos mais de uma solução possível para nossos problemas, mais de uma câmara de poeira possível de projetar, usamos as recomendações de Svarovsky (E não! Não é o mesmo dos cristais haha):

  1. Teto quadrado, isto é, B = L
  2. Quando você não tiver nenhuma informação de u , use u p r o j e t o = 0,5   m / s . Caso contrário, use o que o problema der né.
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Exercício Resolvido #1

UERJ - Prof. André Luís Alberton

Determine as dimensões de uma câmara de poeira de teto quadrado   ( B = L ) , para separação de partículas de 100 micra com eficiência de 100%, sendo a vazão de gás igual a 9   m 3 / s . A densidade do gás é de 0,9   k g / m 3 e a viscosidade do ar é de 2,18 . 10 - 5   P a . s . A densidade do sólido é igual a 2100   k g / m 3 . A velocidade do fluido na câmara de poeira deve ser de 0,6   m / s . Por simplicidade, adote Stokes!

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Passo 1

Antes da gente sair fazendo conta que nem uns loucos, bora extrair algumas boas informações desse enunciado aí.

Vamos por etapas; primeiro, vou listar as propriedades do fluido e das partículas:

ρ = 0,9   k g / m 3

μ = 2,18 . 10 - 5   P a . s

ρ S = 2100   k g / m 3

Em algum lugar ele deu informação sobre a morfologia? E sobre a esfericidade? Não, né. Então, assumimos que a partícula é esférica, isto é:

Φ = 1

Quanto à câmara de poeira, ele diz que o teto é quadrado, B = L . Além disso, ele dá u = 0,6   m / s .

Até agora só copiamos dados, mas agora vem o importante: ele pede a câmara de poeira para separação de partículas de 100   μ m com eficiência de 100 % . Se eu preciso de um comprimento x para a câmara de poeira dar essa eficiência, não vou gastar um milímetro a mais de material pra construir a câmara do que esse valor x (material custa dinheiro né!). O que quero dizer com isso é que, se esse d = 100   μ m é separado no último pedacinho da câmara, ele é o d 100 !

d 100 = 100   μ m

Outra coisa é que essa eficiência que ele fala é relativa a um diâmetro, certo? Então, ele tá falando de eficiência granulométrica, que é o G . Daí, temos que para d = 100   μ m , o G = 1 . Guarda essas duas últimas informações com carinho.

Além disso, o enunciado diz que Q = 9   m 3 / s   e fala que podemos assumir Stokes, ou seja, sedimentação no regime de Stokes.

Passo 2

Agora sim, podemos sair fazendo contas que nem uns loucos haha

Primeiro de tudo, bora calcular a velocidade terminal da nossa partícula d = 100   μ m = 100 . 10 - 6 m . Lembra que estamos considerando região de Stokes e partícula esférica. Daí, se você for lá no capítulo de força resistiva, vai achar essa equação aqui:

v t → , e s f   S = ρ S - ρ   .   b   → .   d 2 18   .   μ

Não tem nenhum campo centrífugo na câmara de poeira, então b = g = 9,81   m / s 2 . Coloquei em unidades do SI já porque vou trabalhar com elas nessa questão; os dados estão quase todos no SI e câmaras de poeira têm dimensões da ordem de metros. Daí:

v t → , e s f   S = 2100 - 0,9   .   9,81   .   ( 100   .   10 - 6 ) 2 18   .   ( 2,18   .   10 - 5 ) = 0,525   m / s

Na câmara de poeira, para d ≤ d 100 :

G = L   .   v t H   .   u

Substituindo os valores que temos para a d 100 :

1 = L   .   0,525 H   .   0,6 = L H   .   0,875

L H = 1,1 4

L = 1,1 4   .   H           e q u a ç ã o   1

Ok, guarda isso. Bora usar agora a informação sobre u . Sabemos que:

u = Q H . B

Substituindo o que temos:

0,6 = 9 H B

H B = 15       e q u a ç ã o   2

Temos duas equações e três incógnitas, massss sabemos que B = L . Daí, substituindo onde tem L por B e reescrevendo essas duas equações:

B = 1,1 4 H H B = 15

Pronto! Duas equações e duas incógnitas. A álgebra linear garante solução única. Substituindo a primeira na segunda:

H   .   1,1 4 H = 15

1,1 4 . H 2 = 15

H 2 = 13 , 12

H = 13 , 12 = 3,6 2   m

Jogando esse valor de volta na primeira:

B = 1,1 4   .   3,6 2 = 4,1 4   m

E B = L , daí:

L = 4,1 4   m

Resposta

H = 3,6 2   m

B = L = 4,1 4   m

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Uma Câmara de Poeira ( H = 1   m ) precisa ser projetada para tratar 7200   m 3 / h de um efluente gasoso industrial contendo partículas ( S G s = 3   ) em suspensão. Considere que as propriedades físicas do gás sejam ( ρ = 1,2 k g m 3 e μ = 2   x   10 - 5   k g m   s   ).

Pede-se para calcular as demais dimensões da câmara de poeira considerando teto quadrado e que o diâmetro mínimo coletado com eficiência de 100% seja 10   μ m .

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Passo 1

Bora, organizar os dados?

Dimensões e Parâmetros da Câmara de Poeira

Altura H = 1,0   m

E como é teto quadrado, temos que B = L , ou seja, largura e comprimento são iguais.

Foi dado também a vazão da câmara de poeira, que vamos trocar a unidade de tempo de hora para segundo para poder ficar consistente com as outras contas que faremos:

Q = 7200 m 3 h = 7200   m 3 h x 1   h 3600   s = 2 m 3 s

Propriedades importantes

A partir do dado S G s , conseguimos achar o ρ s .

