Diâmetros Médios
Teoria
Introdução
Já vimos como calcular o diâmetro para uma partícula. Mas e se essa partícula resolver passear com as amigas? Teremos então uma população de partículas, certo?
Essas partículas não vão necessariamente ter o mesmo tamanho e, muitas vezes, vai nos interessar conhecer um diâmetro médio para a população. Um ponto importante é que vamos considerar, em todos os cálculos, que as partículas têm a mesma forma, ou seja, iguais fatores de forma B e C, igual esfericidade, etc; elas vão diferir apenas em tamanho.
No título desse tópico já está a dica de que tem mais de uma forma de calcular diâmetro médio. O mais importante é, sem dúvida, o diâmetro médio de Sauter, mas bora ver um por um:
Diâmetro médio de área superficial ()
A ideia aqui é calcular a área superficial total (vai contar todas as partículas) e depois, através de uma área média, calcular o .
Antes de vermos a fórmula para o , quero que você relembre que posso representar a área superficial de forma genérica com o fator de forma B:
Daí, para um conjunto de partículas e lembrando que vamos considerar que partículas têm a mesma forma:
E consideramos nessa fórmula que
Daí, dividindo tudo por B e isolando o :
Bora ver um exemplo só pra entender melhor? Imagina que tem um total de partículas sendo que têm tamanho e 3 têm tamanho . Daí:
Diamêtro médio volumétrico ()
É a mesma ideia do , mas agora vamos considerar o volume. Bora relembrar então do fator de forma C:
Daí, para o conjunto de partículas:
Dividindo tudo por C e isolando o :
Diamêtro médio de Sauter ( ou )
Esse é o mais importante de todos. Coloca uma estrelinha nele aí haha. A definição dele é:
Mas dificilmente vamos calcular por aqui.
Se a gente substituir as expressões que acabamos de achar para e nessa definição, a gente vai acabar chegando numa fórmula mais usada:
Calma que eu explico o que significa cada coisa:
Mas a soma de todas as porcentagens fecha em 100%. Que é a mesma coisa que 1, né? Daí:
Esse , que em alguns lugares pode aparecer como um , é um , se você for analisar a curva de distribuição de tamanhos.
E se você pensar em ir diminuindo cada vez mais essas subfaixas , até ficar um tamanho infinitesimal? Opa, tá parecendo quando aprendemos integral em Cálculo 1, aquela introdução com somas de Riemann. E é exatamente essa ideia: o somatório dá origem a uma integral e, como , ao diminuir muito o , vira um . Além disso, o vira apenas , já que o intervalo é infinitesimal. Daí:
E para resolver essa integral, vamos precisar escrever o em função de , usando algum modelo de distribuição de tamanhos. Dá uma olhada num exemplo:
Se aplicarmos raiz quadrada dos dois lados:
Isolando o :
E é essa expressão que jogaríamos na integral.
Pra finalizar o tópico, só uma observação: vimos 3 fórmulas de calcular o diâmetro médio de Sauter; não se assute se a questão pedir pra você calcular por mais de uma fórmula e os resultados não derem exatamente iquais, ok? Têm aproximações envolvidas nos cálculos.
Fechou. Bora pros exercícios. : )
Diamêtro médio volumétrico ( d - V o l )
Diamêtro médio de Sauter ( d - ou d 32 )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFRJ - Lista 1 Prof. Medronho, Questão 10 - Adaptado
Determinar o diâmetro médio de Sauter da seguinte areia:
Passo 1
Vamos por partes: temos que calcular o diâmetro médio de Sauter. Dentre as informações do enunciado tem , daí, vamos ter que usar a fórmula:
Mas o que são esses e que aparecem na tabela? Bora entender isso melhor.
Resumo da ópera: esses nos dizem os limites da faixa. Daí, usamos eles pra calcular .
