Força Resistiva

Teoria Completa

Introdução

Nós já sabemos que a velocidade de uma partícula sedimentando em um fluido não vai aumentar infinitamente; ela vai aumentando até que chega em um valor constante, que é a velocidade terminal dela. Vimos lá no tópico de velocidade terminal que isso acontece devido a uma força resistiva ao movimento, que é a força de arraste. Também vimos que essa força de arraste depende do coeficiente de arraste; bora lembrar dele?

C D = f D π . d 2 4 . ρ . u → - v → 2 2

O que não vimos ainda é como calcular o valor de C D , mas vamos ver agora.

Outra coisa que quero te lembrar é que, também da análise dimensional, descobrimos que o C D depende do número de Reynolds R e , que é esse aqui oh:

R e p = ρ . v t . d μ

Eu coloquei v = v t por causa daquele lance da partícula atingir a velocidade terminal muito rapidamente. Então podemos desprezar a fase acelerada do movimento.

Voltando pra C D , o lance é que a forma de calcular o C D varia com o Reynolds também. Mas vou te passar um bizu: existem umas correlações maravilhoooosas que servem pra até números muitooo altos de Reynolds e vamos poder trabalhar APENAS com elas.

Problemas Clássicos

Existem dois tipos de problema que podem aparecer na sua prova e, para cada um deles, você vai ter que usar uma correlação um pouquinho diferente. Então bora ver esses dois casos:

1. Dados d e Φ , quero v t

Vou escrever, agora, a fórmula para C D e v t . A de C D eu sei que é a primeira vez que vou apresentar dessa forma, que vem da análise dimensional também:

C D = 4 . ρ S - ρ . b . d 3 . ρ . v t 2 R e p = ρ . v t . d μ

Tendo d , o diâmetro da partícula, se tivéssemos o valor de C D ou de R e p , poderíamos isolar v t e calcular ela. Mas não temos ☹

Mas e se desse pra manipular o C D e o R e p de forma a eliminar esse v t que está nos causando problemas? Opa, isso dá pra fazer: temos que fazer C D . R e p 2 . Fica assim:

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2

Temos todas as informações pra calcular C D . R e p 2 , então é isso que iremos fazer. E com esse valor na mão, podemos calcular R e p e C D separadamente (por meio de correlações), o que vai nos permitir finalmente calcular o v t .

Vou agora te mostrar o outro caso e depois listo todas as correlações, ok?

2. Dados v t e Φ , quero d

Da mesma forma, precisamos manipular C D e R e p , mas agora pra fazer o d sumir da nossa equação. Para esse caso aqui, vai ser C D R e p :

C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3

E depois relacionamos isso com o R e p e calculamos o d.

Bora ver como encontramos R e p a partir desses valores calculados então.

Correlações de Coelho e Massarani

Chegou a hora de ver essas correlações que eu falei. Qual usar depende do caso em que você estiver. Por exemplo, se estiver no caso 1 e tiver tido que calcular o C D R e p 2 , você vai ter que usar a correlação pra R e p que envolve o C D R e p 2 . Além disso, tem uma correlação para C D   também.

C D = 24 k 1 R e p 0,85 + k 2 0,85 1,18

R e p = 24 k 1 C D R e p 2 1,2 + k 2 C D R e p 2 0,6 - 0,83

R e p = 24 k 1 C D R e p 0,65 + k 2 C D R e p 1,3 0,77

E repara que aparecem k 1 e k 2 , que tem essas definições aqui:

k 1 = 0,843 log ⁡ Φ 0,065

k 2 = 5,31 - 4,88 Φ

E essas correlações valem até o R e p = 2 . 10 5 , então não precisa se preocupar com o regime de escoamento : )

Duas coisas são muito importantes sobre essas correlações:

  • Usar o diâmetro d V sempre, isto é, diâmetro da esfera de mesmo volume que a partícula.
  • As correlações supõem partícula isolada! Ou seja, partícula sozinha.

