Exercícios Resolvidos de Pressão da Radiação Eletromagnética

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Enunciado

Uma onda eletromagnética plana monocromática com comprimento de onda λ , propagando-se no vácuo no sentido negativo do eixo x , incide perpendicularmente sobre uma superfície metálica perfeitamente refletora, conforme a figura.

  1. Escreva a expressão do vetor campo elétrico incidente E → i , em termos de sua amplitude E 0 e do comprimento de onda λ , sabendo que o campo oscila ao longo da direção y e que assume seu valor máximo em x = 0 no instante t = 0 . Determine o campo magnético da onda incidente B → i a partir de E → i ;
  2. Determine o vetor campo elétrico da onda refletida E → r a partir do fato de que o campo elétrico total se anula na superfície do metal. Determine o vetor campo magnético da onda refletida B → r a partir de E → r .
  3. Calcule a pressão de radiação P r a d exercida pela onda sobre a superfície metálica perfeitamente refletora.

Passo 1

  1. Escreva a expressão do vetor campo elétrico incidente E → i , em termos de sua amplitude E 0 e do comprimento de onda λ , sabendo que o campo oscila ao longo da direção y e que assume seu valor máximo em x = 0 no instante t = 0 . Determine o campo magnético da onda incidente B → i a partir de E → i ;
  2. Beleza! O problema já falou aqui que E → i vai oscilar em y ... isso significa que ele vai ter mais ou menos essa cara:

    E → i = E 0 cos ⁡ k x + ω t j ^

    E isso bate com a informação de que quando x = 0 e t = 0 , E → i = E 0 .

    A primeira dúvida que pode surgir aqui é o seguinte: como eu sei se o argumento dentro do cosseno é k x - ω t ou k x + ω t ?

    O que pode ajudar é o seguinte: pensa que o cara que está dentro do cosseno tem que “permanecer constante”, certo? Então, como a onda está se deslocando na direção - i ^ , x está diminuindo... isso significa que, para que o argumento “permaneça constante”, o sinal deve ser positivo.

    Por isso: E → i = E 0 cos ⁡ k x + ω t j ^

    Passo 2

    O próximo passo aqui é escrever esse cara como função de E 0 e λ ... isso significa que temos que escrever k e ω em função de λ . Pra isso, basta usar as relações:

    k = 2 π λ

    c = λ f → f = c λ

    ω = 2 π c λ

    Agora podemos reescrever o campo elétrico como:

    E → i = E 0 cos ⁡ 2 π λ x + c t j ^

    Passo 3

    Agora vamos precisar relembrar algumas coisas... a primeira delas é que o campo magnético, o campo elétrico e a direção de propagação da onda são perpendiculares. Logo, se a onda se propaga no sentido - i ^ e o campo elétrico se propaga no sentido j ^ , o campo magnético se propaga na direção z ... só temos que saber se é no sentido k ^ ou - k ^ .

    Outro detalhe importante é que o produto vetorial E → × B → vai apontar no sentido de propagação da onda... logo, só temos que ver qual dos dois vai resolver a nossa vida.

    j ^ × k ^ = i ^

    j ^ × - k ^ = - i ^

    Logo, o campo magnético se propaga na direção - k ^ . Isso significa que ele vai ter essa cara:

    B → i = - B 0 cos ⁡ 2 π λ x + c t k ^

    Pra finalizar, podemos escrever o B 0 como:

    B 0 = E 0 c

    Finalmente:

    B → i = - E 0 c cos ⁡ 2 π λ x + c t k ^

    Passo 4

  3. Determine o vetor campo elétrico da onda refletida E → r a partir do fato de que o campo elétrico total se anula na superfície do metal. Determine o vetor campo magnético da onda refletida B → r a partir de E → r .
  4. Relaxa! A única coisa que muda aqui é o sentido de propagação da onda, então os argumentos dentro do cosseno também vão mudar...

    Vamos fazer agora o mesmo que fizemos anteriormente... só que agora a onda vai se propagar no sentido i ^ . Pra que o argumento do cosseno “permaneça constante”, como x aumenta e t também aumenta, o argumento do cosseno deve ser:

    2 π λ x - c t

    Quando a onda é refletida:

    E → i + E → r = 0

    E → r = - E → i

    E → r x , t = - E 0 cos ⁡ 2 π λ x - c t j ^

    Passo 5

    Agora é o mesmo esquema de antes, para descobrir se o campo magnético está no sentido k ^ ou - k ^ , temos que fazer o seguinte:

    - j ^ × k ^ = - i ^

    - j ^ × - k ^ = i ^

    Então, como a onda agora se propaga no sentido i ^ , o campo magnético pode ser escrito como:

    B → r x , t = - E 0 c cos ⁡ 2 π λ x - c t k ^

    Passo 6

  5. Calcule a pressão de radiação P r a d exercida pela onda sobre a superfície metálica perfeitamente refletora.

A pressão de radiação sobre uma superfície refletora é dada por:

P r á d = 2 < S > c = 2 < E i B i > μ 0 c = 2 < E i 2 > μ 0 c 2

Como E i 2 varia com o tempo, o seu valor médio é dado por:

< E i 2 > = E 0 2 2

P r á d = E 0 2 μ 0 c 2 = ϵ 0 E 0 2

Resposta

a.

E → i x , t = E 0 cos ⁡ 2 π λ x + c t j ^

B → i = - E 0 c cos ⁡ 2 π λ x + c t k ^

b.

E → r x , t = - E 0 cos ⁡ 2 π λ x - c t j ^

B → r x , t = - E 0 c cos ⁡ 2 π λ x - c t k ^

c.

P r a d = ϵ 0 E 0 2

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