Destilação em Batelada -Único Estágio

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Teoria

Importância desse tópico

Até agora nos tópicos anteriores, tudo que vimos foi a destilação contínua. A destilação em batelada será aquela que a coluna não estará ligada a uma corrente com vazão constante, nessa destilação, vai ser colocado na coluna apenas o material que se deseja destilar.

Ela é super utilizada pois é mais fácil ajustar os parâmetros dessa destilação, ela se adapta com vários cenários operacionais e é indicada para operações de separação onde a vazão e a quantidade de produto de topo é pequena e não indica o uso de separação contínua.

Também faremos todas as deduções de destilação batelada usando o método de Mc-Cabe Thiele para misturas binárias, com aproximações.

Nesse primeiro tópico vamos apenas ver destilação em batelada com um único estágio 😊

Destilação em batelada com um único estágio

O tipo mais simples de destilação em batelada é a destilação em batelada com um único estágio. Podemos definir como um tanque ou vaporizador, em contato com um dispositivo de aquecimento, que gerará uma corrente vaporizada. Essa corrente será coletada e sua composição será x d ( t ) . O produto final obtido, separado no tanque que coletou o produto condensado ao longo do tempo terá a composição x p ( t ) .

Podemos definir algumas outras variáveis que vão aparecer quando estivermos estudando isso:

B ( t ) é o número de mols de líquido no vaporizador no tanque no instante t .

x b ( t ) é a composição do líquido no tanque no instante t .

B o é número de mols de líquido iniciado no tanque.

x b 0 é a composição inicial de líquido no vaporizador.

y t é a composição do vapor que deixa o pote no instante t .

x d ( t ) é a composição instantânea do produto de topo no instante t .

x p t é a composição média do produto de topo no instante t no tanque de produto.

Hipóteses e avaliação da Batelada em único estágio

Para fazer o modelo matemático dessa destilação vamos assumir algumas hipóteses:

A primeira é que o vapor de composição y t está em equilíbrio com o líquido remanescente no tanque no instante t .

A segunda é que a taxa de vaporização é constante. Logo, D ( t ) é constante.

Para fazer o balanço de massa, precisaremos fazer um balanço de massa que varie com o tempo, ou seja, transiente.

Balanço de Massa Global

d B d t = - D

Balanço de Massa por Componente

d ( B ∙ x b ) d t = - D ∙ x d

Resolvendo a multiplicação dentro da nossa derivada, obtemos que:

x b ∙ d B d t + B ∙ d ( x b ) d t = - D ∙ x d

Podemos substituir   d B d t = - D e obter que:

- x b ∙ D + B ∙ d ( x b ) d t = - D ∙ x d

Reorganizando essa equação, obtemos que:

B ∙ d x b d t = - D ( x d - x b )

Sabemos que   d B d t = - D , portanto - d B D = d t . Substituindo na equação anterior e reorganizando, obtemos a seguinte equação:

B ∙ d   x b x d - x b = - D ∙ - d B D

d   x b x d - x b = d B B

Se integrarmos obtemos que:

∫ B 0 B ( t ) d B B = ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

B t = B 0   ∙ exp ⁡ ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

ln ⁡ B t B 0 = ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

Cálculo de Tempo de Batelada para destilação em um único estágio

Ainda na destilação em único estágio, podemos calcular o tempo de batelada. Para isso, vamos começar com integração.

d B d t = - D

Integrando, temos que:

∫ B 0 B ( t ) d B = - D ∫ 0 t d t

B t - B 0 = - D ∙ t

B t B 0 - 1 = - D ∙ t B 0

t = 1 - B ( t ) B 0 D / B 0

Como B t = B 0   ∙ exp ⁡ ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b , podemos substituí-lo na expressão do tempo.

t = 1 - B ( t ) B 0 D / B 0 = 1 - B 0   ∙ exp ⁡ ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b B 0 D / B 0

t = B 0 D ∙ 1 - exp ⁡ ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

E, portanto, essa é a nossa equação para determinar o tempo de batelada 😊

Determinação da composição média x p ( t )

Nós falamos que a composição de x d varia com o tempo, e, portanto, usamos uma composição média do produto x p ( t ) .

