Peneiração

Teoria Completa

Introdução

Antes de qualquer coisa, não se assusta com o tamanho desse tópico, ok? Tem uma tabela que fui construindo conforme expliquei o assunto, então toda hora repetia partes dela e isso ocupou muito espaço haha. Mas vai fluir rapidinho. Confia em mim.

Já aprendemos muitas coisas sobre partículas: calcular diâmetros equivalentes, massa específica, avaliar a forma delas etc. Mas vamos supor que a gente queira separar as partículas de uma amostra de acordo com o diâmetro delas, como fazemos? Vamos precisar ficar catando partícula por partícula?

Felizmente não.

Se você for fazer um bolo e quiser só as partículas pequenininhas do açúcar, você vai peneirar o açúcar e separar as partículas grandes das pequenas.

No mundo industrial também é assim (ou bem parecido). Para separar as partículas de acordo com o diâmetro delas, vamos usar a peneiração, que nada mais é do que uma operação de separação.

Então bora entender como funcionam essas peneiras, como vamos escolher as mesmas e etc...

Peneiração

Peneiração é quando você passa uma amostra por uma peneira, que consiste em arames entrelaçados, dando origem a passagens quadradas. Olhando de cima, é tipo assim:

Uma observação importante é que vamos considerar que peneiras são equipamentos ideais de separação. Isso significa que se o diâmetro de uma dada partícula for maior do que a abertura da peneira, ela vai ficar retida na peneira. Enquanto partículas com diâmetro menor que o da peneira vão passar por ela.

S e   d p a r t í c u l a > a b e r t u r a   d a   p e n e i r a   ⟶ p a r t í c u l a   r e t i d a

S e   d p a r t í c u l a < a b e r t u r a   d a   p e n e i r a   ⟶ p a r t í c u l a   p a s s a

Associação de peneiras

Dificilmente você vai ver um experimento usando uma peneira só. O que normalmente é feito é utilizar uma sequência de peneiras, com uma tampa em cima e uma vasilha de fundo embaixo, pra reter as partículas que passarem pela última peneira.

Aí você coloca a amostra na peneira 1 e liga o agitador, que faz essa galera aí vibrar pras partículas menores irem descendo pelas peneiras, enquanto as maiores vão ficando retidas de acordo com o diâmetro delas.

Percebe que a abertura da peneira 1 tem que ser a maior de todas. Depois a 2 é a segunda maior e assim por diante. Se a peneira 1 tivesse a menor abertura, quase tudo ia ficar retido lá e nem faria sentido ter outras peneiras.

A b e r t u r a   1 > A b e r t u r a   2 > … > A b e r t u r a   i

Abertura de peneiras

A abertura de peneiras é o espaço entre aqueles arames que vimos na figura lá de cima, e indica o diâmetro da maior partícula que pode passar por ela (ou da menor que fica retida).

Algumas vezes, não sabemos diretamente a abertura da perneira. O que vai ser informado é o Mesh Tyler ou o número de peneira. Aí temos que usar uma tabela como essa aí de baixo, que relaciona esses caras com o diâmetro de abertura, que é o que realmente nos interessa.

Então, uma peneira de 28 mesh (por exemplo) vai ter uma abertura de 0,595 mm, o que equivale a uma peneira de número 30, sacou?

Essa informação de diâmetro do fio eu nunca vi nenhum exercício precisar, mas tá aí na tabela...

Resultado do experimento

No final da peneiração, vamos saber a massa de partículas por faixa de diâmetros (Ex: ter 37 g de partículas entre diâmetros d 1 e d 2 ). E podemos representar os resultados numa tabela tipo essa:

No par de peneiras, o “menos ( - ) ” significa que a amostra passou por essa peneira e o “mais ( + ) ” significa que a amostra ficou retida. Por exemplo, 55,4   g passaram pela peneira 10   M e s h mas ficaram retidos na peneira 14   M e s h .

Ok, entendido isso, bora continuar. Vamos por etapas. Primeiro de tudo, bora somar todas as massas m i para saber a massa total de amostra.

∑ m i = m = 55,4 + 114,0 + 132,4 + 94,6 + 55,7 + 30,6 + 17,3 = 500,0   g

Sabendo essa massa total, podemos dividir cada uma das massas m i pela massa total e achar as frações ponderais, X i .

