Velocidade Terminal

Teoria Completa

Uma vez uma professora estava contando sobre um artigo que leu: gatos que caem de andares mais altos de prédios sobrevivem mais do que os que caem de andares mais baixos. Isso tem a ver com velocidade terminal. No final desse tópico, vou te explicar melhor isso. Mas, por enquanto, fica com uma foto dos meus gatíneos lindos e em segurança aí haha

Introdução à Dinâmica da Partícula

Antes de chegar em velocidade terminal, precisamos passar por alguns pontos, ok?

Estamos estudando sistemas particulados, então, vamos ter um sistema com partículas e fluido. Precisamos ver a interação entre eles. Para isso, vamos fazer um balanço de forças para a partícula. Qual a força F que atua numa partícula?

Existem dois tipos de forças importantes na nossa análise: forças de campo ( f C ) e forças de superfície ( f S ).

F = f C + f S

  • Forças de campo atuam independentemente de contato. Na nossa análise, as forças de campo que vamos ter de considerar são peso e empuxo. A força peso atua na direção e sentido da gravidade enquanto o empuxo atua em sentido oposto. Daí, para uma partícula sedimentando em um fluido:
  • Agora, usamos Física 1 pra escrever uma expressão para f C matematicamente:

    f C = P → + E → = m . g → - V . ρ . g →

    Vetorialmente, f c é a soma entre o peso e o empuxo. Mas, como o empuxo atua na direção contrária a g , aquele menos ali vai aparecer.

    Lembrando que ρ é a massa específica do fluido e ρ S é a massa específica da partícula e escrevendo a massa m como m = V . ρ S :

    f C = V . ρ S . g → - V . ρ . g → = V . ρ S - ρ . g →

    Mas escrevemos essa expressão supondo que a partícula está sob atuação do campo gravitacional, por isso consideramos a gravidade. Porém, ela pode estar imersa em um campo de força diferente, então, bora generalizar. Vamos usar a letra b → para nos referirmos ao campo de força genérico:

    f C = V . ρ S - ρ . b →

    Alguns exemplos do módulo de b → , que é b →   , são:

    b →   = g   ,   p a r a   c a m p o   g r a v i t a c i o n a l   b →   = Ω 2 . r   ,   p a r a   c a m p o   c e n t r í f u g o

    Em que:

    Ω   é   a   v e l o c i d a d e   a n g u l a r   d a   p a r t í c u l a Ω . r   é   a   v e l o c i d a d e   t a n g e n c i a l   d a   p a r t í c u l a

  • Quanto à força de superfície, esta é dividida, ainda, em duas outras: força de arraste ( f D ) e força de sustentação ( f L ).
  • f S = f D + f L

    Acontece que, em sistemas particulados, a força de arraste é muito maior que a força de sustentação( f D ≫ f L ). Daí:

    f S ≅ f D

    Outra coisa importante de falar é que a força de arraste é resistiva ao movimento, ou seja, tem sentido oposto ao movimento.

    “Mas qual a expressão da força de arraste?” Calmaaa. É isso que vamos ver agora : )

    Coeficiente de arraste ( C D )

    Podemos fazer uma análise dimensional, usando o teorema π de Buckingham, para chegar na expressão de f D . O passo a passo não é tão importante pra gente, então vou pular, ok? O que é legal de saber é quais variáveis importam para a força de arraste. Dá uma olhada:

    d   : d i â m e t r o   d a   p a r t í c u l a u → - v →   : m ó d u l o   d a   v e l o c i d a d e   r e l a t i v a   e n t r e   f l u i d o   e   p a r t í c u l a ρ   : m a s s a   e s p e c í f i c a   d o   f l u i d o μ   : v i s c o s i d a d e   d o   f l u i d o Φ   : e s f e r i c i d a d e   d a   p a r t í c u l a  

    Em que vamos considerar que u → é a velocidade do fluido e v → é a velocidade da partícula.

    Fazendo a análise dimensional, chegamos aos seguintes resultados:

    C D = f D π d 2 4 . ρ . u → - v → 2 2

    Em que π d 2 4 é a área projetada da partícula e ρ . u → - v → 2 2 é energia cinética por unidade de volume associada à velocidade relativa. E C D , que é o coeficiente de arraste (também conhecido como coeficiente de arrasto e coeficiente de atrito), é um adimensional que aparece durante a análise.

    Então a gente vê que C D e a força de arraste ( f D ) são diretamente proporcionais, ou seja, quanto maior um, maior o outro.

    Outro resultado da análise dimensional é que C D é função do número de Reynolds da partícula e da esfericidade dela.