Para determinar isso, podemos começar com um balanço de massa:

B 0 ∙ x b 0 = B ∙ x b t + ( B 0 - B t ) ∙ x p ( t )

x b 0 - B B 0 ∙ x b ( t ) = 1 - B t B 0 ∙ x p ( t )

x p t = x b 0 - B ( t ) B 0 ∙ x b t 1 - B ( t ) / B 0

Lembrando que aí ainda vai precisar substituir o B ( t ) aí dentro, ok?!?

Mistura binária e solução ideal

Como a mistura é binária e consideramos solução ideal, podemos considerar constante e usar a equação que já utilizamos várias vezes ao longo de operações.

y = ∝ ∙ x 1 + x ∙ ( ∝ - 1 )

Como o condensador utilizado é total, podemos dizer que y t = x d ( t ) . Assim, nossa equação de B ( t ) em função de B 0 fica um pouquinho diferente:

B t = B 0   ∙ exp ⁡ ∫ x b 0 x b t d   x b x d - x b = B 0   ∙ exp ⁡ ∫ x b 0 x b t d   x b y ( t ) - x b ( t )

Assim, resolvendo essa integral, podemos obter uma nova expressão para B ( t ) .

B t = B 0 ∙ e x p   l n x b / x b 0 - ∝   ln  ( 1 - x b ) / ( 1 - x b 0 ) ⁡   ∝ - 1  

Hipóteses e avaliação da Batelada em único estágio

Cálculo de Tempo de Batelada para destilação em um único estágio

Determinação da composição média x p ( t )

Mistura binária e solução ideal

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Quais são as vantagens de se realizar uma destilação em batelada?

Passo 1

A destilação em batelada tem a vantagem de ser mais fácil ajustar os parâmetros pois, ela se adapta com vários cenários operacionais e é indicada para operações de separação onde a vazão e a quantidade de produto de topo é pequena e não indica o uso de separação contínua.

Resposta

A destilação em batelada tem a vantagem de ser mais fácil ajustar os parâmetros pois, ela se adapta com vários cenários operacionais.

Exercício Resolvido #2

Descreva como ocorre a destilação batelada com um único estágio.

Passo 1

Podemos definir a destilação batelada em um único estágio como um tanque ou vaporizador, em contato com um dispositivo de aquecimento, que gerará uma corrente vaporizada. Essa corrente será coletada e sua composição será x d ( t ) .

O produto final obtido, separado no tanque que coletou o produto condensado ao longo do tempo terá a composição x p ( t ) .

Resposta

Podemos definir a destilação batelada em um único estágio como um tanque ou vaporizador, em contato com um dispositivo de aquecimento, que gerará uma corrente vaporizada. Essa corrente será coletada e sua composição será x d ( t ) . O produto final obtido, separado no tanque que coletou o produto condensado ao longo do tempo terá a composição x p ( t ) .

Exercício Resolvido #3

Modele o processo de destilação em batelada em estágio único matematicamente.

Passo 1

Antes de começar a modelação matemática precisamos definir algumas hipóteses:

- O vapor de composição y t está em equilíbrio com o líquido remanescente no tanque no instante t .

- A taxa de vaporização é constante. Logo, D ( t ) é constante.

Lembrando do desenho esquemático:

Passo 2

Com as hipóteses definidas, precisamos fazer um balanço de massa. Para isso, vamos fazer um balanço de massa que varie com o tempo, ou seja, transiente.

