Destilação em Batelada - Múltiplos Estágios – Caso 01

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Teoria

Importância desse tópico

Já vimos a destilação em batelada com um único estágio. Agora, veremos a destilação em batelada com múltiplos estágios.

Nesse tipo de destilação com múltiplos estágios, veremos que podem existir dois casos. Nesse tópico, explicaremos os dois, mas só focaremos no primeiro. O primeiro caso é quando temos Razão de Refluxo Constante e, portanto, a vazão de D é constante e x d é variável.

Destilação em batelada com múltiplos estágios

A destilação em batelada em múltiplos estágios vai utilizar uma coluna, pois esses múltiplos estágios farão parte da coluna de destilação.

Para a operação de uma coluna com múltiplos estágios, nós precisaremos de uma razão de refluxo, pois precisamos gerar a fase líquida para transferência de massa. A fase vapor é gerada pelo vaporizador. Para isso, teremos duas opções.

A primeira será quando temos Razão de Refluxo Constante e, portanto, a vazão de D é constante e x d é variável. A segunda será uma Razão de Refluxo Variável para x d ficar constante e, nesse caso, x d = x p .

Destilação em batelada com múltiplos estágios – Caso 01

Para avaliarmos o caso quando temos Razão de Refluxo Constante e, portanto, a vazão de D é constante e x d é variável, precisaremos de umas hipóteses adicionais ( além das que mostramos para batelada com um único estágio).

Vamos assumir uma taxa de vapor constante; que o vapor que deixa a coluna no instante D está em equilíbrio com o líquido; vamos desprezar o hold-up do prato ( pois o vaporizador tem um hold up muiiiito maior); e vamos considerar as aproximações realizadas no método Mc-Cabe Thiele.

O hold-up é a quantidade de líquido que fica no prato fazendo a troca.

Bora partir para o Balanço de Massa, lembrando que agora temos também uma carga F ( composição z f ) entrando na coluna.

Balanço de Massa Global

d B d t = F - D

Balanço de Massa por Componente

d ( B ∙ x b ) d t = F ∙ z f - D ∙ x d

Abrindo a diferencial, temos que:

B ∙ d   x b d t + x b ∙ d   B d t = F ∙ z f - D ∙ x d

Mas, pelo balanço global, vimos que d B d t = F - D . Então, podemos substituir e organizar nossa equação:

B ∙ d x b d t = - D ∙ x d - x b - F D ∙ ( z f - x b )

Separando as variáveis:

d   x b x d - x b - F D ∙ z f - x b = - D B   d t

Mas d B d t = F - D , então d t = d B F - D .

Substituindo e reorganizando, temos que:

d B B = 1 - F D ∙ d   x b x d - x b - F D ∙ z f - x b

Integrando, temos que:

∫ B o B d B B = ∫ x b 0 x b ( t ) 1 - F D ∙ d   x b x d - x b - F D ∙ z f - x b

B t B o = e x p ∫ x b 0 x b ( t ) 1 - F D ∙ d   x b x d - x b - F D ∙ z f - x b

Mas relaxa que essa expressão só vai ser usada quando F for diferente de zero. E, geralmente, em quase todas as questões F = 0 . Logo, essa equação fica beeem mais simples.

B t B o = e x p ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

Essa integral é numérica, ou seja, para ser resolvida precisa utilizar métodos numéricos, como Regra do trapézio, Regra de Simpson, ou qualquer outra que você souber aplicar 😊

Como essa matéria é operações unitárias (e não métodos numéricos), vamos utilizar o mais simples e que também funciona nos exercícios: regra do trapézio. Vou mostrar para vocês nesse caso como eu faria para calcular essa integral, beleza?

Nós queremos calcular a área do que está dentro da exponencial.

Para isso, dividimos a área debaixo da curva em vários “retângulos” pequenininhos e calculamos a área de cada um deles ( base vezes altura). A base é determinada pela diferença dos x escolhidos e a altura você calcula o eixo y , conforme tá na imagem. No final, é só somar todas as áreas.

Beleza? Aí substitui o somatório da área que você encontrou na integral!