S G s = 3 = ρ s ρ = ρ s 1000   k g m 3

ρ s = 3   x   10 3   k g / m 3

E as propriedades do gás que foi fornecido:

ρ = 1,2 k g m 3 e μ = 2   x   10 - 5   k g m   s

Passo 2

Pede-se as dimensões da câmara de poeira. E para calcular isso, o diâmetro mínimo de partícula, que é o primeiro diâmetro que é coletado com eficiência de 100 %, foi especificado como 10   μ m ou 10 - 5 m . E ele pode ser calculado também por essa fórmula:

D m i n = 18   μ   Q B L ρ s -   ρ g

Então, podemos substituir todos os valores na fórmula e só não teremos B e L , que são iguais.

D m i n = 18 x   2   x   10 - 5 x   2 B x L x 3000 -   1,2 9,81 = 10 - 5

2,45   x   10 - 8 B x L = 10 - 5

2,45 x 10 - 8 B L =   10 - 10

2,45 x 10 - 8 B L =   10 - 10

B L = 244,75

Mas como B = L :

B = L = 15,64   m

Resposta

B = L = 15,64   m

Exercício Resolvido #3

Adaptado de Lista de Exercícios Operações Unitárias I – UFRJ – Turma noite

Uma Câmara de Poeira ( B = 2,5   m , H = 0,8   m , L = 3,0   m ) trata 3600   m 3 / h de um efluente gasoso industrial contendo partículas ( S G s = 2   ) em suspensão. Considere que as propriedades físicas do gás sejam ( ρ = 1 k g m 3 e μ = 2   .   10 - 5   k g m   s   ).

Pede-se o diâmetro mínimo da partícula considerando a interação sólido fluido de Stokes e a fração acumulada mínima dado que a distribuição de tamanho de partícula é do tipo GGS ( m = 2 e D 100 = 1 . 10 - 4   m ).

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Passo 1

Primeiramente, vamos organizar os dados que a questão forneceu:

Dimensões e Parâmetros da Câmara de Poeira

Largura B = 2,5   m

Altura H = 0,8   m

Comprimento L = 3,0   m

Foi dado também a vazão da câmara de poeira, que vamos trocar a unidade de tempo de hora para segundo para poder ficar consistente com as outras contas que faremos:

Q = 3600 m 3 h = 3600   m 3 h . 1   h 3600   s = 1 m 3 s

Propriedades importantes

A partir do dado S G s , conseguimos achar o ρ s .

S G s = 2 = ρ s ρ r e f e r ê n c i a = ρ s 1000   k g m 3

ρ s = 2 . 10 3   k g / m 3

E as propriedades do gás que foram fornecidas:

ρ = 1 k g m 3 e μ = 2 . 10 - 5   k g m   s

Distribuição de Tamanho de Partículas

A distribuição segue o modelo GGS, portanto:

y = d D 100 m = d 1 . 10 - 4 2

Passo 2

Pede-se o diâmetro mínimo de partícula, que é o primeiro diâmetro que é coletado com eficiência de 100 %, certo? Para uma câmara de poeira, considerando stokes, obtemos:

D m i n = 18   μ   Q B L ρ s -   ρ g = 18 . 2 . 10 - 5 . 1 3   .   2,5 . 2000 -   1 . 9,81 = 4,94 . 10 - 5 m

Passo 3

E para achar a fração acumulada mínima ( y A m i n )? Agora, como sabemos que o modelo é GGS e calculamos o d m i n , conseguimos encontrar o y A m i n para a câmara de poeira.

y A m i n = d D 100 m = d m i n 1 . 10 - 4 2 = 4,94 . 10 - 5 1 . 10 - 4 2 = 0,244

Resposta

D min ⁡ = 4,94 . 10 - 5 m

y A m i n = 0,244

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Calcule a eficiência total de uma câmara de poeira sabendo que a eficiência de separação de uma partícula de 150   µ m   na câmara de poeira é igual a 9 0 % .

A distribuição das partículas pode ser aproximada por:

y = d 300 0,8   c o m   d   e m   µ m .

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Passo 1

Para achar a eficiência total na câmara de poeira ( E T ) , é só integrar G em y , em toda a faixa de y , isto é, de 0 a 1 , como vimos na teoria:

E T = ∫ 0 1 G * d y

Mas, antes, temos que saber quem é o G , certo?

Para câmara de poeira, vale:

G = L * v t H * u   p a r a   d ≤ d 100 G = 1   p a r a   d > d 100

Não temos nenhuma informação das dimensões da câmara... Daí NÃO é conveniente trabalhar com essas equações, dessa forma; é melhor trabalhar com ela adimensional:

G = 0,5 * d d 50 2   p a r a   d ≤ d 100 G = 1   p a r a   d > d 100

Passo 2

O que sabemos é que a eficiência de separação de uma partícula de 150   µ m   na câmara de poeira é igual a 9 0 % . Repara que ele está falando de G , pois amarrou eficiência para um dado diâmetro.

  d = 15 0   μ m   ∴ G = 0 , 9

Usando a equação de G para d = 15 0   μ m , conseguimos achar d 50 :

G = 0,5 * d d 50 2

0 , 9 = 0,5 * 15 0 d 50 2

d 50 = 111,8   μ m

Mas os limites de G envolvem d 100 , né? Precisamos achá-lo. Vimos, na teoria, que usando essa fórmula aí de G dá pra chegar em:

d 100 = 2 * d 50

Daí:

d 100 = 158,1   μ m

Portanto:

G = 0,5 * d 111,8 2   p a r a   d ≤ 158,1 G = 1   p a r a   d > 158,1

Em termos de y :

y = 158,1 300 0,8

y = 0,60

G = 0,5 * d 111,8 2   p a r a   y ≤ 0,60 G = 1   p a r a   y > 0,60