Distribuição de Tamanho

Teoria Completa

Introdução

No tópico de introdução à distribuição de tamanho vimos o que é distribuição de tamanho e como interpretar essa informação. Chegamos a uma tabela de peneiração com vários diâmetros e calculamos os valores de y e z, certo?

Mas e como calculamos distribuições de tamanho contínuas?

Podemos utilizar equações já existentes, que representem o comportamento do y para um certo diâmetro, a partir dos dados da tabela de peneiração.

E pra que queremos conhecer esses modelos de distribuição de tamanho? Como eles são contínuos, vamos utilizar na hora de dimensionar os equipamentos.

Modelos de distribuição de tamanhos

Os modelos de distribuição de tamanhos podem ser tanto para y quanto para z . Mas, vamos usar o   y pra termos apenas curvas crescentes, beleza? E se algum dia você precisar relacionar y e z , basta lembrar que:

y + z = 1

Vamos ver, agora, alguns modelos pra descrever essas curvas de y em função de d :

Modelo de Gates, Gaudin e Schuhmann (GGS)

Esse é o mais simples que tem. A fórmula dele é:

y = d k m

Aí, se lembrarmos daquele gráfico genérico de uma curva y   :

A gente vai ver que, para o modelo GGS:

k = d m á x = D 100

Esse diâmetro d m á x   o u   D 100 representa um diâmetro de partícula tal que 100 % da massa da amostra correspondem a um diâmetro menor que esse. Por isso, que quando d = k , y   fica igual a 1, estamos considerando todas as partículas da amostra menor que o diâmetro máximo!

y = k k m = 1 m = 1

Mais uma coisa MUITOOOO importante: e se eu te der uma tabela com valores de y e os d relacionados, como você faria pra calcular os parâmetros do modelo, que no caso, são k e m ?

Você vai ter que linearizar o modelo e depois fazer uma regressão linear. Bora ver o passo a passo que você vai entender tudinho : )

y = d k m

Se aplicarmos l n dos dois lados:

ln ⁡ y = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k

Opa! Isso é uma reta. A equação de uma reta é:

Y = a * X + b

Daí, comparando:

Y = ln ⁡ y a = m X = ln ⁡ d b = - m * ln ⁡ k

Daí, vamos na calculadora e lançamos os valores de ln ⁡ y versus ln ⁡ d e pedimos pra ela fazer uma regressão linear. Aí ela nos diz os valores de a e b e usamos eles pra calcular k e m .

A calculadora também fornece os valores de correlação de Pearson (r) e/ou o R 2 , que é o quadrado do r; quanto mais próximo de 1 , o módulo de r e R 2 forem, mais próximo do linear essa reta está, o que significa que melhor os seus pontos são representados pelo modelo proposto.

Atenção: se tiver ponto com y = 0 ou y = 1 na tabela que te derem, você despreza!!! Corta eles da sua tabela porque eles estão associados com muita incerteza.

Modelo de Rosin, Rammler e Bennett (RRB)

Para o RRB, a fórmula de y em função de d é dada por :

y = 1 - exp ⁡ - d k m

Em que k é o d correspondente a y = 0,63 :

k = d y = 0,63

Da mesma forma que no GGS, precisamos linearizar o modelo pra achar os parâmetros do modelo, que são k e m . A forma linearizada fica:

ln ⁡ ln ⁡ 1 1 - y = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k

Eu não vou gastar muito tempo aqui na teoria mostrando passo a passo dessas linearizações, ok? Vou colocar um exercício resolvido depois com o passo a passo de todas as elas.

Modelo Sigmóide

Para o Sigmóide, a fórmula é:

y = 1 1 + d k m

Em que k é o diâmetro d correspondente a y = 0,5 . Ou seja, k é a mediana da distribuição.

k = d y = 0,5

E a forma linearizada fica:

ln ⁡ 1 y - 1 = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k

Modelo Log-Normal

Algumas vezes, a distribuição de frequência ( x   v e r s u s   d ) fica parecendo uma gaussiana. Inspirado nisso que esse modelo surgiu.

y = 0,5 + 0,5 *erf ⁡ ln ⁡ d d - g 2 * l n   ( σ g )

Muita calma nessa hora. Vamos ver o que esses termos que aparecem aí significam:

erf ⁡ é   a   f u n ç ã o   e r r o   d - g é   m e d i a n a   d a   d i s t r i b u i ç ã o   σ g   é   o   d e s v i o   p a d r ã o

“Tá. E daí? Eu quero é fórmula!” Ok. Vamos por partes

A função erro (erf) é tabelada. Então não se preocupa muito com ela não. Quanto aos outros dois:

d - g = d y = 0,5

  σ g = d y = 0,841 d y = 0,5 = d y = 0,5 d y = 0,159

E ,agora, presta atenção: o modelo log-Normal NÃO é linearizável. Daí, pra calcular os parâmetros dele vamos ter que usar algum método gráfico, colocar os pontos no papel num gráfico e liga-los e aí estimar os parâmetros. Relaxa que nos exercícios vemos isso melhor, ok?