Cálculo de Tempo de Batelada para destilação em múltiplos estágios ( Caso 01)

Na destilação em múltiplos estágios, também podemos calcular o tempo de batelada. Lembrando que vamos continuar usando as deduções considerando a carga F . Para isso, vamos começar integrando essa equação:

d B d t = F - D

∫ B 0 B ( t ) d B = ∫ 0 t ( F - D )   d t

B t - B 0 = ( F - D ) ∙ t

t = B 0 F - D ∙ B B 0 - 1

Determinação da composição Média x p ( t ) - Caso 01

Na destilação em

B o ∙ x b 0 + F ∙ z f ∙ t - B t ∙ x b t = D ∙ x p ( t ) ∙ t

Dividindo tudo por B o e reorganizando, temos que:

x b 0 - B B 0 ∙ x b t + F B 0 ∙ z f ∙ t = D ∙ x p t B 0 ∙ t

Isolando x p   e substituindo t = B 0 F - D ∙ B B 0 - 1 . Obtemos que:

x p t = x b 0 - B B 0 ∙ x b t + F ∙ z f F - D ∙ B B 0 - 1   D F - D ∙ B B 0 - 1

Portanto, essa é a equação bonitinha que determina o x p ( t ) para o caso 01 de destilação em batelada com múltiplos estágios.

Lembrete: Se na questão F = 0 , simplifica a equação antes de começar a fazer qualquer coisa!!

Destilação em batelada com múltiplos estágios – Caso 01

Cálculo de Tempo de Batelada para destilação em múltiplos estágios ( Caso 01)

Determinação da composição Média x p ( t ) - Caso 01

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Indique um dos possíveis casos que ocorrem com a destilação com múltiplos estágios e disserte sobre suas implicâncias.

Passo 1

Falaaa aí!! Tudo joia? Quando falamos sobre destilação com múltiplos estágios temos dois casos possíveis. Sendo que o “Caso 01” que vimos vai ser o mais importante pra gente, certo?

Passo 2

Nesse primeiro caso, temos uma Razão de Refluxo Constante, ou seja,

R R = L 0 D = c t e

E isso implica que a vazão de D   é constante, então, x d é variável.

Resposta

Um caso é quando temos Razão de Refluxo Constante e, portanto, a vazão de D é constante e x d é variável.

Exercício Resolvido #2

Disserte sobre o funcionamento de uma destilação em batelada com múltiplos estágios.

Passo 1

Oi oi oii, vamos relembrar como funciona a destilação em batelada com múltiplos estágios?! Essa destilação vai utilizar uma coluna, pois esses múltiplos estágios farão parte da coluna de destilação. E ai, esquematicamente vamos ficar com:

Lembrando que para um único estágio tínhamos:

Passo 2

Para a operação de uma coluna com múltiplos estágios, nós precisaremos de uma razão de refluxo, pois precisamos gerar a fase líquida para transferência de massa. A fase vapor é gerada pelo vaporizador. Para isso, teremos duas opções.

A primeira será quando temos Razão de Refluxo Constante e, portanto, a vazão de D é constante e x d é variável. A segunda será uma Razão de Refluxo Variável para x d ficar constante e, nesse caso, x d = x p . Mas esse segundo caso não vai ser tão importante pra gente.

Resposta

Exercício Resolvido #3

Quais são as hipóteses que precisamos adotar para o caso em que temos a Razão de Refluxo Constante na destilação em batelada com múltiplos estágios?

Passo 1

Heyyy, antes de vermos as hipóteses específicas para a destilação em batelada com múltiplos estágios vamos dar uma lembradinha em como eram as hipóteses para estágios únicos?

Para destilação em batelada em estágio único tínhamos que:

- O vapor de composição y t está em equilíbrio com o líquido remanescente no tanque no instante t ;

- A taxa de vaporização é constante. Logo, D ( t ) é constante.

Mas porque relembrar disso? Porque essas hipóteses também vão valer para múltiplos estágios 😉

Passo 2

Mas é claro que vamos ter algumas hipóteses a mais. Vamos assumir:

- Taxa de vapor constante;

- O vapor que deixa a coluna no instante D está em equilíbrio com o líquido;

- Desprezar o hold-up do prato (pois o vaporizador tem um hold up muiiiito maior);

- Considerar as aproximações realizadas no método Mc-Cabe Thiele, se você não lembra bem dá uma olhadinha lá nesse tópico que pode ser legal 😊.

Ahh, lembrando que o hold-up é a quantidade de líquido que fica no prato fazendo a troca, beleza?

Feshow!