Mas e se a partícula não estiver isolada? Nesse caso vamos fazer tudo o que fizemos até agora e depois corrigimos o valor encontrado de v t , usando uns fatores que vamos ver já já.

Correções para a velocidade terminal de esferas isoladas

As correlações consideram uma esfera isolada, sozinha, sem nada por perto, mas, na prática, nem sempre vamos poder considerar isso. Então, bora ver algumas correções:

1. Efeito da concentração

Lembra aquela frase lá da Física de que dois corpos não podem ocupar o mesmo lugar ao mesmo tempo? O sistema partícula-fluido também tem que respeitar isso né. À medida que uma partícula vai sedimentando, o fluido vai “andando” em volta dela, pra cima, e “dando espaço” pra ela descer.

Se a gente tiver mais e mais partículas, o espaço para o fluido passar subindo é menor. Acontece que um mesmo volume de fluido tem que subir, independente do espaço pra ele passar ser grande ou pequeno, e pra compensar a diminuição do espaço pra ele passar, a velocidade dele aumenta.

Agora imagina duas situações: a primeira é você andando livremente pela orla de uma praia com um ventinho no seu rosto. A segunda é você tentando sair de um metrô enquanto um mar de pessoas tenta entrar nele correndo. Concorda que é mais difícil você se movimentar quando o que está vindo na direção oposta ao seu movimento está com “mais força”, mais velocidade? A mesma coisa acontece com a partícula...se o fluido que está vindo em direção oposto fica mais rápido, isso representa uma maior força resistiva ao movimento dela e por isso a velocidade terminal dela DIMINUI.

Para calcular a velocidade terminal a uma concentração de partículas C v v t C , usamos a expressão desenvolvida por Richardson e Zaki:

v t C = v t ∞ ( 1 - C v ) n

Em que o valor de n é calculado de forma diferente dependendo do R e p :

R e ∞ ≤ 0,2   → n = 4,65 0,2 < R e ∞ ≤ 1 → n = 4,35 R e ∞ - 0,03 1 < R e ∞ ≤ 500   → n = 4,45 R e ∞ - 0,1 R e ∞ > 500   → n = 2,39

Com R e ∞ sendo o Reynolds calculado supondo que a esfera está isolada.

E, esclarecendo os termos que aparecem nessa expressão:

v t ∞   é   a   v e l o c i d a d e   d a   p a r t í c u l a   i s o l a d a ,   à   d i l u i ç ã o   i n f i n i t a C v   é   a   c o n c e n t r a ç ã o   v o l u m é t r i c a   d e   p a r t í c u l a s

A concentração volumétrica calculamos assim:

C v = v o l u m e   d e   p a r t í c u l a s v o l u m e   d e   s u s p e n s ã o = v o l u m e   d e   p a r t í c u l a s v o l u m e   d e   p a r t í c u l a s + v o l u m e   d e   f l u i d o

Algo importante pra dizer é que só vamos usar correção de concentração se C v > 1 % .

2. Efeito de Parede

A ideia do efeito de parede é semelhante ao efeito de concentração. Da mesma forma que a presença de outras partículas próximas àquela estudada fazem a v t diminuir, quando tiver partícula próxima à parede, sobra menos espaço pro fluido subir e isso faz com que a velocidade terminal diminua.

Geralmente desprezamos esse efeito porque a porcentagem de partículas que sedimenta próxima a parede é bem pequena em comparação à quantidade total de partículas precipitando. Mas tem um caso particular que não podemos desprezar por essa porcentagem não ser desprezível: viscosímetro de bola, que tem um efeito lateral simétrico de parede cilíndrica. Vou deixar as equações listadas aqui caso você algum dia precise, mas não vou gastar muito tempo com ele porque não tem nenhuma operação de separação em que esse efeito seja importante.

3. Efeito de Stokes-Cunningham

Esse efeito só ocorre em gás! E só é importante quando o diâmetro d da partícula é bem pequeno, da mesma ordem de grandeza do livre percurso médio do gás, que é representado por λ .