Modelo Weibull

Até agora, todos esses modelos que mostrei pra você têm o zero como diâmetro mínimo, daí as curvas y deles passarem pela origem. Mas e se d m í n ≠ z e r o ? Chora? Não, né. Nesse caso, vamos usar o Weibull, que considera que a distribuição NÃO começa na origem, ou seja, d m í n ≠ z e r o . A fórmula dele é:

y = 1 - exp ⁡ - d - a k m

Em que

a = d m i n

Caso você esteja pensando “nossa, esse modelo é parecido com o RRB, né?”, é mesmo haha Ele é, basicamente, a curva do RRB mas deslocada no eixo de d .

Agora preciso de falar uma coisa antes de mostrar a forma linearizada do modelo: uma reta tem 2 parâmetros; pra você linearizar alguma coisa, essa coisa tem que ter exatamente 2 parâmetros a serem determinados, assim como a reta. Daí, a principio, você não teria como linearizar o Weibull, MASSSS, se conhecermos o valor de a , daí sobram 2 parâmetros e dá pra linearizar. Aí fica tipo a do RRB, mas no lugar de d , vai ter um d - a . Olha só:

ln ⁡ ln ⁡ 1 1 - y = m * ln ⁡ ( d - a ) - m * ln ⁡ k

Para saber o a , temos 2 casos: ou ele é dado (forma mais simples haha) ou então estimamos graficamente.

“Qual o melhor modelo?”

Fechamos os 5 modelos já. Agora que comentar rapidinho com você sobre essa pergunta: “Qual o melhor modelo?”.

A resposta é fácil: depende. Cada amostra é uma amostra; pode ser que uma seja melhor representada por um modelo e outra por outro. Pra determinar isso, você compara aqueles coeficientes que falei (r e/ou R 2 ). Quanto mais próximo, em módulo, de “1” o coeficiente for, melhor aquele modelo representa tal amostra.

Resumão do Procedimento

Se o problema pede para você achar o melhor modelo ou verificar se um determinado modelo descreve bem a amostra:

1. Completar a tabela de dados de peneiração com os valores de y , em base unitária.

2. Caso tenha informação sobre o mesh das peneiras, buscar na tabela o diâmetro equivalente. Se não tiver, o problema já vai fornecer o diâmetro para facilitar!

3. Selecionar os modelos e calcular os eixos x e y para cada modelo.

4. Jogar os dados dos eixos x e y na calculadora e ela vai calcular o coeficiente angular ( a )   , coeficiente linear ( b )   e o R 2 .

5. Veja se o R 2 está próximo de um e se for o caso compare diversos modelos.

6. Use os coeficientes angulares e lineares para estimar os parâmetros dos modelos!

A tabela abaixo resume os coeficientes e eixos de cada modelo:

Se for um problema que já diz os parâmetros dos modelos e te pede alguma informação:

1.Identificar qual é o modelo.

2.Substituir os parâmetros na equação.

3.E se pedir o y , vai te dar o diâmetro, e vice-versa!

Última coisa que preciso comentar, lembra que o diâmetro da peneira ( d # )   e diâmetro da partícula ( d p ) não são a mesma coisa. Então, fica muito atento que dependendo do que a questão te pedir pode ser necessário converter esses diâmetros, beleza?

d # d p = 0,94

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ - Lista 1 Prof. Medronho, Questão 9 – Adaptado

Calcule os parâmetros do modelo GGS para a seguinte amostra:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos pares ( y , d ) e precisamos calcular os parâmetros do modelo GGS, que diz:

y = d k m

Sendo que os parâmetros dele são: m e k .