Resposta

As hipóteses são:

- O vapor de composição y t está em equilíbrio com o líquido remanescente no tanque no instante t ;

- A taxa de vaporização é constante. Logo, D ( t ) é constante;

- Taxa de vapor constante;

- O vapor que deixa a coluna no instante D está em equilíbrio com o líquido;

- Desprezar o hold-up do prato;

- Considerar as aproximações realizadas no método Mc-Cabe Thiele.

Exercício Resolvido #4

Faça o balanço de massa para uma destilação em batelada com múltiplos estágios e Razão de Refluxo Constante considerando F = 0 .

Passo 1

Aaaantes de tudo, precisamos lembrar que nesse caso agora temos também uma carga F ( composição z f ) entrando na coluna. Diferente do que tínhamos em estágio único, beleza? Então o Balanço de Massa Global vai ser:

d B d t = F - D

Passo 2

Já o balanço de massa por componente vai ser:

d ( B ∙ x b ) d t = F ∙ z f - D ∙ x d

Podemos ainda abrir a diferencial, ou seja:

B ∙ d   x b d t + x b ∙ d   B d t = F ∙ z f - D ∙ x d

Mas, pelo balanço global, vimos que d B d t = F - D . Então, podemos substituir e organizar nossa equação:

B ∙ d x b d t = - D ∙ x d - x b - F D ∙ ( z f - x b )

Passo 3

Separando as variáveis, ou seja, tudo que depende de x b vai para um lado e o que depende de t vai para o outro.

d   x b x d - x b - F D ∙ z f - x b = - D B   d t

Mas d B d t = F - D , então d t = d B F - D .

Substituindo e reorganizando, temos que:

d B B = 1 - F D ∙ d   x b x d - x b - F D ∙ z f - x b

Passo 4

Agora podemos integrar,

∫ B o B d B B = ∫ x b 0 x b ( t ) 1 - F D ∙ d   x b x d - x b - F D ∙ z f - x b

B t B o = e x p ∫ x b 0 x b ( t ) 1 - F D ∙ d   x b x d - x b - F D ∙ z f - x b

Essa expressão ta feia, né? Mas ainda bem que vamos considerar F = 0 . Com isso ficamos com:

B t B o = e x p ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

Resposta

B t B o = e x p ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

Exercício Resolvido #5

Uma solução aquosa que contém 70   m o l % de A e 30   m o l % de água é submetida a uma destilação diferencial. Qual o percentual da solução inicial deve ser destilado para que se obtenha um resíduo com 20   m o l % de A? Sabendo que a volatilidade relativa média de A em relação à água é 2,15 .

Passo 1

Bom, antes de tudo vamos entender o que esse enunciado está falando pra gente, beleza? Aqui nós temos uma solução aquosa formada por água e um componente A. Além disso o enunciado nos forneceu:

α A B = 2,15

x W f = 0,2

x f = 0,7

Repara que o enunciado não nos deu a quantidade da mistura, então vamos utilizar como base de cálculo que,

F = 100   m o l

Além disso, vamos assumir que a solução é ideal, beleza?

E com essas informações nós vamos calcular o percentual da solução inicial que deve ser destilado para que se obtenha um resíduo com 20   m o l % . Vamos lá!

Passo 2

Como a mistura é binária e consideramos solução ideal, podemos considerar constante e temos:

y D = ∝ A B ∙ x W 1 + x W ∙ ( ∝ A B - 1 ) = 2,15 ∙ x W 1 + x W ∙ ( 2,15 - 1 ) = 2,15 ∙ x W 1 + 1,15 ∙ x W

Para diferentes valores de x w obtemos o y D correspondente e com isso podemos encontrar a equação da linha de equilíbrio.

Então, o que vamos fazer agora é chutar valores de x W e encontrar y D a partir da equação de volatilidade relativa.

E com isso, fazendo o ajuste não linear, com auxílio da calculadora, conseguimos extrair a equação da linha de equilíbrio,

y = - 0,894 x 2 + 1,734 x + 0,033

Onde o coeficiente de relação é,

Passo 3

Então, o que vamos fazer agora é chutar valores de x W e encontrar y D a partir da equação de volatilidade relativa. Por exemplo vamos considerar que,

x W = 0,1

Então,

y D = 2,15 ∙ 0,1 1 + 1,15 ∙ 0,1

y D = 0,194

Fazendo para vários valores temos,

E com isso, fazendo o ajuste não linear, com auxílio da calculadora, conseguimos extrair a equação da linha de equilíbrio,

y = - 0,894 x 2 + 1,734 x + 0,033

Onde o coeficiente de relação é,

Passo 4

Agora nós vamos utilizar a regra do trapézio.