    C D = C D R e p , Φ  

    Em que o Reynolds da partícula é dado pela expressão:

    R e p = ρ . u → - v → . d μ

    Algo bem útil pra te falar sobre o R e p é que ele é definido dessa forma aí que eu acabei de te mostrar, é assim que você vai encontrar em formulários etc. E ter u → - v → faz sentido, já que a partícula se move com a velocidade relativa mesmo... Mas quando formos usar o R e p para alguma análise da partícula, vamos usar só v → porque vai nos dar uma ideia real da partícula.

    R e p = ρ . v . d μ

    Não se preocupa com isso por agora, depois vou explicar melhor isso; só estou avisando logo pra você não estranhar depois.

    A equação do movimento da partícula

    De novo, vamos usar Física 1. Bora relembrar a segunda lei de Newton: somatório de forças externas ( F ) é igual a massa vezes aceleração. Sendo que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo; como vamos aplicar a lei de Newton para a partícula, é a velocidade v → que entra nessa derivada.

    F → = m . a → = m . d v → d t

    E já vimos que F = f C + f S ≅ f C + f D . O que temos que fazer é substituir isso na expressão acima. Já vou jogar com f C e f D substituídos por suas fórmulas e colocando f D na forma de vetor, que vai ser multiplicar ele por ( u → - v → ) .

    m . d v → d t = V . ρ S - ρ . b → + A 2 . ρ . C D . u → - v → . ( u → - v → )

    A expressão de f D a gente acha isolando o f D da expressão de C D , e esse A é aquele termo que disse que era a área projetada.

    Velocidade Terminal

    E, finalmente, chegamos em velocidade terminal.

    Mas, antes de qualquer coisa, o que é essa tal de velocidade terminal? Velocidade terminal é a máxima velocidade que a partícula pode realmente atingir na sua sedimentação; é uma velocidade constante e, portanto, associada a uma aceleração zero.

    “Mas porque isso ocorre? Por que a velocidade não aumenta infinitamente?” A resposta pra isso é força de arraste! Conforme a partícula ganha velocidade, a força de arraste aumenta; isso vai acontecendo até que o somatório das forças atuando sobre a partícula vai a zero e, como F = m . a , a aceleração também vai a zero e, a partir desse momento, a partícula se move com velocidade terminal.

    Bora analisar uma partícula sedimentando em um fluido parado pra você entender isso tudo melhor. Só dois detalhes antes:

  • Como o fluido está parado, u → = z e r o
  • No instante em que se larga a partícula no fluido, a velocidade v → dela é zero

Daí, no instante inicial:

Quando o tempo é maior que zero, a partícula já está em movimento e, por isso, surge a força de arraste. Entretanto, antes de atingida a velocidade terminal, ainda há aceleração uma vez que ainda há força resultante   P → > E → + f D →   . Repara que essa força resultante aponta pra baixo já que a velocidade está aumentando pra baixo, ou seja, a aceleração aponta pra baixo.

Quando P → = E → + f D → , a força resultante se anula e, como F = m * a , a aceleração também se anula. A partir desse instante a partícula se move com velocidade terminal, que vai ser constante. O instante de tempo em que isso ocorre vamos chamar de t t e r m i n a l .

Algo bem útil e importante é saber que os tempos para as partículas atingirem a velocidade terminal são, geralmente, bemmmmmm curtos. Então, provavelmente sempre, vamos desprezar a fase acelerada do movimento e considerar que a partícula se move com velocidade terminal (a partir de agora, vamos chamar de v t ) desde o início, tempo zero.

Partícula sedimentando em fluido parado

Bora ver a equação de v t para o caso de uma partícula sedimentando em fluido parado. Partindo da equação do movimento da partícula:

m . d v d t = V . ρ s - ρ . b + A 2 . ρ . C D . u - v ( u - v )

Vamos considerar o fluido parado, então u → = z e r o . Para v = v t , a velocidade não muda mais, então consideramos aceleração zero. Aquela derivada ali em relação ao tempo “some”. Olha só como que fica isso aí:

0 = V . ρ S - ρ . b + A 2 . ρ . C D . - v t . ( - v t   )

Isolando o v t :

v t = 2 . V . ρ S - ρ . b A . ρ . C D

Se a partícula for uma esfera: V = π d 3 6 e A = π d 2 4

v t e s f e r a = 4 . d . ρ S - ρ . b 3 . ρ . C D

Qual diâmetro eu uso?

Falei várias vezes de diâmetro nesse tópico, mas se a partícula não for esférica, ela não vai ter um diâmetro e sim um diâmetro equivalente, né. Nesse caso, sempre usamos o d V porque o que importa, mesmo, pra velocidade terminal “não é o diâmetro” e sim a massa da partícula. O diâmetro é uma forma de relacionar tamanho e massa; tipo, lembra de densidade:

ρ S = m p V p

Se temos o volume e a densidade, descobrimos a massa. Então, vamos precisar saber o volume exato das partículas e o diâmetro equivalente que vai nos informar isso é o d V .