X i = m i ∑ m i = m i m

Adicionamos uma linha na tabela:

Agora podemos dizer que 11,1% da amostra passou na peneira de 10 Mesh mas ficou retida entre as peneiras de 10 e 14 Mesh, e assim por diante.

Próximo passo é converter “as peneiras” para abertura de peneiras porque aí vamos ter os diâmetros limites das partículas dessa faixa ( d i -   e   d i + ). Para isso, usamos aquela tabela de conversão e adicionamos mais uma coluna:

E agora podemos dizer que 11,1% da amostra tem diâmetro entre 1680 μ m e 1190 μ m .

Atenção pra última linha: sabemos que 17,3   g das partículas passaram pela peneira 65   M e s h , então sabemos que essas partículas têm diâmetro menor que 210 μ m . Elas ficaram retidas na vasilha do fundo, que não tem abertura. Então o diâmetro de abertura do fundo é 0 , o que corresponde a Mesh infinito.

Então X i nos dá a fração da amostra que tem diâmetro entre dois valores. Mas às vezes queremos simplesmente saber a fração da amostra menor que determinado diâmetro. Nesse caso usamos a letra y . Se, ao contrário, quisermos saber a fração da amostra com diâmetro maior que determinado valor, usamos a letra z .

y ≡ %   d e   a m o s t r a   m e n o r   q u e   d a d o   d i â m e t r o

z ≡ %   d e   a m o s t r a   m a i o r   q u e   d a d o   d i â m e t r o

Aí, por exemplo, sabemos que todas as partículas são menores que d 1 - = 1680   μ m . Então y associado a esse diâmetro é 100 % . Já para d 2 - = 1190   μ m , sabemos que são menores do que esse diâmetro todas as partículas com exceção das que ficaram retidas nessa peneira. Como essa exceção representa 11,1 % das partículas, y 2 = 100 % - 11 % = 88,9 % .

De forma geral:

y i + 1 = y i - X i

Outra informação que já vou adicionar logo são os z i , sabendo que z i + y i = 1 , portanto:

z i = 1 - y i

z i + 1 = z i + X i

Percebe que a gente considerou d i - pra calcular y i e z i ? Na verdade, você pode usar tanto d i - quanto d i + , caso não tenha sido especificado. Mas precisa sempre usar o mesmo pros dois, y e x , ok?

Se ao invés de usar d i - você resolver usar d i + , as correlaçõezinhas que mostramos vai mudar um pouco. Nesse caso, valem:

y i + 1 = y i - X i + 1

z i + y i = 1

z i + 1 = z i + X i + 1

Por fim, vou adicionar mais uma informação que muitas vezes vamos precisar: d i . Esse é o diâmetro médio entre os pares de peneira e a fórmula dele é essa aqui:

d i = d i - +   d i + 2

Tem gente que prefere a notação d i - , porque aquela barrinha normalmente é usada pra média. Mas a gente vai usar essa daqui d i , ok?

E, agora, nossa tabela está completinha!

Repara que no último par de peneiras fizemos a média entre o 210   μ m e o zero, que é o “diâmetro de abertura” do fundo, que na real não tem abertura 😉

Importante: na tabela, eu acho que os valores ficam mais fáceis de ler em porcentagem (fica mais fácil ler 3,5 % do que 0,035 ), mas na hora de fazer cálculos precisa colocar em base unitária!

Histograma

Às vezes, o enunciado de uma questão vai pedir pra desenharmos o histograma de frequência versus diâmetro. Vou usar, como exemplo, essa tabela que vimos ao longo do capítulo pra te mostrar a cara de um histograma desses:

Esse histograma apenas representa a % da amostra que ficou retida entre cada par de peneiras, beleza? A partir dele fica simples identificar quanto da amostra possui um diâmetro menor que 420   μ m , por exemplo!

Mas existe como traçar curvas para identificar esse tipo de informação. Essas curvas vão ser muito importantes na parte de dimensionamento de equipamentos. No próximo tópico, vamos entender que curvas são essas e como vamos interpretá-las!