Para calcular esses parâmetros, vamos precisar linearizar o modelo e fazer regressão linear. A forma linearizada é:

ln ⁡ y = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k

Mas vamos nos organizar: primeiro de tudo, temos que trabalhar com y em base unitária em todas as contas. Daí:

y = 0 e pontos com y = 1 . Daí, vou cortar logo esse último ponto aí:

Passo 2

Comparando a forma linearizada ( ln ⁡ y = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k ) com a equação de uma reta ( Y = a * X + b ):

Y = ln ⁡ y a = m X = ln ⁡ d b = - m * ln ⁡ k

Daí, vamos ter que montar uma tabelinha com ln ⁡ y e ln ⁡ d :

Vamos fazer uma regressão linear com os pontos ( ln ⁡ y , ln ⁡ d ):

Aí, temos que:

a = m = 1,9523

b = - m * ln ⁡ k = - 11,15

De cara, já obtivemos m = 1,9523 . Agora é só calcular o k :

- m * ln ⁡ k = - 11,15

Substituindo o m = 1,9523 :

- 1,9523 * ln ⁡ k = - 11,15

Cortando os “menos” e passando o 1,9523 para a direita dividindo:

ln ⁡ k = 11,15 1,9523

ln ⁡ k = 5,7112

k = 302,23

E, como os diâmetros estão em μ m :

k = 302,23   μ m

Resposta

m = 1,9523

k = 302,23   μ m

Exercício Resolvido #2

UFRJ - Lista 1 Prof. Medronho, Questão 9

A peneiração de uma amostra de areia gerou a seguinte distribuição de tamanhos:

Pede-se:

  1. Dentre os modelos GGS, sigmóide e RRB, indicar qual melhor descreve a referida análise.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nessa questão, ele deu pares ( y , d ) e pede qual o melhor modelo dentre o GGS, sigmóide e RRB. Vamos ter que avaliar o coeficiente de correlação depois de linearizar e jogar na calculadora: quanto mais próximo de 1 o coeficiente de correlação for, significa que melhor o tal modelo representa a amostra.

Vou trabalhar com o R 2 (se você preferir, pode usar o r; a ideia é a mesma).

Primeiro de tudo, temos que usar o y em base unitária em todas as contas, então, vou adicionar uma linha nessa tabela aí logo:

E, como eu te disse lá na teoria, vamos desprezar, para linearizações, pontos com y = 0 e pontos com y = 1 . Daí, vou cortar logo esse último ponto aí:

Bora ver agora um por um:

Passo 2

Primeiro, bora ver o GGS. A fórmula pra y no GGS é:

y = d k m

Linearizando, fica:

ln ⁡ y = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k

Daí, vamos ter que montar uma tabelinha com ln ⁡ y e ln ⁡ d :

Como vimos na teoria, comparando essa nossa equação linearizada com a equação de uma reta, Y = a * X + b :

Y = ln ⁡ y a = m X = ln ⁡ d b = - m * ln ⁡ k

Daí, vamos fazer uma regressão linear com os pontos ( ln ⁡ y , ln ⁡ d ):

Para avaliar qual o melhor modelo pra representar uma amostra, só precisamos dessa informação aí de R 2 . Então guarda aí:

R 2   G G S = 0,9408

Passo 3

Vamos ver, agora, o Sigmóide. A fórmula dele pra y é:

y = 1 1 + d k m

Linearizando:

ln ⁡ 1 y - 1 = - m * ln ⁡ d + m * ln ⁡ k

Comparando com a equação de uma reta:

Y = ln ⁡ 1 y - 1 a = - m X = ln ⁡ d b = m * ln ⁡ k

Montando nossa tabelinha com Y e X :

Fazendo a regressão linear:

Guarda aí, também:

R 2 ( s i g m ó i d e ) = 0,9498

Passo 4

Falta só o RRB agora. Bora lá! A fórmula de y   para o RRB é:

y = 1 - exp ⁡ - d k m

Linearizando:

ln ⁡ ln ⁡ 1 1 - y = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k

Comparando com a equação de uma reta:

Y = ln ⁡ ln ⁡ 1 1 - y a = m X = ln ⁡ d b = - m * ln ⁡ k

Fazendo a tabelinha com Y e X :

Fazendo a regressão linear:

Guarda aí:

R 2 ( R R B ) = 0,9974

Passo 5

O mais trabalhoso já foi. Agora é só comparar os R 2 dos 3 modelos.

R 2   G G S = 0,9408

R 2 ( s i g m ó i d e ) = 0,9498

R 2 ( R R B ) = 0,9974

Como R 2 ( R R B ) é o maior dentre os 3 , isto é, o mais próximo de 1 , o RRB é o melhor modelo pra representar ESSA AMOSTRA.