Esse livre percurso médio do gás é uma medida da distância média que uma molécula de gás percorre entre um choque e outro com outra molécula de gás. E isso é importante porque o atrito vem de choques da molécula do fluido (que no caso é o gás) com a partícula que está sedimentando, ou seja, precisa ter esse choque pra ter o atrito.

“Mas o que o choque entre moléculas do gás tem a ver com o choque entre molécula do gás e partícula sedimentando?” Então, quando o diâmetro da partícula é da mesma ordem de grandeza do livre percurso médio do gás, a partícula consegue, às vezes, passar entre as moléculas do gás, sem haver choque. E menos choque representam menos atrito, e menos atrito significa que esse efeito AUMENTA v t .

Vamos então usar um fator C para corrigir a velocidade terminal e, como esse efeito aumenta v t , C ≥ 1 .

v t = C ( ρ S - ρ ) b d 2 18 μ

C = 1 + 2 λ d 1,257 + 0,4 exp ⁡ - 1,1 d 2 λ

λ = μ 0,499 ρ 8 R T π P M - 0,5

Em que:

R   é   a   c o n s t a n t e   d o s   g a s e s   i d e a i s P M -   é   o   p e s o   m o l e c u l a r   m é d i o

Eu sei que as fórmulas são meio tensas, mas uma notícia boa é que embora a teoria desse efeito seja importante e talvez caia em prova, dificilmente vamos considerar esse efeito. Isso porque desprezá-lo é ser conservador uma vez que esse efeito facilita separações, por aumentar v t .

Se você projetar um equipamento pra um cliente dizendo que ele tem eficiência de 80 % e na hora que ele for usar conseguir eficiência de 85 % que seja, ele vai te amar...mas se for o contrário, você provavelmente seria demitido.

Mais um detalhe que tenho que falar é o caso de diminuir muitooooo o tamanho da partícula. Aí, não se observa aumento de v t . O que acontece é que a partícula nem sedimenta.

Calma que eu explico haha. Quando a partícula é muitoooo pequena, ela é tão levinha que sente o choque das moléculas e fica em um movimento aleatório, que chamamos de movimento browniano.

Não resisti haha Movimento browniano não tem nadaaa a ver com brownie mas pelo menos ajuda a lembrar hahah

Diagrama C D   v e r s u s   R e p para partículas NÃO-esféricas

Nem todas partículas são esféricas ( Φ = 1 ) . O que vai acontecer com as não esféricas ( Φ ≠ 1 ) é que o atrito vai ser maior para elas em comparação com as esféricas e daí o C D   (coeficiente de atrito) vai ser maior pra elas. Um diagrama C D   v e r s u s   R e p ficaria mais ou menos como esse aqui embaixo, em que quanto mais pra cima a curva, menor a esfericidade (e maior o C D para um mesmo R e p ).

Pra você “visualizar” melhor, pensa numa folha de papel. Se soltarmos ela deitada, ela vai levar um certo tempo pra cair no chão. Agora experimenta amassar ela toda e fazer uma bolinha; vai cair bem mais rápido. A massa da folha é a mesma nos dois casos; o que mudou foi que no segundo a esfericidade era maior.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Calcule a velocidade terminal de uma partícula de hematita com diâmetro de 30   μ m e esfericidade 0,6 sedimentando em água à 20 ℃ .

Dados:

  • Densidade da hematita vale 5   g / c m 3
  • Utilize, para a água à 20 ℃ , ρ = 1   g / c m 3 e μ = 1,002 . 10 - 2   P
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bora reunir tudo que sabemos:

ρ S = 5   g / c m 3

d = 30   μ m

Φ = 0,6

ρ = 1   g / c m 3

μ = 1,002 . 10 - 2   P

O problema pede pra gente calcular a velocidade terminal e nos dá, como informação, d e Φ , entre outras coisas. Não vamos querer ficar iterando, então vamos usar as correlações de Coelho e Massarani. Mas qual caminho seguir, C D R e p 2 ou C D R e p ? Bora dar uma olhada nas fórmulas:

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2

C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3

Repara que temos tudo pra calcular o C D R e p 2 mas não tudo pra calcular C D R e p . Daí, vamos por C D R e p 2 .