Para o balanço de Massa Global temos:

d B d t = - D

Para o balanço de Massa por Componente temos:

d ( B ∙ x b ) d t = - D ∙ x d

Resolvendo a multiplicação dentro da nossa derivada, obtemos que:

x b ∙ d B d t + B ∙ d ( x b ) d t = - D ∙ x d

Podemos substituir   d B d t = - D e obter que:

- x b ∙ D + B ∙ d ( x b ) d t = - D ∙ x d

Reorganizando essa equação, obtemos que:

B ∙ d x b d t = - D ( x d - x b )

Passo 3

Sabemos que   d B d t = - D , portanto - d B D = d t . Substituindo na equação anterior e reorganizando, obtemos a seguinte equação:

B ∙ d   x b x d - x b = - D ∙ - d B D

d   x b x d - x b = d B B

Se integrarmos obtemos que:

∫ B 0 B ( t ) d B B = ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

B t = B 0   ∙ exp ⁡ ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

ln ⁡ B t B 0 = ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

Resposta

ln ⁡ B t B 0 = ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

Exercício Resolvido #4

Desenvolva uma expressão matemática para o cálculo de tempo de destilação em batelada em único estágio.

Passo 1

podemos calcular o tempo de batelada. Para isso, vamos começar com integração.

d B d t = - D

Integrando, temos que:

∫ B 0 B ( t ) d B = - D ∫ 0 t d t

B t - B 0 = - D ∙ t

B t B 0 - 1 = - D ∙ t B 0

t = 1 - B ( t ) B 0 D / B 0

Passo 2

Como B t = B 0   ∙ exp ⁡ ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b , podemos substituí-lo na expressão do tempo.

t = 1 - B ( t ) B 0 D / B 0 = 1 - B 0   ∙ exp ⁡ ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b B 0 D / B 0

t = B 0 D ∙ 1 - exp ⁡ ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

Resposta

t = B 0 D ∙ 1 - exp ⁡ ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

Exercício Resolvido #5

Sabendo que inicialmente temos um tanque com 100   m o l s de líquido de uma substância qualquer. Qual será a quantidade de mols de líquido no tanque sabendo que 30   m i n ⁡ depois do início da destilação x b = 0,5 ? Dado: x d ≈ 1 .

Passo 1

Bora dar uma analisada nessa questão? Aqui nós temos um tanque que está inicialmente com 100   m o l s de um líquido e queremos saber quando desse líquido terá 3 0   m i n iniciar a reação, certo?

Além disso, também nos foi dada a composição no produto de topo. E fazendo o balanço de massa nesse tanque nós temos a seguinte equação:

B t = B 0   ∙ exp ⁡ ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

Passo 2

Analisando a equação vinda do balanço de massa vemos que queremos encontrar B ( t ) e já temos B 0 e x d . Além disso em,

t = 0 → x b o = 0

t = 30   m i n → x b t = 0,5

Show! Agora só nos resta substituir os valores na equação. 😉

Passo 3

Substituindo os valores na equação temos,

B t = 100   ∙ exp ⁡ ∫ 0 0,5 d   x b 1 - x b

B t = 100   ∙ exp ⁡ [ ln ⁡ 1 - 0,5 - l n ⁡ ( 1 - 0 ) ]  

B t = 100   ∙ 0,5

B t = 50   m o l

Ou seja, no tempo de 30   m i n ,   a quantidade de mols de líquido no tanque é 50   m o l .

Resposta

B t = 50   m o l

Exercício Resolvido #6

Sabendo que a relação entre o número de mol de líquido no tanque no instante de 30   m i n e o número de mol inicial no tanque é 0,7 . Calcule a relação entre o número de mol do destilado com o número de mol inicial no tanque.

Passo 1

Vamos lá! De acordo com a nomenclatura que vimos ao longo da teoria temos que o enunciado nos forneceu,

B ( t ) B 0 = 0,7

E,

t = 30   m i n = 0,5   h

E está nos pedindo,

D B 0   =   ?

Então, o que precisamos é relacionar esses caras, certo?

Passo 2

Para nossa felicidade vimos que integrando,

d B d t = - D

Chegamos na seguinte relação,

t = 1 - B ( t ) B 0 D / B 0

Manipulando um pouco ela,

D B 0 = 1 - B ( t ) B 0 t

Com isso, só vamos precisar substituir os valores.