B t B o = e x p ∫ x b 0 x b ( t ) d   x b x d - x b

Adequando essa equação ao enunciado temos,

ln ⁡ F W f = ∫ x w f x F d   x w y d - x w

Temos que a área abaixo da curva é numericamente igual ao valor da integral, que vai ser a área de um trapézio.

A = B + b h 2

Passo 5

A destilação vai ocorrer de x F = 0,7   até x w f = 0,2 e vamos poder traçar um gráfico com eixos x w   ,     1 y D - x w .

Então, antes de tudo, vamos construir uma tabela a partir da equação de equilíbrio.

Já com os pontos definidos, podemos traçar o nosso gráfico.

Passo 6

Agora podemos calcular as áreas dos 3 trapézios,

A 1 = ( 6,622 + 5,263 ) ( 0,4 - 0,2 ) 2 = 1,188

A 2 = ( 5,435 + 5,263 ) ( 0 , 5 - 0 , 4 ) 2 = 0,535

A 3 = ( 7,463 + 5,435 ) ( 0 , 7 - 0 , 5 ) 2 = 1,290

Somando as três áreas, temos,

A T = 1,188 + 0,535 + 1,289 = 3,012

Que é o valor da integral,

ln ⁡ F W f = ∫ x w f x F d   x w y d - x w = 3,012

Passo 7

Com isso, utilizando a base de cálculo de F = 100   m o l s temos,

ln ⁡ 100 W f = 3,012

ln ⁡ 100 - ln ⁡ W f = 3,012

ln ⁡ W f = 1,593

W f = e 1,593

W f = 4,92   m o l s

Que é a quantidade de mols que vai ficar dentro do tanque de destilação.

Por diferença, obtemos o percentual da solução inicial que deve ser destilado.

F = D f + W f

D f = 100 - 4,92

D f = 95,08   m o l s   ou 95,08   %

Resposta

D f = 95,08   m o l s   ou 95,08   %

Exercício Resolvido #6

Calcule o tempo de batelada para uma destilação em múltiplos estágios sabendo que o número de mols no tanque no início da reação era 4 0   m o l s e ao final da destilação tem-se 8 0   m o l s . Dados: F = 150   m o l e D = 70   m o l .

Passo 1

Fala aaiii, tudo certinho? Nessa questão queremos calcular o tempo de da destilação em múltiplos estágios, certo? Então vamos usar a fórmula,

t = B 0 F - D ∙ B B 0 - 1

E repara que já temos,

B 0 = 4 0 m o l s

B = 8 0 m o l s

F = 150   m o l

D = 70   m o l

Passo 2

Como já temos as informações, precisamos agora substituir na equação,

t = 4 0 150 - 70 ∙ 8 0 4 0 - 1

t = 40 80 ∙ 2 - 1

t = 0,5 h = 30 m i n

Resposta

t = 0,5 h = 30 m i n

Exercício Resolvido #7

Determine a expressão da composição média, x p t , de uma destilação em batelada com múltiplos estágios assumindo que F = 0 .

Dica: Faça o balanço de massa da coluna para chegar na expressão.

Passo 1

Bom, como o enunciado foi muito generoso e nos deu uma dica, vamos começar fazendo o balanço de massa dessa coluna de destilação, beleza?

Com isso,

E n t r a - S a i = R e a g e

Ou seja,

B o ∙ x b 0 + F ∙ z f ∙ t - B t ∙ x b t = D ∙ x p ( t ) ∙ t

Passo 2

Mas o enunciado nos disse que F = 0 , então podemos facilitar a nossa vida retirando ele da expressão antes de isolar x p t .

B o ∙ x b 0 - B t ∙ x b t = D ∙ x p ( t ) ∙ t

Agora vamos dividir tudo por B o e reorganizar,

x b 0 - B B 0 ∙ x b t = D ∙ x p t B 0 ∙ t

Passo 3

Lembrando que,

t = B 0 F - D ∙ B B 0 - 1

Mas como F = 0 ,

t = B 0 - D ∙ B B 0 - 1

Agora podemos substituir na expressão e isolar x p ( t ) , ficando com:

x p t = x b 0 - B B 0 ∙ x b t   1 - B B 0

Resposta

x p t = x b 0 - B B 0 ∙ x b t   1 - B B 0