Vou adotar o CGS (centímetro-grama-segundo) como sistema de unidades. Todos aqueles nossos dados já estão no CGS, com exceção do diâmetro, mas podemos converter:

d = 30   μ m = 30 . 10 - 6   m = 30 . 10 - 4 . 10 - 2   m = 30 . 10 - 4 c m

Ah, só pra lembrar, Poise é a unidade de viscosidade dinâmica ( μ ) no CGS:

1   P = 1 g c m . s

Muuuuuito cuidado na hora de jogar os valores na fórmula para não misturar diferentes sistemas de unidades, ok?

Passo 2

Calculando C D R e p 2 :

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2 = 4 . 5 - 1 . 1 . 981 . ( 30 . 10 - 4 ) 3 3 . ( 1,002 . 10 - 2 ) 2 = 1,407

Agora, precisamos usar a correlação para R e p que envolva C D R e p 2 :

R e p = 24 k 1 C D R e p 2 1,2 + k 2 C D R e p 2 0,6 - 0,83

Epa! Não temos nem k 1 nem k 2 , mas bora calcular:

k 1 = 0,843 log ⁡ Φ 0,065 = 0,843 . log ⁡ 0,6 0,065 = 0,81

k 2 = 5,31 - 4,88 Φ = 5,31 - 4,88 . 0,6 = 2,38

Agora sim podemos usar a correlação para R e p :

R e p = 24 0,81 . 1,407 1,2 + 2,38 1,407 0,6 - 0,83 = 4,67 . 10 - 2

Agora precisamos da definição de Reynolds para achar a velocidade terminal. Lembra que a fórmula que vamos usar direto pra Reynolds é:

R e p = ρ . v t . d μ

Substituindo os valores que temos:

4,67 . 10 - 2 = 1 . v t . 30 . 10 - 4 1,002 . 10 - 2

v t = 0 , 156   c m / s

Achamos : )

Resposta

v t = 0 , 156   c m / s

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria.

Calcule a máxima velocidade terminal em uma amostra de partículas de sílica, com diâmetros entre 80   μ m e 200   μ m , sedimentando em água à 20 ℃ . Considere que a concentração de partículas no fluido é muito baixa.

Dados: ρ S = 2,7   g / c m 3 e Φ = 0,6  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos uma amostra de sílica com diâmetros que variam de 80 a 200   μ m mas que possui esfericidade constante ( Φ = 0,6 ). O problema pede a máxima velocidade terminal nessa amostra.

O fluido em que as partículas estão sedimentando é água à 20 ℃ . Repara que eu não dei dados sobre o fluido no enunciado e isso foi proposital. Na prova, nem sempre você vai ter esses dados diretamente; muitas vezes vai ser que nem nesse enunciado aqui: só diz o fluido e a temperatura dele. Aí, vamos ter que ir atrás de tabelas relacionando temperatura, densidade e viscosidade dinâmica (que é o μ ) para o fluido em questão. Indo numa dessas tabelas, você vai achar que:

ρ ≈ 1   g / c m 3

μ = 1,002 . 10 - 2   P

Outro ponto do enunciado que vale a pena ressaltar é quando fala “Considere que a concentração de partículas no fluido é muito baixa.”, que, basicamente, é dizer que não precisa fazer correção de concentração para a velocidade terminal.

Passo 2

Temos que, antes de qualquer coisa, determinar qual é o diâmetro da faixa que tem maior velocidade terminal. Dá uma olhada na fórmula “genérica” de velocidade terminal:

v t → = 2 . V . ρ S - ρ . b → A . ρ . C D

Tanto a área projetada ( A ) como o volume ( V ) podem ser escritos como uma constante (que depende da morfologia da partícula) vezes uma potência do diâmetro. Para o volume, essa constante é o fator de forma C ; para a área projetada, não tem nenhuma constante específica, então bora dizer que essa constante é K .

