Pressão de Radiação

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Teoria

Fala aí! Hoje vamos trocar uma ideia sobre pressão de radiação, ou a força exercida pela luz.

É isso mesmo que você leu! Segue aqui comigo pra entender um pouco melhor essa história aí!

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O que é Pressão de Radiação?

Não sei se você já ouviu falar de um tal de Max Planck. Não é o personagem do Bob Esponja não! Planck foi o cara que propôs a ideia de que a emissão de ondas eletromagnéticas é feita por meio de pacotes de energia.

Uma consequência disso é que, se as ondas possuem energia, obrigatoriamente elas possuem momento linear e massa.

Isso quer dizer que, quando a luz reflete ou é absorvida por um objeto, ela transfere momento linear para ele na forma de pressão de radiação.

Ilustração da pressão de radiação.
Ilustração da pressão de radiação.

Claro que não é algo tão dramático como mostrado nessa imagem acima, né?! Mas ainda assim, é algo que podemos medir.

Como calcular a pressão de radiação?

Quando a onda eletromagnética é completamente absorvida por um objeto, calculamos a pressão de radiação por:

é

👉 é a quantidade de energia absorvida pela superfície.

👉 é a velocidade da luz.

Agora, quando a onda é completamente refletida, o cálculo passa a ser esse aqui:

é

Ou seja, a pressão exercida quando 100% absorvida é o dobro de quando ela é 100% refletida.

É importante ressaltar que essas equações são simplificadas para o caso em que a incidência da luz se dá de forma perpendicular à superfície.

Quando existe um ângulo de incidência, devemos considerá-lo da seguinte forma:

O cosseno fica ao quadrado porque levamos em conta o ângulo de incidência duas vezes: uma no momento linear da luz incidente e outra na área da pressão. Tranquilo?

O que é Pressão de Radiação?

Como calcular a pressão de radiação?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um pedaço de cartolina pintado de preto, totalmente absorvente, de área A = 2,0   c m 2 , intercepta um pulso luminoso com uma intensidade de 10   W / c m 2 produzido por uma lâmpada estroboscópica.

Qual é a pressão exercida pela luz sobre a cartolina?

Passo 1

A pressão exercida pela luz em um objeto quando ela é totalmente absorvida é

p r a d = I c

Onde c = 3 ∙ 10 8 m / s é a velocidade da luz e I é a intensidade da luz. Pelo enunciado, a intensidade da luz é de I = 10   W / c m 2 = 10 ∙ 10 4   W / m 2 .

Substituindo na equação da pressão:

p r a d = 10 ∙ 10 4 3 ∙ 10 8 ≅ 0,33 ∙ 10 - 3 P a  

Resposta

A pressão da radiação é de 0,33 ∙ 10 - 3   P a .

Exercício Resolvido #2

A intensidade média da radiação solar que incide perpendicularmente em uma superfície situada logo acima da atmosfera da Terra é 1,4   k W / m 2 .

  1. Qual é a pressão de radiação p r exercida pelo Sol sobre essa superfície, supondo que toda a radiação é absorvida?
  2. Calcule a razão entre essa pressão e a pressão atmosférica ao nível do mar, que é 1,0 × 10 5   P a .

Passo 1

Letra a)

Quando uma superfície absorve completamente a radiação eletromagnética, a pressão que ela sofre devido à luz é de:

p r = I c

A velocidade da luz é c = 3 ∙ 10 8   m / s e a intensidade que essa superfície recebe da radiação solar é de I = 1,4 k W / m 2 = 1,4 ∙ 10 3   W / m 2 . A pressão então vai ser:

p r = 1,4 ∙ 10 3 3 ∙ 10 8 ≅ 0,467 ∙ 10 - 5   P a = 4,67 ∙ 10 - 6 P a

Passo 2

Letra b)