Se você reparar, tem diâmetro e densidade na fórmula de v t .

Artigo sobre queda de gatos

Prometi que ia te explicar! Fazendo uma analogia entre gatos e avião: a gente “sente o movimento” na hora da decolagem, por exemplo, mas não ao longo do voo. É porque nesse momento há uma (grande) aceleração; no resto da viagem, é praticamente velocidade constante, com aceleração zero.

Quando os gatos caem de andares baixos, não dá tempo de eles chegarem na velocidade terminal de queda. “Ué, mas você não disse o tempo pra chegar em v t era muito curto?”

Sim, eu disse isso, mas para partículas, que são pequenas né. Quanto maior a massa do que está caindo, mais demora pra chegar na velocidade terminal e a massa de um gato é muitoooo maior do que uma partícula de 450   μ m , por exemplo.

Já os gatos que caem de andares mais altos atingem a velocidade terminal antes de atingir o chão. Daí eles atingem o chão com aceleração zero. E aí entra a analogia com o avião. Como eles não “sentem” o movimento, eles se posicionam melhor na hora da queda, caem em uma posição melhor e é isso que faz diferença na hora da sobrevivência.

Mas se você tiver animais em casa, por favor não confie na física, coloque rede de proteção : )

Expandir

Exercício Resolvido #1

Mostre as forças atuando sobre uma partícula sedimentando em cada um dos casos abaixo:

  1. Partícula sob ação de campo gravitacional sedimentando imersa em um fluido parado
  2. Partícula sob ação de campo gravitacional sedimentando no vácuo absoluto
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Passo 1

Antes de qualquer coisa, estou colocando essa questão aqui porque caiu uma igualzinha na minha prova quando fiz essa disciplina haha.

Esse exercício não quer nada muito complexo, é só fazer um desenho das forças atuando na partícula em cada um dos casos.

Para a partícula sedimentando num fluido parado, é igualzinho ao que vimos na teoria.

Já pra partícula no vácuo, temos que ter mais atenção! Como ela está em vácuo absoluto, NÃO vai ter nem empuxo e nem força de atrito, arraste! Isso porque o empuxo é uma força sim relacionada com o campo gravitacional, mas que só existe quando o corpo está imerso em um fluido. Já o atrito, surge do choque do corpo com partículas do meio em que ela está sedimentando, mas como está no vácuo, não tem essas partículas do meio então não há choques que gerem atrito.

Passo 2

  1. Partícula sob ação de campo gravitacional sedimentando imersa em um fluido parado
  2. Para uma partícula sob ação de campo gravitacional sedimentando imersa em um fluido parado, temos o mesmo caso que vimos na teoria.

  • Por estar sob ação do campo gravitacional, vai aparecer a força peso.
  • Por estar imersa em um fluido e sob ação do campo gravitacional, aparece o empuxo.
  • Por estar com uma velocidade não nula em um meio contendo “algo” (repara que aqui eu estou me referindo às partículas do fluido, moléculas do fluido... e não às partículas que estão sedimentando) vai ter força de arraste
  • Temos que desenhar essas setinhas então elas têm que ter algum tamanho. Eu sei que lá da Física a gente aprende que tamanho está relacionado ao módulo, mas ignora isso nesse exercício, ok? Não temos nenhuma informação pra avaliar os módulos dessas forças nesse exercício então simplesmente desenhe e seja feliz haha.

    Passo 3

  • Partícula sob ação de campo gravitacional sedimentando no vácuo absoluto
  • Foi aquilo que discutimos lá no passo 1, se está em vácuo absoluto, não há empuxo e nem força de atrito. Vai ter apenas a força peso, devido ao campo gravitacional.

  • Por estar sob ação do campo gravitacional, vai aparecer a força peso.
  • Por NÃO estar imersa em um fluido, NÃO há empuxo.
  • Por NÃO haver choques com a partícula sedimentando uma vez que não há nada no caminho dela (está no vácuo, né?), NÃO haverá força de arraste.

Resposta

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Sobre a velocidade terminal de uma partícula sedimentando em um líquido parado, classifique as afirmativas em verdadeiras ou falsas. Justifique sempre.

  1. Mudar o material que compõe a partícula não alteraria sua velocidade terminal
  2. A aceleração é máxima quando v = v t
  3. Considerando densidade constante, quanto maior a partícula, maior será sua velocidade terminal
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Passo 1

O objetivo dessa questão é fixar bem os conceitos teóricos desse capítulo. Vamos precisar bastante deles daqui pra frente.

Bora lá, temos o caso de uma partícula sedimentando num fluido parado e três afirmativas sobre velocidade terminal pra analisar. Já que vamos falar de velocidade terminal, é bom ter a fórmula dela ao nosso lado. Pela equação do movimento, chegamos em:

v t → = 2 * V * ρ S - ρ * b → A * ρ * C D