Exercícios Resolvidos de Passo a Passo método dos deslocamentos

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Enunciado

Determine o sistema de equações da estrutura dada abaixo:

Passo 1

Sabemos que temos 3 chapas na nossa estrutura, como podemos ver ali em cima. Uma parada legal a ser feita é contabilizar tudo que devemos determinar em cada chapa, se fizermos isso obtemos o seguinte:

Sabendo já o que tem que determinar, vamos fazer um de cada vez.

Passo 2

Vamos determinar primeiro os valores de β 10 , β 20 e β 30 . Para determinar isso precisamos da seguinte tabela:

Olhando a conta para cara barra teremos que:

Trocando os valores teremos que:

Assim teremos que:

β 10 = - 12,5 + 5 = - 7,5

β 20 = - 5,0

β 30 = + 5,0

Passo 3

Agora vamos rotacionar a chapa 1, para podermos determinar os valores de β 11 , β 21 e β 31 .

Perceba que as duas barras que chegam na chapa 1 são Bi-engastadas, logo a fórmula a ser usada é:

Substituindo certinho temos que:

Juntando o que têm-se em cada nó, teremos que:

β 11 = 4 E J L 1 + 4 E J L 2 = 4   . 1500 5 + 4   . 1500 2 = 4200

β 21 = 2 E J L 2 = 2   .   1500 2 = 1500

β 31 = 0

Passo 4

Agora vamos rotacionar a chapa 2, para podermos determinar os valores de β 22 , β 12 e β 32 .

Perceba que as duas barras horizontais que chegam na chapa 2 são Bi-engastadas, e a barra vertical que chega na chapa 2 é engastada e apoiada, logo as fórmulas a serem usadas são:

Substituindo certinho temos que:

Juntando o que têm-se em cada nó, teremos que:

β 12 = 2 E J L 2 = 2   . 1500 2 = 1500

β 22 = 4 E J L 2 + 3 E J L 3 + 4 E J L 4 = 4   .     1500 2 + 3   .     1500 5 + 4     .     1500 1 = 9900

β 32 = 2 E J L 4 = 2   . 1500 1 = 3000

Passo 5

Agora vamos rotacionar a chapa 3, para podermos determinar os valores de β 33 , β 13 e β 23 .

Perceba que a barra horizontal que chega na chapa 3 é Bi-engastadas, e a barra vertical que chega na chapa 3 é engastada e apoiada, logo as fórmulas a serem usadas são:

Substituindo certinho temos que:

Juntando o que têm-se em cada nó, teremos que:

β 23 = 2 E J L 4 = 2   . 1500 1 = 3000

β 33 = 4 E J L 4 + 3 E J L 5 + 4 E J L 6 = 4   .     1500 1 + 3   .     1500 5 + 4     .     1500 2 = 9900

β 13 = 0

Passo 6

Organizando o sistema temos que:

β 10 + β 11 ∇ 1 + β 12 ∇ 2 + β 13 ∇ 3 = 0

β 20 + β 21 ∇ 1 + β 22 ∇ 2 + β 23 ∇ 3 = 0

β 30 + β 31 ∇ 1 + β 32 ∇ 2 + β 33 ∇ 3 = 0

Substituindo temos que:

- 7,5 + 4200 ∇ 1 + 1500 ∇ 2 + 0 ∇ 3 = 0

- 5,0 + 1500 ∇ 1 + 9900 ∇ 2 + 3000 ∇ 3 = 0

5,0 + 0 ∇ 1 + 3000 ∇ 2 + 9900 ∇ 3 = 0

Assim o nosso sistema será:

4200 ∇ 1 + 1500 ∇ 2 + 0 ∇ 3 = 7,5

1500 ∇ 1 + 9900 ∇ 2 + 3000 ∇ 3 = 5,0

0 ∇ 1 + 3000 ∇ 2 + 9900 ∇ 3 = - 5,0

Resposta

4200 ∇ 1 + 1500 ∇ 2 + 0 ∇ 3 = 7,5

1500 ∇ 1 + 9900 ∇ 2 + 3000 ∇ 3 = 5,0

0 ∇ 1 + 3000 ∇ 2 + 9900 ∇ 3 = - 5,0