Outra coisa que temos que prestar atenção é que não fazemos contas com porcentagem. Bora passar logo os para base unitária:
Passo 2
Para calcular o diâmetro médio de Sauter, já vimos que vamos precisar dos relativos a cada faixa. Cada é a média aritimética dos diâmetros limites da faixa . Calculando:
Uma vez calculados os , é com eles que vamos trabalhar; não mais vão nos interessar e . Vou até tirá-los da tabela pra não confundir:
Agora é só aplicar a fórmula de :
Gosto pessoal: prefiro calcular esse sómatorio separado e depois juntar tudo. Se você preferir, pode calcular direto.
Jogando o resultado do somatório:
E trabalhamos com diâmetros em :
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFRJ - Lista 1 Prof. Medronho, Questão 9
A peneiração de uma amostra de areia gerou a seguinte distribuição de tamanhos:
Pede-se:
- Calcular o diâmetro médio de Sauter da amostra, com base no modelo GGS.
Passo 1
Temos uma tabela com pares (), com diâmetros em , e vamos ter que calcular o diâmetro médio de Sauter com base no modelo GGS, que é um dos modelos que vimos pra descrever a curva em função de . Daí, como está envolvendo , vamos ter que usar a fórmula para diâmetro médio de Sauter que envolve também, que é essa aqui:
Vamos ter que isolar o diâmetro na equação para e lançar nessa fórmula. Mas primeiro de tudo, precisamos da equação pra . Então bora lá:
Passo 2
Temos que calcular a equação pra pelo modelo GGS, que tem a cara:
Para estimar os parâmetros e , vamos precisar dessa equação linearizada e depois fazer regressão linear, lembra? Como vimos lá no tópico “Distribuição de Tamanhos”, a forma linearizada do GGS fica:
E, comparando com a equação genérica de uma reta, :
Portanto, vamos precisar lançar, num gráfico, versus . Bora construir, então, uma tabela com os valores. Mas não esquece que os valores de precisam estar em base unitária!!!
E, também, temos que desprezar pontos com e pontos com quando vamos fazer linearizações. Daí bora sumir com esse último ponto aí logo:
Agora sim bora achar os pares ():
Fazendo a regressão linear com os pares ():
Lembrando que:
Daí:
Substituindo o valor de nessa segunda equação e cortando os “menos”:
Daí, escrevendo nossa equação de :
Passo 3
Bora agora calcular o diâmetro médio de Sauter:
Vamos precisar de , ou seja, em função de ; temos . Daí, temos que isolar o na fórmula do :
Elevando os dois lados a , isto é, :
Rearranjando:
Agora é só jogar isso na fórmula do diâmetro de Sauter:
Gosto pessoal: eu prefiro resolver a integral separado a ir levando no denominador. Acho mais fácil pra pra enxergar sei lá haha. Se preferir ir de uma vez só, de boas também.
Voltando pra fórmula do diâmetro médio:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria
Dada a amostra abaixo, calcule o diâmetro médio de Sauter da amostra. Utilize o modelo Sigmóide para os seus cálculos.
Passo 1
Nessa questão, temos que calcular o diâmetro médio de Sauter da amostra. Para isso, nos foi dada uma tabela com pares (), daí, já dá pra notar que vamos ter que usar:
Mas antes, vamos ter que encontrar a expressão de , isto é, a expressão de em função de . Depois, colocamos e aí substituímos na integral. E o enunciado pediu pra usarmos o modelo Sigmóide para achar a curva . Daí, ela vai ter essa cara:
Passo 2
Bora lá. Primeiro de tudo, temos que achar a expressão para e, para isso, vamos precisar da forma linearizada do modelo para fazer regressão linear e achar os parâmetros:
Comparando com a equação de uma reta, :
Vamos montar uma tabela com os valores de e , mas antes disso, lembre que desprezamos pontos com ou . Então corta logo esse primeiro ponto:
Agora sim, bora montar a tabela com e :
Fazendo a regressão linear de :
Agora podemos calcular os parâmetros do modelo Sigmóide:
Substituindo o valor de :
Daí, fica:
Passo 3
Já temos , mas precisamos de para conseguir calcular o diâmetro médio de Sauter. Daí, temos que isolar .