Na letra (a), encontramos a pressão que a radiação exerce, p r ≅ 0,467 ∙ 10 - 5 P a . A razão entre ela e a pressão atmosférica ao nível do mar p a t m = 1,0 ∙ 10 5 P a é:

p r p a t m ≅ 0,467 ∙ 10 - 5 1,0 ∙ 10 5 = 0,467 ∙ 10 - 10 = 4,67 ∙ 10 - 11

Ou seja, a pressão atmosférica ao nível do mar é aproximadamente 20 bilhões de vezes maior que a pressão da radiação.

p a t m ≅ p r 0,467 ∙ 10 - 10 ≅ 2 ∙ 10 10 ∙ p r

Resposta

Letra a)

p r ≅ 4,67 ∙ 10 - 6 P a

Letra b)

p r p a t m ≅ 4,67 ∙ 10 - 11

Exercício Resolvido #3

Um veleiro espacial está sendo projetado para participar da 1ª regata interplanetária, a se iniciar na Terra e com chegada em Vênus.

Supondo que a intensidade da radiação solar seja constante entre a Terra e Vênus, e dada por I = 1,4   k W / m 2 , determine qual deverá ser a área da vela, em m 2 m para que o veleiro receba uma potência média de P = 7   k W , e qual tipo de material, refletor ou absorvedor, proporcionará maior impulso para o veleiro.

  1. 5 ; refletor
  2. 7 ; absorvedor
  3. 0,2 ; refletor
  4. 7 ; refletor
  5. 0,2 ; absorvedor
  6. 5 ; absorvedor

Passo 1

A intensidade I e a potência P podem ser relacionados por:

S = 1 A d U d t  

I = S m é d i o

d U d t = P

Logo:

I = P A → A = P I

Passo 2

A = P I

Onde:

I = 1,4   k W / m 2 = 1,4 × 10 3   W / m 2 ;

P = 7   k W = 7 × 10 3   W ;

Logo:

A = 7 . 10 3 1,4 . 10 3 = 5   m 2

Passo 3

Quando a onda é absorvida, a pressão de radiação é dada por:

p r á d = I c

Quando a onda é refletida, a pressão de radiação é dada por:

p r á d = 2 I c

Logo, o material refletor proporcionará maior impulso ao veleiro.

Resposta

Letra (a): 5 ; refletor

Exercício Resolvido #4

Uma onda eletromagnética plana monocromática com comprimento de onda λ , propagando-se no vácuo no sentido negativo do eixo x , incide perpendicularmente sobre uma superfície metálica perfeitamente refletora, conforme a figura.

  1. Escreva a expressão do vetor campo elétrico incidente E → i , em termos de sua amplitude E 0 e do comprimento de onda λ , sabendo que o campo oscila ao longo da direção y e que assume seu valor máximo em x = 0 no instante t = 0 . Determine o campo magnético da onda incidente B → i a partir de E → i ;
  2. Determine o vetor campo elétrico da onda refletida E → r a partir do fato de que o campo elétrico total se anula na superfície do metal. Determine o vetor campo magnético da onda refletida B → r a partir de E → r .
  3. Calcule a pressão de radiação P r a d exercida pela onda sobre a superfície metálica perfeitamente refletora.

Passo 1

  1. Escreva a expressão do vetor campo elétrico incidente E → i , em termos de sua amplitude E 0 e do comprimento de onda λ , sabendo que o campo oscila ao longo da direção y e que assume seu valor máximo em x = 0 no instante t = 0 . Determine o campo magnético da onda incidente B → i a partir de E → i ;
  2. Beleza! O problema já falou aqui que E → i vai oscilar em y ... isso significa que ele vai ter mais ou menos essa cara:

    E → i = E 0 cos ⁡ k x + ω t j ^

    E isso bate com a informação de que quando x = 0 e t = 0 , E → i = E 0 .

    A primeira dúvida que pode surgir aqui é o seguinte: como eu sei se o argumento dentro do cosseno é k x - ω t ou k x + ω t ?