v t → = 2 . C . d 3 . ρ S - ρ . b → K . d 2 . ρ . C D

Daí, simplificando os diâmetros:

v t → = 2 . C . d . ρ S - ρ . b → K . ρ . C D

Bora comparar as velocidades terminais de duas partículas, 1   e 2 , dessa amostra com d 1 > d 2 . Não sei se as velocidades são   =, > ou < , daí vou usar uma interrogação entre elas:

v t 1       ?       v t 2

2 . C 1 . d 1 . ρ S - ρ . b → K 1 . ρ . C D 1       ?       2 . C 2 . d 2 . ρ S - ρ . b → K 2 . ρ . C D 2

Tudo que for constante e igual dos dois lados a gente pode cortar.

  • Como as partículas possuem mesma morfologia (lembra que essa é uma premissa que sempre usamos para partículas de um mesmo material mesmo se o enunciado não explicitar isso, mas, nesse caso, ele deixou implícito quando deu uma esfericidade só): C 1 = C 2 = C e K 1 = K 2 = K .
  • Estando as partículas no mesmo fluido, estamos com iguais ρ   e   μ  
  • Como estão todas as partículas juntas submetidas a um único campo de forças, b → é um só
  • Como as partículas são do mesmo material, ρ S é um só

Daí:

d 1 C D 1       ?     d 2 C D 2

Vimos, lá na teoria, que C D depende de R e p e Φ , isto é, C D = C D R e p , Φ   . Como a morfologia é igual nos dois casos, sobra apenas R e p pra analisar. A fórmula do R e p é

R e p = ρ . v . d μ

Ou seja, quanto maior d , maior o R e p . Agora, lembra lá daquele gráfico C D   v e r s u s   R e p :

Conforme o R e p aumenta, C D ou diminuiu ou fica constante, mas nunca aumenta.

  • Se C D 1 = C D 2 :
  • d 1 C D 1       ?     d 2 C D 2  

    d 1     ?     d 2

    Como d 1 > d 2 :

    d 1   >   d 2  

    Daí:

    v t 1 > v t 2

  • Se C D 1 < C D 2 :

d 1 C D 1   > d 2 C D 2  

Daí:

v t 1 > v t 2

Ou seja, a velocidade terminal é sempre maior quanto maior for o diâmetro da partícula, comparando-se partículas de mesmo material e nas mesmas condições. Isso é uma coisa que você tem que saber. Eu demonstrei matematicamente aqui, mas na prova, muito provavelmente, você não vai precisar. Basta lembrar.

Voltando, temos que ver qual é o maior diâmetro da amostra pois é pra ele que temos que calcular a velocidade terminal. E ele é:

d = 200   μ m

Passo 3

Não sabemos qual o regime de escoamento e não queremos ficar iterando então vamos aplicar as correlações de Coelho e Massarani, mas qual caminho seguir, C D R e p 2 ou C D R e p ?

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2

C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3

Repara que nós temos d e Φ ,mas queremos v t . Daí, vamos por C D R e p 2 :

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2 = 4 . 2,7 - 1 . 1 . 981 . ( 200 . 10 - 4 ) 3 3 . ( 1,002 . 10 - 2 ) 2 = 177,18

Repara que eu joguei todos os valores na fórmula com unidades do CGS (centímetro-grama-segundo). Não podemos misturar sistemas de unidades, hein! Cuidado com isso! Lembrando que o Poise é a unidade de viscosidade dinâmica do CGS.

Como fomos por C D R e p 2 , para calcular o R e p usamos:

R e p = 24 k 1 C D R e p 2 1,2 + k 2 C D R e p 2 0,6 - 0,83

Opa! Não sabemos k 1 e k 2 . Bora calcular:

k 1 = 0,843 log ⁡ Φ 0,065 = 0,844 . log ⁡ 0,6 0,065 = 0,81

k 2 = 5,31 - 4,88 Φ = 5,31 - 4,88 . 0,6 = 2,38

Daí:

R e p = 24 0,81 . 177,18 1,2 + 2,38 177,18 0,6 - 0,83 = 3,93