Morfologia

Teoria Completa

Introdução

Já vimos que as partículas não são necessariamente esféricas e vimos no tópico de tamanho como calcular o diâmetro equivalente delas.

Mas algumas fórmulas que vamos usar mais pra frente só estão definidas para partículas esféricas. E aí, como é que a gente faz quando a partícula não é esférica?

Existem fatores que medem o quão esféricas as partículas são, e nos ajudam a generalizar fórmulas que, a princípio, só poderiam ser aplicadas a esferas.

Vamos ver como é que isso funciona.

Fator de forma B

Esse fator de forma se relaciona com a área superficial da partícula. Acho que fica mais fácil de entender vendo a definição logo:

A sup  ⁡ p a r t = B . d 2

Para achar quem é o B da sua partícula, tem que escrever a área superficial dela nesse formato de A l g o . d 2 . B vai ser justamente esse “algo” que, multiplicando o quadrado do diâmetro da partícula, nos dá a área superficial da dela.

Bora ver um exemplo:

A sup ⁡ e s f e r a = π . d 2

Daí B = π para a esfera, sacou?

Fator de forma C

É a mesma ideia do fator de forma B , mas agora tem relação com o volume.

V p a r t í c u l a = C . d 3

Vamos ver a esfera como exemplo novamente:

V e s f e r a = π 6 . d 3

Daí, C = π 6 para a esfera, valeu?

Eu falo muito “daí” né? Haha E nem do Sul eu sou. Sou do Rio de Janeiro.

Circularidade ( ϱ )

Às vezes, vai nos importar saber quão circular é uma partícula na sua condição de maior estabilidade (mesma ideia de quando vimos o d a ) . E pra isso temos a circularidade ( ϱ ) para nos ajudar:

ϱ = P e r í m e t r o   d o   c í r c u l o   d e   m e s m a   á r e a   p r o j e t a d a   q u e   a   p a r t í c u l a * P e r í m e t r o   d a   p a r t í c u l a *

Esse * é para lembrar que isso é medido na condição de maior estabilidade da partícula, que, na prática, vai ser pegar o maior perímetro, maior área projetada da partícula.

Olha um exemplo:

O perímetro, P , que pegaríamos aqui seria:

P = 7 L + 5 L + 7 L + 5 L = 24 L

Como para uma mesma área o círculo tem o menor perímetro, o denominador vai ser sempre menor que o numerador, e aí:

0 < ϱ ≤ 1

Com ϱ = 1 sendo a esfera, já que a área projetada de uma esfera é um círculo.

Outra coisa importante é que circularidade é adimensional, porque é a razão entre dois comprimentos, então cortamos as unidades.

Agora, bora pensar numa moeda.

A maior área projetada dela na condição de maior estabilidade é um círculo. Então a circularidade da moeda é 1 , a mesma da esfera!!! O problema é que estamos medindo o quanto um objeto se assemelha a uma esfera por uma projeção 2D, enquanto a esfera é 3D!

Precisamos de uma análise em 3D.

Esfericidade ( Φ )

Para nos salvar, temos a esfericidade, que avalia o 3D da partícula. Essa é a parte mais importante desse tópico! Coloca uma estrelinha nele hahah.

Φ = Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   e s f e r a   d e   m e s m o v o l u m e   q u e   a   p a r t í c u l a Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a

Repara nesse “da esfera de mesmo volume que a partícula”: sentiu que vamos ter que calcular o d V ? E aí, depois, usamos esse d V para calcular a área superficial dessa esfera equivalente, para o numerador.

E como para conter um certo volume, a esfera é a forma que requer menor área superficial, o denominador vai ser sempre maior ou igual ao numerador. Tal que:

0 <   Φ ≤ 1

Com Φ = 1 sendo a esfera.

Outra forma de calcular a esfericidade é através do d V e do d s da partícula, assim ó:

Φ = d V d s 2

E ah! Uma coisa importante: como a esfericidade é uma razão entre áreas, cortamos as unidades e a esfericidade é adimensional.

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Calcule a esfericidade de um cubo.

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Passo 1

Para não perder o hábito, bora fazer um esboço da geometria. Vou chamar a aresta do cubo de a .

A definição de esfericidade é:

Φ = Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   e s f e r a   d e   m e s m o v o l u m e   q u e   a   p a r t í c u l a Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a

Daí, para o numerador, vamos ter que calcular o diâmetro da esfera de mesmo volume que o cubo ( d V ). E pra isso precisamos do volume do cubo, mas isso é moleza:

V c u b o = a 3

Depois vamos calcular a área superficial dessa esfera e aí temos o numerador, ok?