    O que pode ajudar é o seguinte: pensa que o cara que está dentro do cosseno tem que “permanecer constante”, certo? Então, como a onda está se deslocando na direção - i ^ , x está diminuindo... isso significa que, para que o argumento “permaneça constante”, o sinal deve ser positivo.

    Por isso: E → i = E 0 cos ⁡ k x + ω t j ^

    Passo 2

    O próximo passo aqui é escrever esse cara como função de E 0 e λ ... isso significa que temos que escrever k e ω em função de λ . Pra isso, basta usar as relações:

    k = 2 π λ

    c = λ f → f = c λ

    ω = 2 π c λ

    Agora podemos reescrever o campo elétrico como:

    E → i = E 0 cos ⁡ 2 π λ x + c t j ^

    Passo 3

    Agora vamos precisar relembrar algumas coisas... a primeira delas é que o campo magnético, o campo elétrico e a direção de propagação da onda são perpendiculares. Logo, se a onda se propaga no sentido - i ^ e o campo elétrico se propaga no sentido j ^ , o campo magnético se propaga na direção z ... só temos que saber se é no sentido k ^ ou - k ^ .

    Outro detalhe importante é que o produto vetorial E → × B → vai apontar no sentido de propagação da onda... logo, só temos que ver qual dos dois vai resolver a nossa vida.

    j ^ × k ^ = i ^

    j ^ × - k ^ = - i ^

    Logo, o campo magnético se propaga na direção - k ^ . Isso significa que ele vai ter essa cara:

    B → i = - B 0 cos ⁡ 2 π λ x + c t k ^

    Pra finalizar, podemos escrever o B 0 como:

    B 0 = E 0 c

    Finalmente:

    B → i = - E 0 c cos ⁡ 2 π λ x + c t k ^

    Passo 4

  3. Determine o vetor campo elétrico da onda refletida E → r a partir do fato de que o campo elétrico total se anula na superfície do metal. Determine o vetor campo magnético da onda refletida B → r a partir de E → r .
  4. Relaxa! A única coisa que muda aqui é o sentido de propagação da onda, então os argumentos dentro do cosseno também vão mudar...

    Vamos fazer agora o mesmo que fizemos anteriormente... só que agora a onda vai se propagar no sentido i ^ . Pra que o argumento do cosseno “permaneça constante”, como x aumenta e t também aumenta, o argumento do cosseno deve ser:

    2 π λ x - c t

    Quando a onda é refletida:

    E → i + E → r = 0

    E → r = - E → i

    E → r x , t = - E 0 cos ⁡ 2 π λ x - c t j ^

    Passo 5

    Agora é o mesmo esquema de antes, para descobrir se o campo magnético está no sentido k ^ ou - k ^ , temos que fazer o seguinte:

    - j ^ × k ^ = - i ^

    - j ^ × - k ^ = i ^

    Então, como a onda agora se propaga no sentido i ^ , o campo magnético pode ser escrito como:

    B → r x , t = - E 0 c cos ⁡ 2 π λ x - c t k ^

    Passo 6

  5. Calcule a pressão de radiação P r a d exercida pela onda sobre a superfície metálica perfeitamente refletora.

A pressão de radiação sobre uma superfície refletora é dada por:

P r á d = 2 < S > c = 2 < E i B i > μ 0 c = 2 < E i 2 > μ 0 c 2

Como E i 2 varia com o tempo, o seu valor médio é dado por:

< E i 2 > = E 0 2 2

P r á d = E 0 2 μ 0 c 2 = ϵ 0 E 0 2

Resposta

a.

E → i x , t = E 0 cos ⁡ 2 π λ x + c t j ^

B → i = - E 0 c cos ⁡ 2 π λ x + c t k ^

b.

E → r x , t = - E 0 cos ⁡ 2 π λ x - c t j ^

B → r x , t = - E 0 c cos ⁡ 2 π λ x - c t k ^

c.

P r a d = ϵ 0 E 0 2

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