Diâmetros Médios

Teoria Completa

Introdução

Já vimos como calcular o diâmetro para uma partícula. Mas e se essa partícula resolver passear com as amigas? Teremos então uma população de partículas, certo?

Essas partículas não vão necessariamente ter o mesmo tamanho e, muitas vezes, vai nos interessar conhecer um diâmetro médio para a população. Um ponto importante é que vamos considerar, em todos os cálculos, que as partículas têm a mesma forma, ou seja, iguais fatores de forma B e C, igual esfericidade, etc; elas vão diferir apenas em tamanho.

No título desse tópico já está a dica de que tem mais de uma forma de calcular diâmetro médio. O mais importante é, sem dúvida, o diâmetro médio de Sauter, mas bora ver um por um:

Diâmetro médio de área superficial ( d - s u p )

A ideia aqui é calcular a área superficial total (vai contar todas as partículas) e depois, através de uma área média, calcular o d - s u p .

Antes de vermos a fórmula para o d - s u p , quero que você relembre que posso representar a área superficial de forma genérica com o fator de forma B:

A s u p e r f i c i a l = B * d 2

Daí, para um conjunto de N partículas e lembrando que vamos considerar que partículas têm a mesma forma:

A s u p = B d - s u p 2 N = B d 1 2 N 1 + … + B d n 2 N n ⏟ C o n s i d e r a   N i   g r u p o s   c o m   t a m a n h o   d i

E consideramos nessa fórmula que

∑ N i = N

Daí, dividindo tudo por B e isolando o d - s u p :

d - s u p = ∑ d i 2 N i N 1 2

Bora ver um exemplo só pra entender melhor? Imagina que tem um total de N = 10 partículas sendo que 7 têm tamanho d 1 e 3 têm tamanho d 2 . Daí:

d - s u p =   d 1 2 * 7 + d 2 2 * 3 10 1 2

Diamêtro médio volumétrico ( d - V o l )

É a mesma ideia do d - s u p , mas agora vamos considerar o volume. Bora relembrar então do fator de forma C:

V p a r t í c u l a = C d 3

Daí, para o conjunto de N partículas:

V p a r t í c u l a S = C d - V o l 3 N = C d 1 3 N 1 + … + C d n 3 N n

Dividindo tudo por C e isolando o d - V o l :

d - V o l = ∑ d i 3 N i N 1 3

Diamêtro médio de Sauter ( d - ou d 32 )

Esse é o mais importante de todos. Coloca uma estrelinha nele aí haha. A definição dele é:

d - = d - V o l 3 d - s u p 2

Mas dificilmente vamos calcular por aqui.

Se a gente substituir as expressões que acabamos de achar para d - s u p e d - V o l nessa definição, a gente vai acabar chegando numa fórmula mais usada:

d - = ∑ i X i ∑ i X i d i

Calma que eu explico o que significa cada coisa:

X i   é   a   p o r c e n t a g e m   d e   m a s s a   d e   p a r t í c u l a s   e n t r e   d o i s   d i d i   é   a   m é d i a   a r i t m é t i c a   d e s s e s   d o i s   d i  

Mas a soma de todas as porcentagens fecha em 100%. Que é a mesma coisa que 1, né? Daí:

d - = 1 ∑ X i d i

Esse X , que em alguns lugares pode aparecer como um ∆ X , é um ∆ y , se você for analisar a curva de distribuição de tamanhos.

X i = ∆ y i

E se você pensar em ir diminuindo cada vez mais essas subfaixas X i , até ficar um tamanho infinitesimal? Opa, tá parecendo quando aprendemos integral em Cálculo 1, aquela introdução com somas de Riemann. E é exatamente essa ideia: o somatório dá origem a uma integral e, como X i = ∆ y i , ao diminuir muito o X i , vira um d y . Além disso, o d i vira apenas d , já que o intervalo é infinitesimal. Daí:

d - = 1 ∫ 0 1 d y d

E para resolver essa integral, vamos precisar escrever o d em função de y , usando algum modelo de distribuição de tamanhos. Dá uma olhada num exemplo:

y = d 100 2  

Se aplicarmos raiz quadrada dos dois lados:

y = d 100

Isolando o d :

d = 100 * y

E é essa expressão que jogaríamos na integral.

Pra finalizar o tópico, só uma observação: vimos 3 fórmulas de calcular o diâmetro médio de Sauter; não se assute se a questão pedir pra você calcular por mais de uma fórmula e os resultados não derem exatamente iquais, ok? Têm aproximações envolvidas nos cálculos.

Fechou. Bora pros exercícios. : )

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ - Lista 1 Prof. Medronho, Questão 10 - Adaptado

Determinar o diâmetro médio de Sauter da seguinte areia:

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Passo 1

Vamos por partes: temos que calcular o diâmetro médio de Sauter. Dentre as informações do enunciado tem X i , daí, vamos ter que usar a fórmula:

d - = 1 ∑ X i d i

Mas o que são esses d - e d + que aparecem na tabela? Bora entender isso melhor.