Para o denominador, vamos precisar da área superficial do cubo:

A superficial ⁡ c u b o = 6 a 2

Passo 2

Primeiro, bora calcular o d V . Aplicando a definição:

V p a r t í c u l a = a 3 = π 6 . d V 3

Rearranjando:

d V 3 = 6 π . a 3

Aplicando raiz cúbica dos dois lados:

d V = a . 6 π 3

Passo 3

A fórmula para área superficial de uma esfera qualquer é:

A s u p e r f i c i a l   e s f e r a = π . d i â m e t r o 2

Então, a área superficial de uma esfera equivalente ( A s u p   e s f   e q ) de diâmetro d V vale:

A s u p   e s f   e q = π . a . 6 π 3 2

A s u p   e s f   e q = π . a 2 . 6 π 3 2

Passo 4

Já temos, lá do passo 1, a área superficial do cubo ( A superficial ⁡ c u b o = 6 a 2 ). Daí, agora é só jogar tudo na definição de esfericidade:

Φ = Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   e s f e r a   d e   m e s m o v o l u m e   q u e   a   p a r t í c u l a Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a

Φ c u b o = A s u p   e s f   e q A superficial ⁡ c u b o

Φ c u b o = π . a 2 . 6 π 3 2 6 a 2  

Cortando o a 2 em cima e embaixo e jogando o resto na calculadora:

Φ c u b o = 0,81

Lembrando que eu não me preocupei com unidades aqui porque esfericidade é um adimensional.

Passo 5

Lembra que a gente pode fazer esfericidade como o quadrado da razão entre d V e d s ?

Φ = d V d s 2

Vamos testar isso aqui?

O d V já calculamos:

d V = a . 6 π 3

E o d s do cubo fica assim:

S u p e r f í c i e   d o   c u b o = 6 a 2

S u p e r f í c i e   d a   e s f e r a   e q u i v a l e n t e = π . d s 2

Igualando as duas superfícies:

6 a 2 = π . d s 2

d s = a 6 π

E a esfericidade:

Φ = a . 6 π 3 a 6 π 2

Corta esses a e joga o resto na calculadora:

Φ = 0,81

Resposta

Φ c u b o = 0,81

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Calcule a circularidade e a esfericidade de um paralelepípedo retângulo de dimensões proporcionais a 3 x 2 x 1 .

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Passo 1

Bora fazer um rascunho da geometria. Eu vou considerar essas dimensões proporcionais a 3 x 2 x 1 como sendo comprimento, altura e largura, mas a ordem não faz diferença na hora de resolver, ok?

O enunciado pede pra gente calcular a circularidade e a esfericidade dessa partícula. Vamos por partes:

Bora, primeiro, lembrar a fórmula de circularidade:

ϱ = P e r í m e t r o   d o   c í r c u l o   d e   m e s m a   á r e a   p r o j e t a d a   q u e   a   p a r t í c u l a * P e r í m e t r o   d a   p a r t í c u l a *

Esse * é para lembrar que isso é medido na condição de maior estabilidade da partícula, que, na prática, vai ser o maior perímetro da partícula. Daí, vamos ter que pegar o perímetro formado por comprimento e altura ( 3 L e 2 L ).

Para o numerador, vamos ter que:

  1. Calcular a área delimitada por esse retângulo vermelho
  2. Igualar essa área à fórmula da área do círculo ( A c í r c u l o = π 4 . d a 2 ) para achar o diâmetro d a desse círculo
  3. Usar esse diâmetro d para calcular o perímetro desse círculo, que é o comprimento da circunferência ( P c í r c u l o = π . d a )

Depois é só calcular o perímetro desse retângulo vermelho e temos o denominador da circularidade também. Aí é só fazer a divisão entre numerador e denominador.

Já para a esfericidade:

Φ = Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   e s f e r a   d e   m e s m o v o l u m e   q u e   a   p a r t í c u l a Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a

Para o numerador, a gente calcula o d V e usa ele pra calcular a área superficial dessa esfera equivalente ( A sup ⁡ e s f = π . d V 2 ).

Passo 2

Começando pela circularidade, bora calcular a área projetada na configuração de maior estabilidade da partícula, que é a área daquele retângulo vermelho:

A = 3 L . 2 L = 6 L 2

Igualando essa área com a área do círculo:

A c í r c u l o = π 4 . d a 2

6 L 2 = π 4 . d a 2

d a 2 = 7,64 L 2