Expandir

Exercício Resolvido #1

2ª Série de Exercícios Professor Peçanha - UFRJ, Questão 10 Modificado

A tabela abaixo mostra as análises granulométricas com peneiras Tyler para duas amostras de um mesmo minério, obtidas em moinho de bolas (A) e moinho de bolas (B).

Pede-se calcular X para os dois moinhos e determinar qual moinho possui maior porcentagem de amostra entre as peneiras de 65 e 100 mesh Tyler.

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Passo 1

Não se assusta com essa tabela, que vamos ver com calma como trabalhar com ela! Mas, antes disso, precisamos definir o X , que é a primeira coisa que o problema pede para calcular.

X i = m i m = M a s s a   e n t r e   c a d a   p a r   d e   p e n e i r a M a s s a     t o t a l   d e   a m o s t r a  

Passo 2

Portanto, calculando a massa total para cada amostra:

m a = 8 + 21 + 53 + 92 + 215 + 117 + 44 = 550   g

m b = 45 + 74 + 93 + 192 + 29 + 12 + 5 = 450   g

E, agora, podemos refazer nossa tabela incluindo o X i para cada amostra, dividindo a massa de cada par pela massa total:

Vou mostrar aqui um exemplo da primeira linha de como calculamos, caso você tenha ficado em dúvida:

X i a = 8   g 550   g = 0,015

X i b = 45   g 450   g = 0,100

Beleza! Já calculamos então a primeira informação que precisamos 😊

Passo 3

Agora, precisamos tentar entender qual moinho deixou a amostra com mais partículas entre 65 e 100, correto?

Para isso, só precisamos comparar o X i em cada um dos moinhos. Como foi especificado entre os pares 65 e 100, obtemos que:

X i a = 215   g 550   g = 0,391

X i b = 29   g 450   g = 0,064

Assim, o moinho A possui maior porcentagem de partículas (39,1%) nessa faixa de diâmetros.

Resposta

Moinho A possui maior porcentagem de partículas entre 65 e 100.

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

A tabela abaixo mostra a análise granulométrica com peneiras Tyler para uma amostra de um minério.

Traçar a curva X versus diâmetro para a amostra analisada.

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Passo 1

Para calcular a curva de X i versus diâmetro, é necessário calcular X i através da seguinte fórmula:

X i = m i m = M a s s a   e n t r e   c a d a   p a r   d e   p e n e i r a M a s s a     t o t a l   d e   a m o s t r a  

E para calcular o diâmetro precisamos utilizar a Tabela de Mesh Tyler para cada peneira.

Depois de calcularmos essas duas coisas para cada ponto e para cada moinho, vamos traçar esses gráficos e realizar a comparação.

Passo 2

A fórmula do X i considera a massa total de cada amostra, que passou por cada moinho, certo? Então, calculando a massa total:

m = 15 + 23 + 55 + 90 + 200 + 120 + 47 = 550   g

E, agora, podemos refazer nossa tabela incluindo o X i para cada amostra, dividindo a massa de cada par pela massa total:

Vou mostrar aqui um exemplo da primeira linha de como calculamos, caso você tenha ficado em dúvida:

X i = 15   g 550   g = 0,027

Dica: Sempre que terminar de calcular as frações, verifica se o somatório está dando um!

Beleza! Já calculamos então a primeira informação que precisamos 😊

Passo 3

Agora, precisamos dos diâmetros! Para isso, precisamos achar o diâmetro da peneira que cada partícula passou ( d i - ) e o diâmetro da peneira pela qual a partícula não passa ( d i + ).

A Tabela Mesh Tyler é o local onde encontraremos a correlação entre o tamanho da peneira e o diâmetro.

E aí, conseguimos refazer a nossa tabela da seguinte forma:

Repara que lemos na terceira coluna da tabela mesh Tyler a abertura da peneira em (mm). E foi esse valor que usamos na nossa tabelinha da questão!

Passo 4

Chegamos na tabela e agora é só traçar o gráfico!!

Mas, pera, a questão não especificou qual diâmetro vamos usar! Então, traçamos os gráficos usando os dois diâmetros:

Aproveita e repara que as curvas tem o mesmo formato !! E elas sempre vão ter um formato bem parecidinho.

Resposta

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

A tabela a seguir mostra a análise granulométrica de uma resina usando peneiras padronizadas da série Tyler.