" d - " s i g n i f i c a   q u e   a   f a i x a   t e m   d i â m e t r o   m e n o r   o u   i g u a l   a   d - " d + " s i g n i f i c a   q u e   a   f a i x a   t e m   d i â m e t r o   m a i o r   o u   i g u a l   a   d +

Resumo da ópera: esses d nos dizem os limites da faixa. Daí, usamos eles pra calcular d i .

Outra coisa que temos que prestar atenção é que não fazemos contas com porcentagem. Bora passar logo os X i para base unitária:

Passo 2

Para calcular o diâmetro médio de Sauter, já vimos que vamos precisar dos d i relativos a cada faixa. Cada d i é a média aritimética dos diâmetros limites da faixa X i . Calculando:

Uma vez calculados os d i , é com eles que vamos trabalhar; não mais vão nos interessar d - e d + . Vou até tirá-los da tabela pra não confundir:

Agora é só aplicar a fórmula de d - :

d - = 1 ∑ X i d i

Gosto pessoal: prefiro calcular esse sómatorio separado e depois juntar tudo. Se você preferir, pode calcular direto.

∑ X i d i = 0,15 1095 + 0,35 853,5 + 0,45 603,5 + 0,05 398,5 = 0,001418

Jogando o resultado do somatório:

d - = 1 ∑ X i d i = 1 0,001418

d - = 705,2

E trabalhamos com diâmetros em μ m :

d - = 705,2   μ m

Resposta

d - = 705,2   μ m

Exercício Resolvido #2

UFRJ - Lista 1 Prof. Medronho, Questão 9

A peneiração de uma amostra de areia gerou a seguinte distribuição de tamanhos:

Pede-se:

  1. Calcular o diâmetro médio de Sauter da amostra, com base no modelo GGS.
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Passo 1

Temos uma tabela com pares ( d , y ), com diâmetros em μ m , e vamos ter que calcular o diâmetro médio de Sauter com base no modelo GGS, que é um dos modelos que vimos pra descrever a curva y em função de d . Daí, como está envolvendo y , vamos ter que usar a fórmula para diâmetro médio de Sauter que envolve y também, que é essa aqui:

d - = 1 ∫ 0 1 d y d

Vamos ter que isolar o diâmetro d na equação para y e lançar nessa fórmula. Mas primeiro de tudo, precisamos da equação pra y . Então bora lá:

Passo 2

Temos que calcular a equação pra y pelo modelo GGS, que tem a cara:

y = d k m

Para estimar os parâmetros m e k , vamos precisar dessa equação linearizada e depois fazer regressão linear, lembra? Como vimos lá no tópico “Distribuição de Tamanhos”, a forma linearizada do GGS fica:

ln ⁡ y = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k

E, comparando com a equação genérica de uma reta, Y = A * X + B :

Y = ln ⁡ y A = m X = ln ⁡ d B = - m * ln ⁡ k

Portanto, vamos precisar lançar, num gráfico, ln ⁡ y versus ln ⁡ d . Bora construir, então, uma tabela com os valores. Mas não esquece que os valores de y precisam estar em base unitária!!!

E, também, temos que desprezar pontos com y = 0 e pontos com y = 1 quando vamos fazer linearizações. Daí bora sumir com esse último ponto aí logo:

Agora sim bora achar os pares ( ln ⁡ d   , ln ⁡ y ):

Fazendo a regressão linear com os pares ( ln ⁡ d   , ln ⁡ y ):

Lembrando que:

Y = ln ⁡ y A = m X = ln ⁡ d B = - m * ln ⁡ k

Daí:

A = m = 1,9537

B = - m * ln ⁡ k = - 11,157

Substituindo o valor de m nessa segunda equação e cortando os “menos”:

1,9537 * ln ⁡ k = 11,157

ln ⁡ k = 11,157 1,9537

ln ⁡ k = 5,71

k = 301,87   μ m

Daí, escrevendo nossa equação de y :

y = d 301,87 1,9537

Passo 3

Bora agora calcular o diâmetro médio de Sauter:

d - = 1 ∫ 0 1 d y d

Vamos precisar de d = d ( y ) , ou seja, d em função de y ; temos y = y ( d ) . Daí, temos que isolar o d na fórmula do y :

y = d 301,87 1,9537

Elevando os dois lados a 1 m , isto é, 1 1,9537 :

y 1 1,9537 = d 301,87 1,9537 1,9537 = d 301,87

Rearranjando:

d = 301,87 * y 0,51

Agora é só jogar isso na fórmula do diâmetro de Sauter:

d - = 1 ∫ 0 1 d y d = 1 ∫ 0 1 d y 301,87 * y 0,51

Gosto pessoal: eu prefiro resolver a integral separado a ir levando no denominador. Acho mais fácil pra pra enxergar sei lá haha. Se preferir ir de uma vez só, de boas também.

∫ 0 1 d y 301,87 * y 0,51 = 1 301,87 * ∫ 0 1 d y y 0,51 = 1 301,87 * y 0,49 0,49 0 1 = 6,76 * 10 - 3

Voltando pra fórmula do diâmetro médio:

d - = 1 ∫ 0 1 d y d = 1 ∫ 0 1 d y 301,87 * y 0,51 = 1 6,76 * 10 - 3 = 147,93   μ m

Resposta

d - = 147,93   μ m

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Dada a amostra abaixo, calcule o diâmetro médio de Sauter da amostra. Utilize o modelo Sigmóide para os seus cálculos.

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Passo 1

Nessa questão, temos que calcular o diâmetro médio de Sauter da amostra. Para isso, nos foi dada uma tabela com pares ( d , y ), daí, já dá pra notar que vamos ter que usar:

d - = 1 ∫ 0 1 d y d

Mas antes, vamos ter que encontrar a expressão de y = y ( d ) , isto é, a expressão de y em função de d . Depois, colocamos d = d ( y ) e aí substituímos na integral. E o enunciado pediu pra usarmos o modelo Sigmóide para achar a curva y = y ( d ) . Daí, ela vai ter essa cara:

y = 1 1 + d k m

Passo 2

Bora lá. Primeiro de tudo, temos que achar a expressão para y = y ( d ) e, para isso, vamos precisar da forma linearizada do modelo para fazer regressão linear e achar os parâmetros:

ln ⁡ 1 y - 1 = - m * ln ⁡ d + m * ln ⁡ k

Comparando com a equação de uma reta, Y + A * X + B :

Y = ln ⁡ 1 y - 1 A = - m X = ln ⁡ d B = m * ln ⁡ k

Vamos montar uma tabela com os valores de X e Y , mas antes disso, lembre que desprezamos pontos com y = 0 ou y = 1 . Então corta logo esse primeiro ponto:

Agora sim, bora montar a tabela com X e Y :

Fazendo a regressão linear de ln ⁡ 1 y - 1   v e r s u s ln ⁡ d :

Agora podemos calcular os parâmetros do modelo Sigmóide:

A = - m = - 3,6773

m = 3,6773 ≈ 3,68

B = m * ln ⁡ k = 22,568

Substituindo o valor de m :

3,68 * ln ⁡ k = 22,568

l n   k = 6,13

k = 459,4  

Daí, y = y ( d ) fica:

y = 1 1 + 459,4 d 3,68

Passo 3

Já temos y = y ( d ) , mas precisamos de d = d ( y ) para conseguir calcular o diâmetro médio de Sauter. Daí, temos que isolar d .

y = 1 1 + 459,4 d 3,68

Invertendo os dois lados:

1 y = 1 + 459,4 d 3,68

Jogando o 1 para esquerda:

1 y - 1 = 459,4 d 3,68

Elevando os dois lados a 1 m , isto é, 1 3,68 :

1 y - 1 1 3,68 = 459,4 d

Isolando d e calculando 1 3,68 ≈ 0,27 :

d = 459,4 1 y - 1 0,27

A expressão é feia mas é essa aí haha

Passo 4

Agora é só jogar d = d ( y ) na expressão do diâmetro médio de Sauter e calcular.

d - = 1 ∫ 0 1 d y d

Eu calculo a integral em separado, aí:

∫ 0 1 d y d = ∫ 0 1 d y 459,4 1 y - 1 0,27     = ∫ 0 1 1 y - 1 0,27 d y 459,4 = 2,46 * 10 - 3    

E é nessa hora que valorizamos a nossa calculadora hahah Dá pra resolver a integral na mão, mas, na prova, provavelmente o tempo vai ser corrido então aconselho ir se familiarizando com sua calculadora.

Voltando pra fórmula de d - :

d - = 1 ∫ 0 1 d y d = 1 2,46 * 10 - 3 = 406,5   μ m

Resposta

d - = 406,5   μ m

Exercício Resolvido #4

UFRJ - Lista 1 Prof. Medronho, Questão 11

Uma amostra, de determinado produto de moagem, apresentou a seguinte análise de peneiras:

Pede-se:

Calcular o diâmetro médio de Sauter da amostra com base em X i

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Passo 1

Temos que calcular o diâmetro médio de Sauter de uma amostra e para isso nos foi dada uma tabela relacionando números Mesh Tyler com massas de amostra. Já extraí a informação de Mesh Tyler e transformei na informação de d - e d +   , através da tabela que relaciona essas duas informações lá na teoria.

O que tem de novo nessa questão é que ela não relaciona, diretamente, as frações de massa num intervalo com os diâmetros limite do intervalo ( d - e d +   ). Temos que calcular. Para isso, precisamos saber a massa total de amostra e aí pode ver qual a fração de amostra em cada intervalo.

Fora isso, é igual a fórmula que já vimos para diâmetro médio de Sauter:

d - = 1 ∑ X i d i

Passo 2

Bora somar as massas de todos os intervalos:

∑ m i = 8 + 25 + 62 + 116 + 171 + 90 + 31 + 14 + 3 = 520 g

De posse da massa total, calculamos a fração de massa, X i ,em cada intervalo:

X i = m a s s a   n o   i n t e r v a l o m a s s a   t o t a l

Pro primeiro intervalo, por exemplo:

X 1 = 8 520 = 0,015

Daí, adicionando uma coluna pros X i :