Resposta

RRB, pois o R 2 da sua linearização é o mais próximo de 1, ou seja, o maior dentre os modelos analisados.

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Mostre o passo a passo da linearização dos seguintes modelos:

  1. RRB
  2. Sigmóide
  3. Weibull (assuma que o parâmetro a é conhecido)
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Passo 1

Eu não esqueci que essa matéria é operações unitárias não, tá? Mas coloquei essa questão de mostrar o passo a passo da linearização por que, provavelmente, na prova você não vai ter os modelos linearizados e sim as equações pra y no formulário. Daí, pra achar os parâmetros dos modelos você vai ter que desenvolver a linearização ali na hora (a menos que tenha decorado as formas linearizadas né haha mas eu prefiro fazer na hora).

Bora reunir aqui as equações desses três modelos e depois partimos pra linearizar um por um.

R R B :     y = 1 - exp ⁡ - d k m

S i g m ó i d e :   y = 1 1 + d k m

W e i b u l l :   y = 1 - exp ⁡ - d - a k m

Antes de começarmos, deixa eu te falar uma coisa: quando formos fazendo operações pra deixar linear, temos que fazer um caminho “reversível”. O que eu quero dizer com isso é que você tem que transformar uma coisa em outra que seja possível de ser “retransformada”. Tipo assim, se tem lá um a = b , você pode aplicar l n dos dois lados:

a = b

ln ⁡ a = ln ⁡ b

Isso porque se você aplica exponencial ( e x p ) dos dois lados, volta ao inicial:

exp ⁡ ln ⁡ a = exp ⁡ ( ln ⁡ b )

a = b

Agora, se o aparecer 1 , você NÃOOO pode aplicar l n , porque ln ⁡ 1 = 0 e aí esse termo desaparece.

Bora ver essas linearizações que você vai entender melhor tudo isso, ok?

Passo 2

  1. RRB
  2. A equação de y em função de d para o modelo RRB é:

    y = 1 - exp ⁡ - d k m

    Não podemos aplicar l n direto porque iria aparecer um ln ⁡ 1 . Daí bora jogar a exponencial para a esquerda e o y para a direita:

    1 - y = exp ⁡ - d k m

    Vou reescrever essa exponencial com aquela notação com e só pra facilitar a visualização; mas é a mesma coisa; não vou mudar nada:

    1 - y = e - d k m

    E isso é a mesma coisa que:

    1 - y = 1 e d k m

    Rearranjando:

    1 1 - y = e d k m

    Agora sim podemos aplicar l n dos dois lados:

    ln ⁡ 1 1 - y = d k m

    Mas ainda tem um expoente ali...ainda não tá linear. Mas se aplicar outra vez l n dos dois lados fica. Daí:

    ln ⁡ ln ⁡ 1 1 - y = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k

    Pronto. Um já foi.

    Passo 3

  3. Sigmóide
  4. A equação de y em função de d para o modelo Sigmóide é:

    y = 1 1 + d k m

    De novo, não podemos aplicar l n aqui porque iria aparecer um ln ⁡ 1 . Bora fazer outra coisa então. Vamos inverter os dois lados:

    1 y = 1 + k d m

    Passando esse 1 pra esquerda:

    1 y - 1 = k d m

    E agora aplicamos l n dos dois lados:

    ln ⁡ 1 y - 1 = - m * ln ⁡ d + m * ln ⁡ k

    Passo 4

  5. Weibull (assuma que o parâmetro a é conhecido)

Lembrando que ele fala que o parâmetro a é conhecido porque uma reta tem 2 parâmetros ( A e B ) e o modelo Weibull tem 3, a ,   m e k , daí, não daria pra linearizar. Mas se o a é conhecido, sobram 2 parâmetros a se conhecer e aí conseguimos linearizar.

O Weibull é muito parecido com o RRB e a linearização segue a mesma linha, mas substituindo onde tem d por d - a .

A equação de y em função de d para o modelo Weibull é:

y = 1 - exp ⁡ - d - a k m

Não podemos aplicar l n direto porque iria aparecer um ln ⁡ 1 . Daí bora jogar a exponencial para a esquerda e o y para a direita:

1 - y = exp ⁡ - d - a k m

Vou reescrever essa exponencial com aquela notação com e só pra facilitar a visualização; mas é a mesma coisa; não vou mudar nada:

1 - y = e - d - a k m

E isso é a mesma coisa que:

1 - y = 1 e d - a k m

Rearranjando:

1 1 - y = e d - a k m