Passo 3

Substituindo os valores,

D B 0 = 1 - 0,7 0,5

Então a relação entre o número de mol do destilado com o número de mol inicial no tanque é,

D B 0 = 0,6

Resposta

D B 0 = 0,6

Exercício Resolvido #7

Sabendo que inicialmente temos um tanque com 100   m o l s de líquido de uma substância qualquer e que após um tempo t ( h ) temos 20 mol em que a composição do líquido no tanque é 0,25 . Determine o tempo de batelada, t , para essa destilação. Dado: x d = 0,6 ,   D = 80   m o l .

Passo 1

Bora dar uma analisada nessa questão? Aqui nós temos um tanque que está inicialmente com 100   m o l s de um líquido e queremos saber quanto tempo a destilação demora para que,

B = 100   m o l

x b = 0,25

Além disso, também nos foi dada a composição no produto de topo e o destilado. Fazendo o balanço nesse tanque temos:

t = 1 - B 0   ∙ exp ⁡ ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b B 0 D / B 0

Passo 2

Analisando a equação anterior vemos que queremos encontrar t e já temos B 0 , x d e D . Além disso em,

t = 0 → x b o = 0

t = t → x b t = 0,5

Show! Agora podemos substituir os valores na equação. Uhuul!

Passo 3

Substituindo os valores na equação temos,

t = 1 - 100   ∙ exp ⁡ ∫ 0 0,25 d   x b 0,6 - x b 100 80 / 100

t = 1 - B 0   ∙ exp ⁡ [ ln ⁡ 0,6 - 0,25 - ln ⁡ 0,6 - 0 ] B 0 D / B 0

t = 1 - 100   ∙ 0,583 100 80 / 100

t = 1,24   h

Resposta

t = 1,24   h

Exercício Resolvido #8

Uma solução aquosa que contém 70   m o l % de A e 30   m o l % de água é submetida a uma destilação diferencial. Sabendo que a volatilidade relativa média de A em relação à água é 2,15 . Encontre a equação da linha de equilíbrio.

Passo 1

Bom, antes de tudo vamos passar um raio X nesse enunciado, beleza? Aqui nós temos uma solução aquosa formada por água (dã) e um componente A. Além disso o enunciado nos forneceu:

α A B = 2,15

x W f = 0,2

x f = 0,7

Repara que o enunciado não nos deu a quantidade da mistura, então vamos utilizar como base de cálculo que,

F = 100   m o l

Além disso, vamos assumir que a solução é ideal, beleza?

Passo 2

Como a mistura é binária e consideramos solução ideal, podemos considerar constante e usar a equação que já utilizamos várias vezes ao longo de operações.

y = ∝ ∙ x 1 + x ∙ ( ∝ - 1 )

Adaptando a nomenclatura para essa questão, temos:

Como a mistura é binária e consideramos solução ideal, podemos considerar constante e usar a equação que já utilizamos várias vezes ao longo de operações.

y D = ∝ A B ∙ x W 1 + x W ∙ ( ∝ A B - 1 ) = 2,15 ∙ x W 1 + x W ∙ ( 2,15 - 1 ) = 2,15 ∙ x W 1 + 1,15 ∙ x W

Para diferentes valores de x w obtemos o y D correspondente e com isso podemos encontrar a equação da linha de equilíbrio.

Passo 3

Então, o que vamos fazer agora é chutar valores de x W e encontrar y D a partir da equação de volatilidade relativa. Por exemplo vamos considerar que,

x W = 0,1

Então,

y D = 2,15 ∙ 0,1 1 + 1,15 ∙ 0,1

y D = 0,194

Fazendo para vários valores temos,

E com isso, fazendo o ajuste não linear, com auxílio da calculadora, conseguimos extrair a equação da linha de equilíbrio,

y = - 0,894 x 2 + 1,734 x + 0,033

Onde o coeficiente de relação é,

  R 2 = 0,999

Resposta

y = - 0,894 x 2 + 1,734 x + 0,033