Invertendo os dois lados:
Jogando o para esquerda:
Elevando os dois lados a , isto é, :
Isolando e calculando :
A expressão é feia mas é essa aí haha
Passo 4
Agora é só jogar na expressão do diâmetro médio de Sauter e calcular.
Eu calculo a integral em separado, aí:
E é nessa hora que valorizamos a nossa calculadora hahah Dá pra resolver a integral na mão, mas, na prova, provavelmente o tempo vai ser corrido então aconselho ir se familiarizando com sua calculadora.
Voltando pra fórmula de :
Resposta
Exercício Resolvido #4
UFRJ - Lista 1 Prof. Medronho, Questão 11
Uma amostra, de determinado produto de moagem, apresentou a seguinte análise de peneiras:
Pede-se:
Calcular o diâmetro médio de Sauter da amostra com base em
Passo 1
Temos que calcular o diâmetro médio de Sauter de uma amostra e para isso nos foi dada uma tabela relacionando números Mesh Tyler com massas de amostra. Já extraí a informação de Mesh Tyler e transformei na informação de e , através da tabela que relaciona essas duas informações lá na teoria.
O que tem de novo nessa questão é que ela não relaciona, diretamente, as frações de massa num intervalo com os diâmetros limite do intervalo ( e ). Temos que calcular. Para isso, precisamos saber a massa total de amostra e aí pode ver qual a fração de amostra em cada intervalo.
Fora isso, é igual a fórmula que já vimos para diâmetro médio de Sauter:
Passo 2
Bora somar as massas de todos os intervalos:
De posse da massa total, calculamos a fração de massa, ,em cada intervalo:
Pro primeiro intervalo, por exemplo:
Daí, adicionando uma coluna pros :
Passo 3
Vamos, também, precisar da média aritmética dos diâmetros limites de cada intervalo, isto é, . Para o primeiro intervalo, por exemplo, vai ficar:
E teremos que fazer essa conta até o penúltimo intervalo.
“Mas e o último intervalo? Só tem um dos limites do intervalo, que no caso é o , como faço?” Sempre que só tiver um dos limites, você diz que a média é ele próprio. Faz sentido: a média de um número só é ele mesmo. Daí, bora adicionar uma coluna para os :
Show! Agora já temos uma relação entre e . Só eles importam agora:
Passo 4
Agora é só jogar tudo na fórmula e calcular:
Como eu já disse, prefiro calcular o somatório separado e depois voltar pra fórmula:
Voltando pra fórmula:
Resposta
Exercício Resolvido #5
UFRJ - Lista 1 Prof. Medronho, Questão 12 - Adaptado
A análise granulométrica de uma amostra de minério de barita originário de Itaguaí-RJ é fornecida abaixo:
- Calcular o diâmetro médio de Sauter da amostra
Obs: As faixas estão em Mesh Tyler!
Passo 1
Da mesma forma que na questão anterior, a primeira etapa é converter as informações de Mesh Tyler para diâmetro, olhando a tabela que tem na teoria.
A ideia de resolução também é a mesma: temos que achar as frações mássicas em cada intervalo e a média aritmética dos diâmetros limite de cada faixa. Depois, é só jogar na fórmula de :
Os valores na tabela com estão associados com e os com associados a . NÃO TEM NADA A VER COM O DIÂMETRO SER POSITIVO OU NEGATIVO. Até porque não teria nem sentido um diâmetro negativo.
Passo 2
Vamos por etapas. Primeiro, bora calcular os , lembrando que só tiver 1 diâmetro associado a uma faixa, o dessa faixa é esse próprio diâmetro:
Agora, precisamos calcular os associados a cada faixa. Para isso, precisamos da massa total da amostra, já que:
Bora calcular a massa total, que é o somatório das massas de todas as faixas:
Agora podemos calcular o associado a cada faixa. Para a primeira, por exemplo, fica:
Fazendo isso para cada uma das faixas:
Repara que
Agora que temos os e os associados, nada mais importa:
Passo 3
Agora é so jogar na fórmula e calcular o diâmetro médio de Sauter:
Eu prefiro calcular o somatório em separado e depois juntar tudo:
Juntando: